第七章 三角函数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第七章 三角函数（压轴题专练） 题型一：扇形中的最值问题 1．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 2．已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)(2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 3．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 4．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 5．如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 6．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为 (1)若，，求扇形的弧长 (2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 【答案】(1)(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是． 【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，. （2）由题设条件知，, 因此扇形的面积 当时，有最大值，此时, 当时，扇形的面积最大，最大面积是． 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 7．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 8．已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 【答案】 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 所以，， 又，所以，故， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以. 故答案为：. 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 10．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 故选：C. 11．已知，则的值是 . 【答案】1 【详解】因为， 所以， ，， 故答案为：1 12．（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确，,； 对于B，，B不正确，； 对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确． 对于D，∵α为第一象限角， ∴原式，D正确． 故选：AD. 题型三：与关系的应用 13．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； ，D正确； 结合可得，，B正确； ，C不正确． 故选：ABD． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为， 平方得：， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以. 故选：A. 15．已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于B，因为①， 所以， 则，故B正确； 对于A，又，所以，则，故为第一象限角，故A错误； 对于C，所以， 则②， 由①②可得，，则，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD. 16．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A，因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； D，又由， 所以，所以D正确； B，联立方程组，解得，所以B正确； C，由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 17．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 【答案】(1)(2)(3)两根为，或 【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程为，其两根为， 所以或，又因为，所以或. 18．已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，则． A，，可得，正确； B，由A知，，则， 所以，则，正确； C，由，可得，则，错误； D，，正确． 故选：ABD. 题型四：利用诱导公式求解给值求值问题 19．已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）由，，得为第四象限角， 则，， 所以． （2）由，得， 整理得，所以或. 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以. ，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ，选项D正确. 故选：ABD. 21．已知函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，解得，故B错误， 所以，所以A正确； ，故C正确； ， ，故D错误. 故选：AC. 22．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知___________. (1)求的值； (2)当为第三象限角时，求的值. 【答案】(1)①②③，答案均为(2) 【详解】（1）若选①，则， 所以； 若选②，则， 即，则， 所以； 若选③，则，即， 所以. （2）由（1）得，即， 由，则，解得， 为第三象限角，， . 23．（1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为，则 ； （2）因为、是方程的两个根， 则，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 所以，，解得，合乎题意，故. 24．已知为锐角，且，，则 . 【答案】/ 【详解】由， 可得，即①． 由， 可得②． ①②得， ∴，即． ∵，∴， 又为锐角，∴． 故答案为：． 题型五：利用互余互补关系求值 25．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，所以 ， 故选：A． 26．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 27．已知函数 (1)化简； (2)若，求､的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1） （2）因为，所以为第三象限角或第四象限角. 当为第三象限角时，； 当为第四象限角时，. （3）因为，所以. 因为，所以. 故. 因此. 28．已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 29．已知，，则 ． 【答案】 【详解】,所以，故， 所以 所以， 故答案为： 30．已知且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又， 所以，所以 所以， 因为 ，所以， 所以， 故答案为： 题型六：与三角函数有关的零点问题 31．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为 . 【答案】5 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以，即， 与联立得，因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 而在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4， 综上得符合条件的的个数是5． 故答案是：5． 32．下列函数①②③④中，既是偶函数又存在零点的是 . 【答案】① 【详解】由选项可知，②是奇函数，③是非奇非偶函数，故排除②③，①④是偶函数， 但④与轴没有交点，即④的函数不存在零点，故选①. 故答案为： 33．已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（   ）个单位 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间上单调， 所以最小正周期， 即，， 又已知其中为大于1的整数，所以. 因为是的一个零点，所以. 当时，，由，得， 所以， 验证：， 且当，则， 函数在区间上单调递减，满足题意； 当时，，由，得， 所以， 验证：，不满足题意；     综上可知，. 由是偶函数， 又不是偶函数； 不是偶函数； 不是偶函数； 综上，将向右平移个单位，可成为偶函数，B项正确，其余选择均错误； 故选：B. 34．若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 所以函数在上由小到大的第5个零点为， 第6个零点为， 由题知，，解得， 故选：D 35．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得． 令． 当时，与的大致图象如图（1）所示， 由于两个函数的图象都关于直线对称，此时如果有交点，交点的个数应为偶数，不可能只有一个； 当时，方程无解； 当时，与的大致图象如图（2）所示，要使两个函数图象只有一个交点， 则有，即，则． 故选：C. 36．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又，，，， 所以函数在内存在零点，在区间，不存在零点， 当时，，， 所以函数在区间内不存在零点， 故选：B. 题型七：正余弦函数的奇偶问题 37．已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小正周期为4 C． D．函数的图象与直线在上有且仅有4个交点 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的图象关于直线对称，且，所以，所以A正确； 对B，由题意可知，，所以函数的图象关于点对称， 函数的图象如图所示，所以函数不是周期函数，所以B错误； 对于C，由函数的图象关于点对称，得， 注意到，又的图象关于直线对称， 则，； 对于D，注意到直线与函数的图象都过点， 设，因， 所以直线为函数图象的一条割线， 又因为，， 则，使， 即函数的图象与直线在上有且仅有2个交点， 由对称性可知其图象在上有且仅有2个交点，在上没有交点， 所以函数的图象与直线在上有且仅有4个交点，所以D正确. 故选：ACD 38．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，“则是奇函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】奇函数， 则， 所以， 由于，则或. 所以“则是奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 39．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，其最小正周期为，故A错误； 对B，设，且，解得， 其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确； 对C，其最小正周期为，故C错误； 对D，设 ，定义域为，关于原点对称， 则，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 40．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．的最小正周期为 【答案】AD 【详解】对于选项A:由，令，则，， 因为在上单调递增，所以，故选项A正确； 对于选项B: 由可知，对任意的， 因为，而，易验证故不是奇函数， 故选项B错误； 对于选项C:结合选项A可知在单调递减，而在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得在单调递减，故选项C错误； 对于选项D:因为的最小正周期为， 所以，所以的最小正周期为，故选项D正确. 故选：AD. 41．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为奇函数，所以， 得，即， 所以，即，解得． 故选：B． 42．函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数， 所以图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以，所以， 故，又，得， 所以，， 故选：A. 题型八：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 43．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 44．已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的范围是 B．函数在上单调递增 C．不可能是函数的图像的一条对称轴 D．的最小正周期可能为 【答案】AC 【详解】A选项，时，， 由函数在上有且仅有两个对称中心得， ，解得，A正确； B选项，时，， 由A可知，故，而， 故函数在上不一定单调，B错误； C选项，假设为函数的一条对称轴， 令，，解得，， 又，故，又，故无解， 故不可能是函数的图像的一条对称轴，C正确； D选项，，故的最小正周期， 故的最小正周期不可能为，D错误. 故选：AC 45．已知函数，其中，在上有6个零点，则的范围为 . 【答案】 【详解】由，得，由，得， 由在上有6个零点，得， 解得，由，解得，无整数解； 由，解得，而，因此； 由，解得，而，因此或； 由，解得，而，因此， 当时，，解得；当时，，解得， 所以的范围为. 故答案为： 46．设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得，即在上仅有一个零点， 所以只需在上有个不同零点即可． 当时，，所以，即. 故选：C. 47．已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 . 【答案】 【详解】当时，如图为满足题意的两种情况：        即或，解得； 当时，如图：    则，解得. 综上，的范围是， 故答案为：. 48．已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】函数关于直线对称， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当，则， 要使函数在区间上有且只有三个零点，所以， 所以的范围为：. 故答案为： 题型九：正余弦函数的最值与值域问题 49．已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 50．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 51．已知关于的方程在上有解，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程在上有解，即在上有解， 令，，则，即， 所以. 故选：C 52．函数的最小值为 . 【答案】 【详解】令，， ， 结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值， 所以. 故答案为： 53．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 54．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 因为，所以， 故. 故选：D 题型十：根据正切函数单调性求参数的范围问题 55．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 56．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 57．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C．2 D． 【答案】BD 【详解】∵， ∴ 当时，， 当时， ∵当时，函数不单调， ∴， ， 故选：BD 58．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 【答案】A 【详解】因函数经过点，，则得，因，解得； 又，则得，解得，. 又由可得， 因函数在单调递增，则，解得， 故，经检验此时满足题意，. 故选：A. 59．已知函数在上单调递增，则 ． 【答案】/ 【详解】函数，由，得， 因此函数在上单调递增，又在上单调递增， 于是，即，解得， 所以. 故答案为： 60．已知函数在上单调递增，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】令，解得， 故的单调递增区间为， 令得，一个单调递增区间为， 要想函数在上单调递增， 故，所以满足要求，不合要求. 故选：ABC 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数（压轴题专练） 题型一：扇形中的最值问题 1．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 2．已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 3．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 4．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 6．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为 (1)若，，求扇形的弧长 (2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 7．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 8．已知是关于的方程的两个实根，且，则 . 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 11．已知，则的值是 . 12．（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 题型三：与关系的应用 13．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 16．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 18．已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：利用诱导公式求解给值求值问题 19．已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 20．已知，则（   ） A． B． C． D． 21．已知函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知___________. (1)求的值； (2)当为第三象限角时，求的值. 23．（1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 24．已知为锐角，且，，则 . 题型五：利用互余互补关系求值 25．若，且，则（    ） A． B． C． D． 26．已知，则 ． 27．已知函数 (1)化简； (2)若，求､的值； (3)若，求的值. 28．已知，则 . 29．已知，，则 ． 30．已知且，则 ． 题型六：与三角函数有关的零点问题 31．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为 . 32．下列函数①②③④中，既是偶函数又存在零点的是 . 33．已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（   ）个单位 A． B． C． D． 34．若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 36．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型七：正余弦函数的奇偶问题 37．已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小正周期为4 C． D．函数的图象与直线在上有且仅有4个交点 38．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，“则是奇函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 40．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．的最小正周期为 41．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 42．函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（    ）    A． B． C． D． 题型八：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 43．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 44．已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的范围是 B．函数在上单调递增 C．不可能是函数的图像的一条对称轴 D．的最小正周期可能为 45．已知函数，其中，在上有6个零点，则的范围为 . 46．设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A． B． C． D． 47．已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 . 48．已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 题型九：正余弦函数的最值与值域问题 49．已知函数，则函数的值域为 . 50．函数的值域为 . 51．已知关于的方程在上有解，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．函数的最小值为 . 53．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 54．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型十：根据正切函数单调性求参数的范围问题 55．已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 56．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C．2 D． 58．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 59．已知函数在上单调递增，则 ． 60．已知函数在上单调递增，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$