第16讲 图形的旋转（3大知识点+12大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第16讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例认识平面图形的旋转，探索它的基本性质，会进行简单的旋转画图. 2、经历有关旋转的观察、操作、分析及抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力. 知识点1 图形的旋转 1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 . 旋转不改变图形的形状和大小.下列图片反映的是日常生活中物体旋转的一些场景. 2.旋转的有关概念：如图3-10,△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD,∠BOE,∠COF都是旋转角. 要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 知识点2 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 (3)对应线 段相等，对应角相等； (4)旋转前、后的图形的形状与大小不变. 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点3 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 考点一:判断生活中的旋转现象 例1．下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【变式1-1】．下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【变式1-2】．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   考点二:判断一个图形旋转而成的图案 例2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C．D． 【变式2-1】．下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（    ） A．三分之一，平移 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【变式2-3】．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 考点三:求旋转有关的概念（旋转中心、旋转角、对应点等） 例3．如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：    （1）点的对应点是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角为 ； （3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ． 【变式3-1】．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角是 C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D．旋转角是 【变式3-3】．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【变式3-4】．如图，四边形经过旋转后与四边形重合． （1）指出这一旋转的旋转中心和旋转角； （2）写出图中相等的线段和相等的角． 考点四:求能与原图形重合的旋转角 例4．一个正方形绕其中心旋转一定角度后与自身重合，旋转角度至少为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式4-2】．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．  B．   C．   D．   【变式4-3】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 考点五:旋转的性质 例5．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【变式5-2】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ． 【变式5-3】．如图，三角形绕点逆时针旋转得到三角形，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点六:旋转有关的作图 例6．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段； (1)画出线段，； (2)将线段绕点O逆时针旋转（）得到线段，连接．若，求的度数． 【变式6-1】．如图，在中，，．点P是BC边上一点，将绕点A逆时针旋转． (1)作出旋转后的图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求AP的长． 【变式6-2】．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． (1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出； (3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 【变式6-3】．如图，在正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标依次为：，，． (1)将以点为旋转中心旋转，得到，点、的对应点分别为点、请在网格图中画出． (2)将平移至，其中点、、的对应点分别为点、、，且点的坐标为，请在图中画出移后的． (3)在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________．（直接写出答案） (4)在轴上找出一点，使点到点．的距离之和最小，直接写出点的坐标________． 考点七:求旋转中心（个数） 例7．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【变式7-1】．如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【变式7-2】．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式7-3】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【变式7-4】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 考点八:求旋转一定角度的坐标 例8．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（　）    A． B． C． D． 【变式8-3】．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 考点九：旋转的规律题 例9．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为 ． 【变式9-1】．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【变式9-2】．如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 考点十：旋转与三角形的证明（基础） 例10．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转至使得点A恰好落在上，则旋转角度为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】．如图，将绕点A逆时针旋转得到，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线上．如果，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 考点十一：旋转与三角形的证明（提高） 例11．如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（    ）    A． B．4 C． D． 【变式11-1】．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式11-2】．如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-3】．如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D．4 考点十二：解答综合题 例12．如图，是等边三角形，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长． 【变式12-1】．如图，绕点A顺时针旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求的度数； (2)F是延长线上一点，且，，如图2．求证：垂直平分． 【变式12-2】．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接， (1)求证:是等边三角形． (2)当时，，求的长． 【变式12-3】．如图，在四边形中， ， 交于点E．将 绕点 C顺时针旋转 得到． (1)画出旋转之后的图形． (2)求证： (3)若的面积为，的面积为，求值． 【变式12-4】．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系． 如图，，，，． 操作探究： (1)如图①，当D、C、B在同一条直线上时，判断直线与直线的位置关系并证明； (2)如图②，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点G，判断此时的形状并证明； (3)如图③，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长．      一、单选题 1．有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 3．如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　） A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 4．