第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（压轴题专练） 题型一：向量的模和夹角的计算问题 1．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知非零向量满足：，且，则 . 3．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 6．已知单位向量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 题型二：与垂直有关的问题 7．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 9．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 10．设与是两个向量，则是或的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 12．设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：利用向量共线的坐标表示求参数 13．已知平面向量，，其中，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若与共线，，求实数的坐标． 14．下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 15．已知向量，，，且向量与共线. (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求t的值. 16．下列关于平面向量的命题，正确的是（   ） A．已知点在直线上，若点为直线所在平面内任意一点，满足，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．向量满足，则 D．若，则向量与向量共线 17．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 18．下列四个命题为真命题的是（   ） A．若向量 满足 ，则 B．若向量，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量 ，则的最大值为 题型四：平面向量的模 19．已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 20．已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（    ） A． B． C． D． 21．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则 22．已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 23．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若在上的投影向量是，则 24．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，设是直线l的一个方向向量，那么就是直线l的一个法向量（图1），借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离，类推计算点到面、线到线、线到面、面到面的距离．已知P是直线l外一点，是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为，该投影向量的长度（模）就是点P到直线l的距离d，即（图2），已知点，则点C到直线AB的距离为 ． 题型五：平面向量的夹角、垂直问题 25．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 26．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 27．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．不共线，且，则. B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．已知，则在上的投影的坐标为 D．已知点为的垂心，则 28．已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 29．已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 30．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：平面向量数量积的综合应用 31．如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则 .    32．下列关于向量的说法错误的是（    ） A．在边长为2的等边三角形中， B．向量，，若，则与的夹角是钝角 C．若，，，则向量在上的投影向量为 D．若，点C在线段AB上，且的最小值为1，则（）的最小值为 33．已知为所在平面内一点，且，，D是边的三等分点且靠近点C，，与交于点O.设三角形的面积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 34．已知向量的夹角为， 且，则 35．若函数的图象上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质.给出下列函数： ①； ②； ③ ④. 其中具有性质的函数为 （填上所有正确序号） 36．已知向量，则的最小值为 . 题型七：给角求值、给值求值、给值求角 37．求值： ． 38．下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 39．求 . 40．式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 41．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 42．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型八：辅助角公式的应用 43．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是 D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则 44．已知函数. (1)求函数的最值 (2)求方程在上的解. 45．已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 46．已知函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．存在，使得为奇函数 C．当时，，使得 D．当时，的最小值为 47．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 48．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 题型九：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 49．已知函数（，）的最大值为，最小正周期为，若函数在区间（）上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是 ． 52．已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（    ） A． B． C． D． 53．已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 . 54．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型十：三角恒等变换在实际问题中的应用 55．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 56．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 57．如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 58．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 59．如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 60．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    试卷第1页，共3页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（压轴题专练） 题型一：向量的模和夹角的计算问题 1．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 2．已知非零向量满足：，且，则 . 【答案】 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 3．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 4．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 5．已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 6．