第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（    ） A．或 B． C．2 D．4 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 11．已知，函数，则（    ）. A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有3个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量、满足，，，则 ． 13．已知函数，若，则的一个取值为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)分别求和的值； (2)求的值. 16．已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 17．已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 18．已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 19．已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（    ） A．或 B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】，故，解得. 故选：D 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开得， 两边同时平方有， 即，解得， 故选：B． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，即， ∴且，即且． ∵，即， ∴， ∴，且，解得， ∴. 故选：C. 4．已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 即， 即， 即 由，则， 即， 即有，解得， 故. 故选：A. 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 7．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【详解】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 又，所以，所以， 所以， 即， 因为，， 所以， 且在上单调递增，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于选项A，因为，，是两个非零向量，所以，故A错误； 对于选项B，，所以， 又，所以，所以，故B正确； 对于选项C，因为，所以，所以，故C正确； 对于选项D，因为，所以，从而， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 【答案】ABD 【详解】对A，， 由周期公式可得，A正确； 对B，因为，故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误； 对D，当，取得最小值， 则为的一条对称轴，故D正确. 故选：ABD. 11．已知，函数，则（    ）. A．关于直线对称 B．的最大值为 C．在上不单调 D．在，方程（为常数）最多有3个解 【答案】BC 【详解】若，则， 即，即， 若，则， 即，即， 故， 故的大致图象如图， 对于A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对于B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对于C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确： 对于D：由图象，当时，方程在有4个解，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量、满足，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，， 则，所以，， 所以，因此，. 故答案为：. 13．已知函数，若，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】，， 即，解得， ，，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 14．如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 【答案】 【详解】设，，且，设所求点． 记，，则．显然，． 现在有． 记，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最大值． 因为在内是增函数，所以当时，取最大值． 故所求点的坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为 所以，又因为， 所以，则， 因为 所以，又因为， 所以，则， （2） 即，可得 16．已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5(2) 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 17．已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） . （2）当时，，则， 所以函数在区间上的值域为 . （3）因为，所以， ，，所以， 则 . 18．已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）当时，函数， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数的值域是. （2）当时，，由，得， 则，整理得， 而，，因此， 所以实数的取值范围. 19．已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 【答案】(1)函数的值域是，单调递增区间为(2) 【详解】（1）由题 ， 由于，则函数的值域是； 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，可得， 因为，则， 可得， 所以. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$