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(  ) A．42° B．48° C．52° D．58° 6．将点绕着原点按逆时针方向旋转后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点O逆时针旋转90°，得到．若点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知一次函数 的图象与 轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转90°后的直线表达式为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 10．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中，将绕点旋转，得到（不含），使得也是格点三角形（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．55° D．75° 12．已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．在下列图案中可以用旋转得到的是 （填序号）． 14．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度至少为 15．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，D是AB上一点，△CBD经旋转后到达△CAE的位置，点B的对应点是 ，点D的对应点是 ，线段CB的对应线段是 ，线段CD的对应线段是 ，∠B的对应角是 ． 16．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 度． 17．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转20°得到，交于点F，则 °． 18．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于 度． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 20．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 三、解答题 21．如图，在中，，将它绕着点C逆时针旋转后得到，则的度数是多少？ 22．将线段AB绕点O逆时针旋转60°，得到对应线段A'B'，请用无刻度的直尺及圆规作图：（保留作图的痕迹，不要求写出作法） （1）作出旋转中心O； （2）作出线段A'B'． 23．如图，将绕直角顶点B逆时针旋转得到，的延长线恰好经过的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 25．如图，中，，，将绕点O顺时针旋转得到，边与交于点E，点D，B是对应点． (1)_____°． (2)线段的长一定等于线段______的长； (3)求的度数． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到． (1)请在图中画出，并求出的面积； (2)若△ABC内一点，则在内与M相对应的点的坐标是______． 27．如图，为等边三角形，点P在左侧且，将绕点A顺时针旋转60° (1)画出图形． (2)在（1）的条件下，求证：； 28．如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数． (3)求的面积． 29．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴于点，交x轴交于点B，且，过点C作y轴的垂线，交直线于点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与y轴交于点F． ①若的面积为8，求点F的坐标； ②如图2，当点F在y轴正半轴上时，将直线绕点B顺时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 30．如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例认识平面图形的旋转，探索它的基本性质，会进行简单的旋转画图. 2、经历有关旋转的观察、操作、分析及抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力. 知识点1 图形的旋转 1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 . 旋转不改变图形的形状和大小.下列图片反映的是日常生活中物体旋转的一些场景. 2.旋转的有关概念：如图3-10,△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD,∠BOE,∠COF都是旋转角. 要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 知识点2 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 (3)对应线 段相等，对应角相等； (4)旋转前、后的图形的形状与大小不变. 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点3 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 考点一:判断生活中的旋转现象 例1．下列现象不是旋转的是（   ） A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼 C．言言在荡秋千 D．关上教室门 【答案】B 【分析】本题考查生活中的旋转现象，根据旋转的定义逐项判断，即可解题． 【解析】解：A、飞速旋转的电风扇，是旋转现象，不符合题意； B、坐电梯从1楼到10楼，是平移现象，不是旋转现象，符合题意； C、言言在荡秋千，是旋转现象，不符合题意； D、关上教室门，是旋转现象，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】．下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【解析】解：、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； 、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误； 、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； 、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 【变式1-2】．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   【答案】C 【解析】略 考点二:判断一个图形旋转而成的图案 例2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了 的旋转现象，直接利用旋转的性质得出对应图形即可，正确掌握旋转方向是解此题的关键． 【解析】 解：将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是， 故选：D． 【变式2-1】．下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解题的关键是掌握把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换． 【解析】解：①由顺时针旋转得到，故①正确； ②由逆时针旋转得到，故②正确 ③由无法旋转得到，故③错误； ④由顺时针旋转得到，故④正确． 故选：C． 【变式2-2】．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（    ） A．三分之一，平移 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个 图形 上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移． 【解析】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D. 【变式2-3】．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【解析】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 考点三:求旋转有关的概念（旋转中心、旋转角、对应点等） 例3．如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：    （1）点的对应点是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角为 ； （3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ． 【答案】 点 点 或 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【解析】（1）点的对应点是点； （2）旋转中心是点，旋转角为或； （3）的对应角是，线段的对应线段是线段． 故答案为：点；点；或；；． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 【变式3-1】．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解． 【解析】是由绕点旋转得到的， 是旋转角， ，， 旋转角的度数为． 故选：A． 【变式3-2】．如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角是 C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转 D．旋转角是 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误； B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误； C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确； D、旋转角是∠ACD或者是360°−∠ACD，错误． 