已知单位向量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 【答案】D 【详解】A：单位向量，满足， 则，所以， 所以，又，所以，故A错误； B：，故B错误； C：因为， 所以向量在向量上的投影向量为，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D 题型二：与垂直有关的问题 7．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 8．设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】向量，均为单位向量，若，则， ， ，因此； 若，则， 即，整理得，因此， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 9．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C, 10．设与是两个向量，则是或的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得，则， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若则，即，无法得出或， 综上所述，是或的必要不充分条件. 故选：B. 11．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 12．设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，，不一定，结论不成立，命题为假； 对于B，当与方向相反时，结论不成立，命题为假； 对于C，当与共线时，结论不成立，命题为假； 对于D，若，则，即，则， 所以，命题为真． 故选：D 题型三：利用向量共线的坐标表示求参数 13．已知平面向量，，其中，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若与共线，，求实数的坐标． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题设有，， 故. （2）由（1）可得， 而与共线，故， 故， 解得，或 14．下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 【答案】AD 【详解】A：若与共线，则，正确； B：当时，，但不一定成立，错误； C：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，错误； D：由题设有，解得，正确； 故选：AD 15．已知向量，，，且向量与共线. (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求t的值. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）因为向量与共线，所以（）， 则，解得，所以，，得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （2）因为，，， 所以，解得. 16．下列关于平面向量的命题，正确的是（   ） A．已知点在直线上，若点为直线所在平面内任意一点，满足，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．向量满足，则 D．若，则向量与向量共线 【答案】BD 【详解】对A：当点在直线上时，和取值不确定，故A错； 对B：向量在向量上的投影向量的数量为， 故向量在向量上的投影向量为，B正确； 对C：向量共线时，和不唯一，故C错； 对D： 若，则， 所以有与共线，即或者， 得到或者，所以共线，D正确. 故选：BD. 17．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 18．下列四个命题为真命题的是（   ） A．若向量 满足 ，则 B．若向量，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量 ，则的最大值为 【答案】BD 【详解】当时，与不一定平行，故A错误； 在上的投影向量为，故B正确； 因为向量是与向量共线的单位向量， 则，所以，解得， 所以或，故C错误； 因为 ，其中， 当时，有最大值为，故D正确； 故选：BD 题型四：平面向量的模 19．已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为向量，，所以， 由得，解得，所以． 又，所以． （2）设向量与向量的夹角为，因为，， 所以． 又，所以，即向量与向量的夹角是． 20．已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：向量与向量共线，，可设， 因为，解得， 又因为向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 综上所述：，. 故选：C． 21．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则 【答案】AD 【详解】选项A，，，即，所以，A正确； 选项B，，，，B错； 选项C，，，，C错； 选项D，，，，D正确． 故选：AD． 22．已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. （2）由题意可得：， 因为∥，则，解得. 23．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若在上的投影向量是，则 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以，所以，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B正确； 对于C，因为，所以，整理得， 此方程无实根，C错误； 对于D，在上的投影向量为，若在上的投影向量是，则则则D错误. 故选：AB. 24．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，设是直线l的一个方向向量，那么就是直线l的一个法向量（图1），借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离，类推计算点到面、线到线、线到面、面到面的距离．已知P是直线l外一点，是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为，该投影向量的长度（模）就是点P到直线l的距离d，即（图2），已知点，则点C到直线AB的距离为 ． 【答案】/ 【详解】直线AB的一个方向向量为，则是直线AB的一个法向量， 而，所以点C到直线AB的距离． 故答案为： 题型五：平面向量的夹角、垂直问题 25．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 26．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 【答案】ACD 【详解】对于A，若，可以作为基底，则与不共线， 当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，若，则，，故C正确； 对于D，，，或，故D正确. 故选：ACD 27．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．不共线，且，则. B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．已知，则在上的投影的坐标为 D．已知点为的垂心，则 【答案】BD 【详解】选项A：不共线，且， 则，则 即.判断错误； 选项B：向量，且与的夹角为钝角， 则，解之得或或 则的取值范围是.判断正确； 选项C：在上的投影向量为 ， 则在上的投影的坐标为.判断错误； 选项D：点为的垂心，则, 则， 则， 由可得 ， 则， 即， 由，可得 ， 则, 即， 故.判断正确. 故选：BD 28．已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 【答案】BC 【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误； 对于B.设，由，则， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C.，，， 所以，故C正确； 对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误. 故选：BC. 29．已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）， ， ； 因为， 所以； （2）由（1），， 因为， 所以， 所以 所以与的夹角的余弦值为. 30．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意知O为坐标原点，，， 所以，， 则. 故选：C 题型六：平面向量数量积的综合应用 31．如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则 .    【答案】/ 【详解】由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则. 故答案为：. 32．下列关于向量的说法错误的是（    ） A．在边长为2的等边三角形中， B．向量，，若，则与的夹角是钝角 C．若，，，则向量在上的投影向量为 D．若，点C在线段AB上，且的最小值为1，则（）的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，满足，但，此时与的夹角为，故B错误； 对于C，向量在上的投影向量为，故C错误； 对于D，如图，因为点C在线段AB上，且的最小值为1， 故等腰三角形的边上的高为1，故，且， 而的最小值即为到直线距离的最小值，此最小值为，故D正确； 故选：ABC. 33．