第八章 向量的数量积与三角恒等变换知识归纳与题型突破（单元复习 重点13类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换知识归纳与题型突破 （题型清单） 知识1．平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识2．平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识3．向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 知识4．向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识5．平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识6．平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 知识7．平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识8．向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识9．向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 知识10．两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识11．两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识12．两角和与差的正切函数 ， （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识13．理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 知识14．二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识15．二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用；． ．． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 知识16．两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 知识17．升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识18．辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 知识19．半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 题型一：求两向量的数量积 1．已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由投影向量的定义, 在方向上的投影向量, 所以. 故答案为：. 2．已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，，即， 即为的中点，所以是圆的直径. 又因为，所以是以为直角的等腰直角三角形. 所以，，所以在上的投影向量为. 故选：B. 巩固训练 3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 4．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【详解】. 故选：C. 题型二：向量的模和夹角的计算问题 5．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6．若向量、满足，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，， 则，所以，， 所以，因此，. 故答案为：. 巩固训练 7．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【详解】因为，且|，所以， 则，则，故A正确； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，又向量夹角， 所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 8．已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得， 所以. 故选：C 题型三：与垂直有关的问题 9．若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 10．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由，则， 即，即. 解得. 故选：D. 巩固训练 11．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 12．已知向量满足，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 所以． 故选：A 题型四：平面向量数乘运算的坐标表示 13．如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【答案】 0 3 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0，3. 14．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，则，， 所以，所以，， 故. 故选：C. 巩固训练 15．已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3)且 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 17．已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得，所以，， 因为，所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 18．已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为与共线， 所以，所以. （2）因为，， 所以， 可得， （3）由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 巩固训练 19．设，向量，，，且，. (1)求，的值； (2)求及的结果； (3)已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 【答案】(1)(2)，(3). 【详解】（1）由，，得，解得， 所以，. （2）因为， 所以， . （3）由题意可设，得到. 因为， 所以，解得或. 当时，，由点，得到. 当时，，由点，得到. 20．已知向量． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可得，， 若向量与共线可得， 解得； （2）若向量与的夹角为钝角可得，且； 即可得，解得； 即实数的取值范围为. 题型九：数量积的坐标运算 21．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 22．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线， 所以，解得，即. 故答案为： 巩固训练 23．已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，，得， 解得， 故选：C 24．已知向量，，且满足，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，则， 又因为，，所以，所以. 故答案为：. 题型七：平面向量的模 25．已知向量，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 所以. 故答案为：. 26．已知平面向量，，与的夹角为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BCD 巩固训练 27．已知在平面直角坐标系中，向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴， 设与的夹角为，则， 由两边分别平方，得. ∵，∴， ∴，∵，∴. 故选：C. 28．已知点、、，其中，则（   ） A．若、、三点共线，则 B．若，则 C．若，则 D．当时， 【答案】ABD 【详解】因为、、，其中，则，， 对于A选项，若、、三点共线，则，则，解得，A对； 对于B选项，若，则，解得，B对； 对于C选项，若，即，可得， 解得或，C错； 对于D选项，当时，，则， 因为，故，D对. 故选：ABD. 题型八：平面向量的夹角、垂直问题 29．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 30．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 巩固训练 31．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 32．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 题型九：两角和与差的正（余）弦公式 33．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 34．已知且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，且，所以， 所以 即，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故选：A. 巩固训练 35．已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【详解】， 即. 又为第三象限角， . 故答案为：. 36．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故选：A. 题型十：两角和与差的正切公式 37．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 38．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 巩固训练 39．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， ，∴． 故选：C． 40．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 所以. 故选：C. 题型十一：给角求值、给值求值、给值求角 41．已知，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 42．已知，，求的值 . 【答案】 【详解】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 巩固训练 43． . 【答案】/ 【详解】解法一： . 解法二： . 故答案为： 44．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 题型十二：辅助角公式的应用 45．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， 则， 故选：D. 46．已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； （2）由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时的单调递增区间为， 当时的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 巩固训练 47．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，因为，有， 有，有，故函数的值域为. 故选:C 48．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】C 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为，所以，解得， 因为函数的最大值为，所以，解得（舍去）， 所以， 因为， 所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误； 因为， 所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误. 故选：C. 题型十三：三角恒等变换在实际问题中的应用 49．已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】由图象知，设的最小正周期为，则，解得， 由图得，又，所以，故， 从而； A，，正确； B，由，得， 所以函数图象的对称轴方程为，错误； C，由，得，故，即，， 故在区间上有零点2025个，错误； D，若函数与的图象关于点对称，则恒成立， 即，又，， 则，应用和差化积公式可得， 故，得， 所以函数与的图象关于成中心对称，正确． 故选：AD 50．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 巩固训练 51．已知函数. (1)若是三角形中一内角，且，求的值； (2)若函数在，有唯一零点，求的范围. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题意得， ， ∴，∴， ∵，∴， ∴，解得. （2）由（1）得，， 由得， 令，由得， 问题转化为函数与直线有唯一交点，作出在上的函数图象， ∵，， ∴或，解得或. ∴的范围是或. 52．已知函数，则（    ） A．曲线的一个对称中心为 B．函数在区间单调递增 C．函数为偶函数 D．函数在内有4个零点 【答案】BCD 【详解】A选项， ， ，故一个对称中心为，A错误； B选项，时，， 由于在上单调递增， 故函数在区间单调递增，B正确； C选项，， 由于为偶函数，故为偶函数，C正确； D选项，令，即，， 时，， 故当，即时，， 故函数在内有4个零点，D正确. 故选：BCD 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换知识归纳与题型突破 （题型清单） 知识1．平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识2．平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识3．向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 知识4．向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识5．平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识6．平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 知识7．平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 知识8．向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识9．向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 知识10．两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识11．两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识12．两角和与差的正切函数 ， （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识13．理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 知识14．二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识15．二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用；． ．． 2、公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 知识16．两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 知识17．升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识18．辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 知识19．半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 题型一：求两向量的数量积 1．已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 2．已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 题型二：向量的模和夹角的计算问题 5．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．若向量、满足，，，则 ． 巩固训练 7．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 8．已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 题型三：与垂直有关的问题 9．若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 巩固训练 11．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量满足，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 题型四：平面向量数乘运算的坐标表示 13．如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 14．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 15．已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 题型五：利用向量共线的坐标表示求参数 17．已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 18．已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 巩固训练 19．设，向量，，，且，. (1)求，的值； (2)求及的结果； (3)已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 20．已知向量． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型九：数量积的坐标运算 21．已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 22．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 巩固训练 23．已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 24．已知向量，，且满足，则 . 题型七：平面向量的模 25．已知向量，则 . 26．已知平面向量，，与的夹角为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 27．已知在平面直角坐标系中，向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 28．已知点、、，其中，则（   ） A．若、、三点共线，则 B．若，则 C．若，则 D．当时， 题型八：平面向量的夹角、垂直问题 29．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 31．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 32．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型九：两角和与差的正（余）弦公式 33．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 34．已知且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 巩固训练 35．已知，且为第三象限角，则 . 36．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十：两角和与差的正切公式 37．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 38．已知，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 39．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 40．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型十一：给角求值、给值求值、给值求角 41．已知，则 ． 42．已知，，求的值 . 巩固训练 43． . 44．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十二：辅助角公式的应用 45．已知，则（   ） A． B． C． D． 46．已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 巩固训练 47．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 48．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 题型十三：三角恒等变换在实际问题中的应用 49．已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称 50．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 51．已知函数. (1)若是三角形中一内角，且，求的值； (2)若函数在，有唯一零点，求的范围. 52．已知函数，则（    ） A．曲线的一个对称中心为 B．函数在区间单调递增 C．函数为偶函数 D．函数在内有4个零点 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$