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【变式3-3】．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【答案】(1)旋转中心为C点 (2)逆时针；旋转角度为 (3) 【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质： （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可； （3）根据旋转的性质，进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：旋转中心为C点； （2）解：由图可知：绕点C点逆时针旋转，可以得到； ∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为； （3）解：∵旋转， ∴． 【变式3-4】．如图，四边形经过旋转后与四边形重合． （1）指出这一旋转的旋转中心和旋转角； （2）写出图中相等的线段和相等的角． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角是或或；（2）见解析 【分析】（1）直接根据旋转的定义和旋转角的定义判定即可； （2）利用旋转前后的图形对应边相等、对应角相等，以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可得出结论． 【解析】（1）旋转中心是点A，旋转角是或或； （2）相等的线段： ，，，； 相等的角： ，，，，，． 【点睛】本题考查了旋转的概念与性质，解决本题的关键是正确理解旋转的概念与性质，能正确找出对应边与对应角等． 考点四:求能与原图形重合的旋转角 例4．一个正方形绕其中心旋转一定角度后与自身重合，旋转角度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念；求出正方形的中心角即可得解 【解析】正方形的中心角为， 所以它绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为， 故选：B． 【变式4-1】．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等，根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【解析】解： ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是 故选：． 【变式4-2】．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．   B．    C．   D．   【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可． 【解析】解：A选项：最小旋转角度； B选项：最小旋转角度； C选项：最小旋转角度； D选项：最小旋转角度； 综上可得：旋转的角度最小的是D． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 【变式4-3】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【解析】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为． 故选：C． 考点五:旋转的性质 例5．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【解析】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式5-1】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【解析】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 【变式5-2】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ． 【答案】50°/50度 【分析】根据旋转的性质可得出∠B'CB=50°，此题得解． 【解析】解：根据等于旋转角的大小， ∴． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，牢记对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 【变式5-3】．如图，三角形绕点逆时针旋转得到三角形，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，解答即可 【解析】解：∵三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【变式5-4】．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，即可求解． 【解析】解：根据旋转的性质可得 ∴ 故答案为B． 【点睛】此题考查了旋转的有关性质，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键． 考点六:旋转有关的作图 例6．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段； (1)画出线段，； (2)将线段绕点O逆时针旋转（）得到线段，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图所示，线段，即为所求 （2）解：作图如下： 由题意得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】．如图，在中，，．点P是BC边上一点，将绕点A逆时针旋转． (1)作出旋转后的图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求AP的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接即可解答； （2）如图：连接，由题意得．由旋转得，则可得．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后解答即可． 【解析】（1）解：如图∶即为所求． （2）解：如图：连接， ∵，， ∴ 由旋转可知， ∴，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，即，解得：． 【变式6-2】．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． (1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出； (3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可． 本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【解析】（1）解：根据题意，得，向下平移4个单位后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，绕原点O逆时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转作图，得绕逆时针旋转得到， 故答案为：． 【变式6-3】．如图，在正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标依次为：，，． (1)将以点为旋转中心旋转，得到，点、的对应点分别为点、请在网格图中画出． (2)将平移至，其中点、、的对应点分别为点、、，且点的坐标为，请在图中画出移后的． (3)在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________．（直接写出答案） (4)在轴上找出一点，使点到点．的距离之和最小，直接写出点的坐标________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，平移变换，一次函数与坐标轴的交点，熟悉掌握旋转的性质是解答关键． （1）根据旋转的性质画出图形即可； （2）根据平移的性质画出图形即可； （3）根据旋转的性质，旋转中心在对应点连接的垂直平分线上即可求解； （4）作关于x轴的对称点为，连接交x轴于点，则点到点．的距离之和最小，求出直线的解析式，并求出其与x轴的交点即为所求． 【解析】（1）解：如图，即可所求． （2）解：如上图，即为所求． （3）解：由点关于点对称，点与关于对称， 则旋转中心的坐标为． 故答案为：． （4）解：作关于x轴的对称点为，连接交x轴于点， 则点到点．的距离之和最小， 设直线的解析式为,将代入解析式得： 解得：, 则该直线的解析式为：, 当时，, 故点 故答案为：． 考点七:求旋转中心（个数） 例7．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【解析】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【变式7-1】．如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【答案】3 【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案． 【解析】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合； 以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合； 则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个． 故答案为：3 【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键． 【变式7-2】．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【解析】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，      即旋转中心为M点． 故选：A． 【变式7-3】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【解析】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 【变式7-4】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【解析】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 考点八:求旋转一定角度的坐标 例8．