精品解析： 山东省青岛第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

青岛二中 2024-2025 学年第一学期 12 月份阶段练习一高三数学试题 命题人：丁玲玲 姜欣勇 赵叶欣 刘春业 审核人：孙云涛 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据集合交集运算即可得答案 【详解】由，可得，所以， 所以. 故选：B 2. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：D． 3. 已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解. 【详解】设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 4. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法正确的是： （ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（万只） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量与正相关 B. 当时，残差为0.2 C. 线性回归方程 D. 可以预测当 时销量约为 2 万只 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据变化情况判断A；由样本中心点求出线性回归方程判断C；利用回归方程求出预测值，进而求出残差判断B；利用回归方程求出预测值判断D. 【详解】对于A，从数据知，随的增大而减小，变量与负相关，A错误； 对于C，，，， 因此线性回归方程为，C正确； 对于B，，残差，B错误； 对于D，当时销量约为（万只），D错误. 故选：C 5. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域，利用奇偶性定义和导数可确定的单调性，根据单调性可将所求不等式化为自变量大小关系的比较，结合函数定义域可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：，的定义域为； ，为定义在上的偶函数， ，， 当时，，即，又，， ，在上单调递增，又为偶函数， 图象关于轴对称，在上单调递减， 由得：，解得：， 的解集为. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】由 由， 于是有， 故选：D 7. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选出1个志愿者参加两天的服务，再从剩下的3人中抽取2人参加服务，再结合古典概型计算概率即可. 【详解】不妨设4名志愿者分别假设连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有种方法， 所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：种. 总的情况数为种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解. 【详解】 如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为M为靠近点F的的三等分点，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，由及， 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以． 故选：D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例即可；B选项，由向量数乘运算和数量积公式得到；C选项，根据向量数量积公式得到，故；D选项，计算出，得到垂直关系. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，故，则，B正确； C选项，，故，故，C正确； D选项，， 故向量与向量垂直，D正确. 故选：BCD 10. 已知为等差数列，为正项等比数列，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算判断AB；利用等比数列性质计算判断CD. 【详解】对于A，等差数列中，，， ，A正确； 对于B，等差数列中，，， 不一定为0，B错误； 对于C，正项等比数列中，，， ，C正确； 对于D，正项等比数列中，，， 不一定为1，D错误. 故选：AC 11. 若函数恒成立，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式恒成立可求得且，将代入再由二次函数性质可得A正确；由基本不等式以及对数函数单调性计算可得B正确；利用基本不等式中“1”的应用可得等号不成立，可得C错误；由指数运算法则以及基本不等式计算可得D正确. 【详解】由， 可得或，解得或； 当时，可得或； 当时，可得或； 又因为对恒成立，所以，即 又，可得； 对于选项，由可得， 所以， 当，等号成立，此时的最小值为，则选项错误； 对于选项，易知，因此，即； 因此，可得的最大值为，即选项正确； 对于选项,由可得； 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立，此时与矛盾， 因此等号不成立，可得C错误； 对于选项,易知， 当且仅当，即时，等号成立，即D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由不等式恒成立得出相应解集求得，再确定的符号利用基本不等式对选项进行逐一判断即可得出结论. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知是关于x的方程的根，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】由是也是方程的根，再由韦达定理即可得实数的值． 【详解】因为是关于x的方程的根，其中， 所以也是关于x的方程的根， 所以，即． 故答案为： 13. 关于函数（，），有下列四个说法： ① 的最大值为3；②的图象可由的图象平移得到；③图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称.其中有且仅有一个说法是错误的，则 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果. 【详解】由②得，由③得最小正周期，，则②和③相互矛盾； 当①③④成立时，，，，即，， 不存在整数使得，无解； 当①②④成立时，，，，， 由，取，，即，因此. 故答案为： 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数满足的表达式以及奇偶性利用赋值法可求得，且函数和的周期都为3，代入计算即可得出结果. 【详解】令，可知， 又因为，可得，所以； 令，可得， 所以， 因为是奇函数，可知为偶函数， 因此； 由两式相减可得； 即， 可得； 所以，即函数的周期为3，所以的周期也为3； 可得 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给条件由赋值法并结合函数奇偶性以及导函数性质计算得出函数和导函数的周期，再进行计算即可. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：由可得， 根据正弦定理可得. （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果； （2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得，再由三角形面积公式计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 整理可得，即； 解得或； 当时，由，可得，与矛盾，舍去； 可得，代入，可得， 解得，所以； 由可得，即； 所以的面积为 16. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：依题意，，而，平面， 则平面，又平面，则， 由，，得，， 连接，则，而，平面PCE， 因此平面，又平面， 所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，连接，再证明平面，进而可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】（1），； （2）2080 【解析】 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，，经过检验，得到； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数为，从而确定数列前2025项是项之后，还有项为1，分组求和即可. 【小问1详解】 为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而； 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故. 18. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为， 点是上一点，的最小值为 1 ． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点， 不与轴平行或重合的直线交椭圆于 两点， 记直线的斜率为，直线的斜率为，且． ① 证明：直线过定点； ②设的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1） （2） ①证明：设直线的方程为，， 由，得， ，即， 则，，直线斜率， ，由在椭圆上，得，即， 因此，，即， 由在直线上，得， 则 ，于是，解得， 此时， 所以直线的方程为，即直线过定点. ②. 【解析】 【分析】（1）利用离心率及焦点到椭圆距离的最值列方程组求出，即可得椭圆方程. （2）①设直线出方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式得出，进而计算求出纵截距即可得出定点；②由求出面积的函数关系，结合对勾函数得出最值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，则，， 解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②记直线过定点，，由①知， 于是 ， 令，则，函数在上单调递增， 所以当，即时，取最小正值，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2） （i）由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得，. 两式消去，得，则， 令，，由， 所以在上单调递增，所以，即无解， 所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合. （ii） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况分析判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）（i）设点和点，不妨设，然后根据导数的几何意义分别求出在两点处的切线，的方程，假设与重合，然后列方程组消去，得，化简后构造函数讨论即可；（ii）先解决对于，不等式恒成立，令，则在上恒成立，由，解得，然后利用证明当时，在上恒成立，从而可求出，使得成立时，的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，则当时，，单调递增； 则当时，，单调递减； 综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 （i）略 （ii）当时，先解决对于，不等式恒成立， 令，，则在上恒成立， 由，解得. 下面证明当时，在上恒成立. 则当时，，令， 则， 则当时，由，，则， 则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为. 所以，使得成立时，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为求对于，不等式恒成立，即求原命题的否定后的的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中 2024-2025 学年第一学期 12 月份阶段练习一高三数学试题 命题人：丁玲玲 姜欣勇 赵叶欣 刘春业 审核人：孙云涛 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若与线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法正确的是： （ ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（万只） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量与正相关 B. 当时，残差为0.2 C. 线性回归方程 D. 可以预测当 时销量约为 2 万只 5. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 10. 已知为等差数列，为正项等比数列，若，则有（ ） A. B. C. D. 11. 若函数恒成立，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知是关于x的方程的根，则实数__________． 13. 关于函数（，），有下列四个说法： ① 的最大值为3；②的图象可由的图象平移得到；③图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称.其中有且仅有一个说法是错误的，则 _____________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则____________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，且，求的面积． 16. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 18. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为， 点是上一点，的最小值为 1 ． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点， 不与轴平行或重合的直线交椭圆于 两点， 记直线的斜率为，直线的斜率为，且． ① 证明：直线过定点； ②设的面积为S，求S的取值范围． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $