第七章 三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第七章 三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 2．将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 5．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 6．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 8．已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 10．下列结论中正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．函数的图象必过定点 C．若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D．函数的单调增区间 11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的最小正周期是 ． 13．设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 14．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递 （填增或减），函数的零点个数为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 16．按要求完成下列各小题. (1)计算：； (2)已知，求. (3)计算 17．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： (1)的值及的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 19．已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)当，求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】，故为第三象限角或第四象限角， 又，故或. 故选：C. 2．将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变， 可得，再将其向右平移个单位长度， 即，即. 故选：B. 3．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 4．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D． 5．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B. 6．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的最小正周期为， 由图可知，，即，且，所以， 此时，将代入得， 即，且，则， 可得，解得，所以. 故选：D. 8．已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】D 【详解】根据已知条件函数的一条对称轴为，又由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 当分别取最小正数和最大负数时，， 所以两个函数最小正周期的差为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 【答案】BC 【详解】因为的最大值为，时可取到最大值，所以A错误. 因为的定义域为，且， 所以为偶函数，B正确. 令函数在上单调递增，且当时，的值域为. 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确. 当时，的值域为， 函数在上有5个零点，所以在上有5个零点D错误. 故选：BC 10．下列结论中正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．函数的图象必过定点 C．若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D．函数的单调增区间 【答案】ABC 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，该选项正确； 对于B，让函数指数位置为0， 则，即，此时， 所以函数的图象必过定点，该选项正确； 对于C，设扇形半径为，弧长为，则周长为，解得或， 当时，，则不符合题意， 当时，，此时，所以该选项正确； 对于D，函数需满足，解得， 令，则是减函数，对称轴为， 所以在上是单调递增，在上是单调递减， 根据复合函数“同增异减”原则，函数的单调增区间，该选项错误. 故选：ABC. 11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项正确； 对于B，图象向左平移个单位长度得到，，故选项错误； 对于C，由于，故选项错误； 对于D，若函数在上至少有11个零点，即与在上至少有11个交点，令，则或，即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为，则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的最小正周期是 ． 【答案】 【详解】∵函数中，, ∴函数的最小正周期. 故答案为：. 13．设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 【答案】 【详解】， 因为，所以， 则，即， 所以，则， 根据取整函数的定义可得函数 的值域是， 故答案为：. 14．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递 （填增或减），函数的零点个数为 . 【答案】 增 9 【详解】因为在上具有单调性， 则，可得，且，故解得， 又因为， 则，解得， 所以只有，符合要求，此时. 当时，则，且在内单调递增， 所以在上单调递增. 因为的最大值为1，而，， 作出函数与的图象，    由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9. 故答案为：增；9. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 【答案】（1），；（2）①； ② 【详解】（1）角终边上一点的坐标为，其中， 则， 所以，. （2）因为，所以 ①； ② . 16．按要求完成下列各小题. (1)计算：； (2)已知，求. (3)计算 【答案】(1)(2)1(3) 【详解】（1）,,. ， 则. .   然后将化简后的值代入原式计算： . （2）根据，，则，即.   然后将所求式子化为关于的式子：. （3）根据对数换底公式，可得. 根据指数运算法则可得. 因为，所以. 根据，则. 根据， 又因为，所以. 又因为.   然后将化简后的值代入，原式. 17．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： (1)的值及的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2，(2)答案见解析 【详解】（1）. 选择条件①： 因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故. 因为，所以. 因为，令， 即，所以的单调递增区间为. 选择条件②： 因为函数的图象可以由函数的图象平移得到， 所以函数与函数的周期相同，故. 因为，所以.所以. 以下解答过程同选择条件①. 选择条件③：因为为图象的对称轴， 所以，即， 故，其中，此时不唯一，故不选③. （2）选择条件①或②时， 因为，所以， 当，即时，取最大值，最大值为1； 当，即时，取最小值，最小值为. 18．已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由图象知，，， 所以，解得， 所以， 又，所以， 解得，由，可知，所以 （2）令，， 解得，所以函数的单调递减区间为 （3）当时，， 所以，所以， 即函数在区间上的值域为. 19．已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)当，求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值. 【答案】(1)(2)(3)的取值范围：，的值为：或. 【详解】（1）∵的图像经过点， ∴，∴或， ∵，∴， 令，解得， ∵两条对称轴间的距离的最小值为， ∴，且，∴，∴ （2）令， 解得， 当时，，时， 又∵，∴函数的单调递增区间为. （3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减， 在区间内存在两条对称轴分别为和， ，，， 函数大致图像为： ∵有且仅有两个实根，即有两个交点，如图所示 由图像可知的取值范围：， 由三角函数的对称性可知的值为：或. 2 / 42 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$