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【解析】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 【变式8-1】．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 【解析】解：根据题意，可画出如下图形：    ∴点的坐标， 故选：． 【变式8-2】．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题；过点作轴于点H，分别求出即可； 【解析】如图，过点作轴于点H，     ， ， 将绕点O逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， 故选：A； 【变式8-3】．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，点作轴于点，设，根据等边对等角可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得，得到，根据旋转的性质可得， ，然后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得，，据此即可求解．本题考查了坐标与图形变化旋转，等边对等角，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【解析】解：过点作轴于点，点作轴于点， 设， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵绕原点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【变式8-4】．如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是过点作轴于，轴于，求得，，，根据旋转的性质得出，，解直角三角形求得，，从而求得，． 【解析】解：过点作轴于，轴于， 在等腰中，，， ，， ， ， 将绕原点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ，， 故选：B．    考点九：旋转的规律题 例9．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．根据勾股定理列式求出，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用20除以3，根据商为6，余数为2，可知第20个三角形的直角顶点为第6个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【解析】解：如图，过O作轴于点G， ∵点、， ∴，， ， ∴, , , ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， …． ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第6个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 【变式9-1】．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可． 【解析】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第101次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【变式9-2】．如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、图形的旋转，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据旋转的性质确定第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，再归纳类推出第次旋转后，（为正整数），由此即可得． 【解析】解：∵点的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， ∵，点位于轴的正半轴上， ∴第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上， 由题意可知，第1次旋转后，， 第2次旋转后，， 第3次旋转后，， 归纳类推得：第次旋转后，（为正整数）， ∴第2025次旋转后，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 考点十：旋转与三角形的证明（基础） 例10．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得和的度数是解题的关键． 依据旋转的性质可求得，的度数，依据等边对等角的性质可得到，进而即可解答． 【解析】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式10-1】．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转至使得点A恰好落在上，则旋转角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，旋转角，根据题意可知，，可得是等边三角形，进而得出，可得答案． 【解析】根据题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 所以旋转角是． 故选：B． 【变式10-2】．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【解析】解：，，， ， 由旋转所得， ， ， 故选：B． 【变式10-3】．如图，将绕点A逆时针旋转得到，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线上．如果，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的性质，延长交于，根据旋转的性质求得，， ，进而可求得，则可求得，再利用直角三角形的性质即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【解析】解：延长交于，如图： ， ， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故选C． 【变式10-4】．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【解析】解：， 在中， ， 由旋转的性质得 ， 在 中，， 故选：B． 考点十一：旋转与三角形的证明（提高） 例11．如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【解析】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式11-1】．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【解析】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【变式11-2】．如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC ∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60° ∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形 ∴AE∥BC ∵△BED是等边三角形 ∴∠DEB＝60° 故①②正确 ∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD ∴∠AED＝∠ABD 故④正确 ∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60° ∴∠BDC≠∠ADE 故③错误． 故答案选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键． 【变式11-3】．如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题重点考查了勾股定理及旋转的性质：旋转前后，对应边及对应角相等，熟记相关结论是解题关键．由旋转可推出，根据，得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：由旋转可知：，， ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：． 考点十二：解答综合题 例12．如图，是等边三角形，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，再根据旋转的角度为和等边三角形的判定得出为等边三角形；即可根据等边三角形的性质得出结论．本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了等边三角形的判定和性质． 【解析】解：是等边三角形， 绕点逆时针旋转后与重合， ，， ， ∴为等边三角形， ． 【变式12-1】．如图，绕点A顺时针旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求的度数； (2)F是延长线上一点，且，，如图2．求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明，推出，由旋转的性质得到，，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解． 【解析】（1）解：由绕点A按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴垂直平分． 【变式12-2】．如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接， (1)求证:是等边三角形． (2)当时，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理的知识点，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质可得，即可求证； （2）由旋转得，推出；结合是等边三角形可得，，根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形 （2）解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 【变式12-3】．