已知为所在平面内一点，且，，D是边的三等分点且靠近点C，，与交于点O.设三角形的面积为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以.又因为D是边的三等分点且靠近点C， 所以，所以，故A正确； 设，则. 因为B、O、D三点共线，所以，解得. 故，故B正确； 因为，所以， 所以，故C错误； 以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，    则点，，. 设点，则， 所以最小值为，故D正确. 故选：ABD. 34．已知向量的夹角为， 且，则 【答案】 【详解】由，得到，又向量的夹角为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 35．若函数的图象上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质.给出下列函数： ①； ②； ③ ④. 其中具有性质的函数为 （填上所有正确序号） 【答案】①② 【详解】， ，， 又，所以， 所以， 即，，三点共线，即过点的直线与函数图象存在至少两个不同的交点， 对于①，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点， 即存在点，，三点共线，符合题意； 对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有2个交点， 即存在点，，三点共线，符合题意； 对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以直线与函数图象在上至多有1个交点， 即不存在点，，三点共线，不符合题意； 对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图， 所以直线与函数图象至多有1个交点， 即不存在点，，三点共线，不符合题意. 故答案为：①② 36．已知向量，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【详解】因为向量， 所以，且. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 题型七：给角求值、给值求值、给值求角 37．求值： ． 【答案】 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 38．下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 39．求 . 【答案】/0.5 【详解】 故答案为：. 40．式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 故选：B. 41．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由则， ， ，可得①， ，则或， 由①可得，, ； 故选：B. 42．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 所以． 又， 故． 故选：B 题型八：辅助角公式的应用 43．已知函数，则（   ） A．函数在上单调递减 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是 D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则 【答案】BCD 【详解】， 对于A，令，则， 所以对于函数，时，有增有减，A错； 令，则，B正确； 对于C，平移后，得，若图象关于y轴对称， 则，，，，C正确； 因为，作出图像如图所示， 由与有且只有三个交点，所以， 又因为时，且，关于直线对称， 所以，D正确. 故选：BCD. 44．已知函数. (1)求函数的最值 (2)求方程在上的解. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由题意得 ， 所以. （2）由（1）可得，即， 所以或， 解得或， 又，所以或. 45．已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】由题设，函数 其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是， 所以，即，所以，． 因为函数在内仅有3个零点，所以，解得， 所以. 故选：B 46．已知函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．存在，使得为奇函数 C．当时，，使得 D．当时，的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，故A正确； 对于B，，所以不可能为奇函数，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 因为， 所以， 所以， 所以， 故C错误； 对于D，时，， 由于， 所以，故D错误； 故选：BCD 47．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】C 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为，所以，解得， 因为函数的最大值为，所以，解得（舍去）， 所以，因为， 所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误； 因为， 所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误. 故选：C. 48．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 【答案】ABD 【详解】函数， 对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，D正确. 故选：ABD 题型九：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 49．已知函数（，）的最大值为，最小正周期为，若函数在区间（）上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， ∵，∴， 又∵函数的最大值为，∴. ∴，∵，∴， 又∵在区间（）上有且仅有1个零点， 又时，，或，，∴， ∴，∴. 故选：A. 50．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 51．设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，, 令，则，， 当时，，则，解得， 此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意， 当时，，则，解得， 此时，不符合题意， 当取其它整数时，不符合题意，所以. 故答案为：. 52．已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型，因为， 所以当时函数取得最小值，即直线是函数图象的一条对称轴， 又，所以，根据图象的对称性得到， 即，所以， 所以． 所以，解得， 则的最小正周期，， 当时，；当时，．验证得AD不符合题意， 故选：BC． 53．已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 . 【答案】 【详解】将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半， 此时函数解析式为， 再向左平移个单位长度，得， 则 ， 所以的最大值为. 故答案为：. 54．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由于，则，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 题型十：三角恒等变换在实际问题中的应用 55．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【答案】 【详解】 如图，连接OC，设，则，因, 则则， 故 ．因，则， 故当，即当时， 即割出的长方形桌面的最大面积为． 56．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 【答案】 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 57．如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 58．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 59．如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，矩形面积为， 扇形的半径为，圆心角为， 所以，，， 所以． 化简得：，， 当，即时， 取最大值． 故选：B. 60．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    【答案】 【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和， 过点作直线，交于点，交于点，则，，且， 又因为，则，故，且， 在中，，则， 在中，，则， 所以，， 因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$