专题03 乘法公式（10题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题03 乘法公式 目录 【题型一 利用乘法公式进行简便运算】 1 【题型二 利用乘法公式求代数式的值】 3 【题型三 由完全平方求字母的值】 4 【题型四 平方差公式的几何背景】 5 【题型五 完全平方公式的几何背景】 7 【题型六 乘法公式的应用】 8 【题型七 乘法公式的证明】 12 【题型八 由乘法公式求最值】 15 【题型九 乘法公式的规律探究】 18 【题型十 乘法公式中的新定义问题】 21 【题型一 利用乘法公式进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式进行简便运算： （1）( ) ） ； （2）( ) ） ． 【答案】 100 1 10201 10 0.2 96.04 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， 故答案为：． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【题型二 利用乘法公式求代数式的值】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 先利用平方差公式求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：， ， 即， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的应用和代数式的求值问题．解题的关键是先求，将其化为含有和的形式，体现了转化的思想和整体思想． 先求出，利用代数式的恒等变形，将其化为含有和的形式，再整体代入求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：8． 【题型三 由完全平方求字母的值】 例题：（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）若，则m的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式把原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可得出结果． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 【题型四 平方差公式的几何背景】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为8，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故答案为：4． 【题型五 完全平方公式的几何背景】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积的关系，根据新图形的面积可表示为或，从而可得答案． 【详解】解：边长为的正方形，将它的边长增加，则面积为或， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，正方形的边长为，阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据阴影部分面积正方形面积四个三角形面积即可作答． 【详解】根据条件，正方形的面积为： 白色三角形的面积为： 故阴影面积为： 故答案为：． 【题型六 乘法公式的应用】 例题：（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题关键． （1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，即可得到答案； （2）用两种不同方法表示出阴影面积即可； （3）结合（2）所得式子，即可得到答案； （4）根据（3）中的等量关系计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为， 则图②中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为： （2）解：方法①阴影的面积为边长的正方形面积，即； 方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则， 故答案为：；； （3）解：根据图②里图形的面积关系，可得； （4）解：由（3）中的等量关系可知， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)20； (2)； (3)7． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据化简求解即可得到答案； （2）根据化简求解即可得到答案； （3）根据化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， 四边形，是正方形，， ，， ， 即：， ． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)当，，求绿化的总面积； (3)在（）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少小时，则甲、乙两队各工作多少小时？ 【答案】(1)； (2)平方米； (3)甲队工作小时，乙队工作小时． 【分析】（）利用长方形的面积减去正方形的面积求解即可； （）代入的值计算即可； （）根据题意列出一元一次方程求解即可； 本题考查了多项式乘以多项式，平方差公式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确列式和一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：长方形地块的面积为，雕像的面积为， 则绿化的总面积为 ； （2）解：当，时， 绿化的总面积为（平方米）； （3）解：设甲队工作小时，则乙队工作小时， 根据绿化总面积得：， ， ， ， 则乙队工作， 答：甲队工作小时，乙队工作小时． 【题型七 乘法公式的证明】 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是 ． 【答案】 【分析】根据两个图形的特征结合正方形、长方形的面积公式，即可求解， 本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积， 右图中阴影部分的面积， 可以验证， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ； (2)利用上述乘法公式计算：． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即；右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解：根据上述乘法公式计算：， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：________，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①28；② 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）方法可采用两个正方形的面积和；方法可以用大正方形减去两个长方形的面积； （2）由（1）得，两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可；②设，，则，，再根据（2）中结论的变形可得，代入即可得解． 【详解】（1）解：依题得： 方法：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法：阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积， ． 故答案为：；． （2）解：由（1）得，． 故答案为：． （3）解：①由题意得：， ， ， 又， ． ②设，， 则有，， 由（2）得：， ∴， 即． 【题型八 由乘法公式求最值】 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质-偶次方．将多项式配成完全平方的形式，然后令平方项为0，求最值即可． 【详解】解： ． 由， 当时，多项式有最小值． 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的材料 学习完《第十四章  整式的乘法与因式分解》，某校八年级数学兴趣小组探索了代数式的最值问题，具体过程如下： ，不论取何值，，当且仅当时等号成立． ．代数式有最小值是． 根据上面材料的信息，解决下列问题 (1)求证：代数式的最小值为． (2)判断代数式有最大值还是最小值？并求出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)有最大值，当时，代数式有最大值11 【分析】此题考查配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）证明： ， 不论取何值，，当且仅当时等号成立． ． 的最小值为． （2）解：代数式有最大值． ， 不论取何值，，当且仅当时等号成立． ， 当时，代数式有最大值11． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 【答案】(1)B (2)； (3)理由见解析 【分析】本题考查完全平方式，完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）将多项式的最小值问题转化为利用平方的非负性解决问题； （2）将已知等式化为，可得结论； （3）将转化为，再根据平方的非负性可得结论； 正确理解完全平方式及非负数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：；； （3）∵ ， 又∵ ∴， ∴代数式的值是正数． 【题型九 乘法公式的规律探究】 例题：（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．根据题目规律得出计算结果为，然后确定个位数字的规律解答即可． 【详解】解：根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·云南保山·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ．．．．．．．．．． 按照以上规律，猜想第个等式为： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】解：猜想：第个等式是， 证明：∵ ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． （1）根据以上规律，则 ； （2）你能否由此归纳出一般规律 ； （3）根据以上规律计算：． （4）根据以上规律计算：= ． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）仿照已知等式求出所求原式的值即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值； （）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值； 此题考查了平方差公式，数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 【详解】（）解：∵； ； ； ； ∴， 故答案为：； （）解：∵； ； ； ∴， 故答案为：； （）解： ； （）解： 故答案为：． 【题型十 乘法公式中的新定义问题】 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式． 原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川达州·期中）我们定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知：，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，乘方运算，因为，所以，解得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B． 3．（21-22八年级上·吉林白城·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运用，利用完全平方公式得到，即可求得的值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 【答案】35 【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为， 图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30， ，， ， ， 即两个正方形的面积和为35， 故答案为：35． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 【答案】 24 1216 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和， 则“师一优数”可表示为， ∵为正整数， 当时，第1个“师一优数”为； 当时，第2个“师一优数”为； 当时，第3个“师一优数”为； 归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）． 当时，，即第150个“师一优数”为1216， 故答案为：24，1216． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 12．（20-21八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 15．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)96 (2)49 (3)65 (4)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确理解题意并熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （2）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）设，利用完全平方公式的变形进行求解即可； （4）设，则，，由此求出，即，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：96； （2）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：49； （3）解：设，则，， ∴ ， 故答案为：65； （4）解：设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式 目录 【题型一 利用乘法公式进行简便运算】 1 【题型二 利用乘法公式求代数式的值】 2 【题型三 由完全平方求字母的值】 2 【题型四 平方差公式的几何背景】 2 【题型五 完全平方公式的几何背景】 3 【题型六 乘法公式的应用】 4 【题型七 乘法公式的证明】 5 【题型八 由乘法公式求最值】 7 【题型九 乘法公式的规律探究】 8 【题型十 乘法公式中的新定义问题】 9 【题型一 利用乘法公式进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式进行简便运算： （1）( ) ） ； （2）( ) ） ． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型二 利用乘法公式求代数式的值】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·阶段练习）已知，则的值为 ． 【题型三 由完全平方求字母的值】 例题：（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）若，则m的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 2．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）若，则的值为 ． 【题型四 平方差公式的几何背景】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【题型五 完全平方公式的几何背景】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，正方形的边长为，阴影部分图形的面积为 ． 【题型六 乘法公式的应用】 例题：（24-25七年级上·湖北孝感·期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)当，，求绿化的总面积； (3)在（）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少小时，则甲、乙两队各工作多少小时？ 【题型七 乘法公式的证明】 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ； (2)利用上述乘法公式计算：． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：________，方法2：________； (2)从中你发现什么结论呢？________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【题型八 由乘法公式求最值】 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的材料 学习完《第十四章  整式的乘法与因式分解》，某校八年级数学兴趣小组探索了代数式的最值问题，具体过程如下： ，不论取何值，，当且仅当时等号成立． ．代数式有最小值是． 根据上面材料的信息，解决下列问题 (1)求证：代数式的最小值为． (2)判断代数式有最大值还是最小值？并求出此时的值． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 【题型九 乘法公式的规律探究】 例题：（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【变式训练】 1．（24-25九年级上·云南保山·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ．．．．．．．．．． 按照以上规律，猜想第个等式为： ． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． （1）根据以上规律，则 ； （2）你能否由此归纳出一般规律 ； （3）根据以上规律计算：． （4）根据以上规律计算：= ． 【题型十 乘法公式中的新定义问题】 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川达州·期中）我们定义一种新运算：，若，则 ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知：，则（　　） A．1 B． C． D． 3．（21-22八年级上·吉林白城·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，则 ． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 12．（20-21八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 15．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值． 解：设，，则， ， 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，_____； (2)，，_____； (3)若，则_____． (4)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$