如图，在四边形中， ， 交于点E．将 绕点 C顺时针旋转 得到． (1)画出旋转之后的图形． (2)求证： (3)若的面积为，的面积为，求值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据题意，画出旋转图即可； （2）由旋转旋转可得，再根据全等三角形的性质和，即可得； （3）根据，可得的长，再根据勾股定理求出和的长，根据和同高，即可得的值． 【解析】（1）如图，即为旋转之后的图形． （2）证明：由旋转可知：， ， 三点共线， （3）过点 E作于点M，过点 C作于点N， ∴ ， 在和中， 在中， ， 设，则， 在 中， 即 解得， ． 【变式12-4】．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系． 如图，，，，． 操作探究： (1)如图①，当D、C、B在同一条直线上时，判断直线与直线的位置关系并证明； (2)如图②，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点G，判断此时的形状并证明； (3)如图③，将图①中的三角板绕点C顺时针旋转，边与边交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长．      【答案】(1)直线与直线的位置关系是垂直；证明见解析 (2)是等边三角形，证明见解析 (3)或4 【分析】（1）延长延长交于点H，根据题意及对顶角相等求出，再利用三角形内角和求解即可． （2）由旋转的性质及等边三角形判定即可求解． （3）是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当时，②当时，据此求解即可． 【解析】（1）证明：直线与直线的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点H，   ，， ， ， ， ， 直线与直线的位置关系是垂直． （2）由旋转的性质得： ， ，，， ， ， 是等边三角形． （3）是以为腰的等腰三角形， 分以下两种情况： ①当时， 在中，，，， ，， ； ②当时， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为：或4． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及清晰的分类讨论是解题的关键． 一、单选题 1．有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动． 【解析】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键． 2．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【解析】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（　　） A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角 C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC 【答案】D 【分析】利用旋转的性质即可求解 【解析】解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置， ∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 4．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 【答案】D 【分析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小． 【解析】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D. 【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(  ) A．42° B．48° C．52° D．58° 【答案】A 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′ ∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°， ∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°． 故选A． 6．将点绕着原点按逆时针方向旋转后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出图形，通过证明，即可进行解答． 【解析】解：如图，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∵， ∴， ∵点A绕原点逆时针旋转得到点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心连线的夹角等于旋转角． 7．如图，将绕点O逆时针旋转90°，得到．若点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质即可求解． 【解析】解：点的坐标为， ，， 将绕点O逆时针旋转90°，得到， ， ，， 点A的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变换—旋转、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 8．已知一次函数 的图象与 轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转90°后的直线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解与坐标轴的交点A，C的坐标，再确定C旋转后的对应点B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【解析】解：如图， ∵， 当，则，当，则， ∴，， ∵直线 绕点A逆时针旋转90°与x轴交于点B ， ∴， 设旋转后的解析式为， 把B点坐标代入得：， ∴， ∴旋转后的解析式为：． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：先确定特殊点旋转后的位置是解题的关键． 9．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心． 【解析】解，连接FC，PC， 由图可知， ，且， 连接EC，RC， 由图可知， ，且， 连接GC，QC， 由图可知， ，且， 故点C为旋转中心， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键． 10．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中，将绕点旋转，得到（不含），使得也是格点三角形（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB=5=AC，利用旋转角等于∠BAC，90°，90°+∠BAC，可得3个△ADE即可． 【解析】解：利用勾股定理AB==5=AC， 以点A为圆心旋转∠BAC得△AD1E1， 以点A为圆心旋转90°得△AD2E2， 以点A为圆心旋转90°+∠BAC得△AD3E3， 在网格中将绕点旋转，得到共有 3个． 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形全等变换，掌握全等变换的方法，关键利用旋转角等于∠BAC，90°，90°+∠BAC． 11．如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．55° D．75° 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得． 【解析】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标． 【解析】如图所示： 过点B和点O分别作于点C，于点D， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ∵等边三角形中心G坐标为， 第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：； 第二次旋转后到第二象限，坐标为：； 第三次旋转后到第三象限，坐标为：； 第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：； 第五次旋转后到第四象限，坐标为：； 第六次旋转后回到第一象限，坐标为：， ∵， ∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键． 二、填空题 13．在下列图案中可以用旋转得到的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案，进而判断得出即可． 【解析】①②④通过旋转得到；⑤是通过平移得到． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是考查了运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点得出是解题关键． 14．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度至少为 【答案】 【分析】紫荆花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度． 【解析】∵紫荆花图案可以被中心发出的射线分成个全等的部分， ∴旋转的角度至少为度， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分是解题关键． 15．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，D是AB上一点，△CBD经旋转后到达△CAE的位置，点B的对应点是 ，点D的对应点是 ，线段CB的对应线段是 ，线段CD的对应线段是 ，∠B的对应角是 ． 【答案】 点A 点E 线段CA 线段CE ∠EAC 【分析】根据旋转的定义和性质作答即可． 【解析】根据图形分析可知，△CBD经旋转后到达△CAE的位置，故旋转中心是点C;旋转角度是 ;因此点B的对应点是点A，点D的对应点是点E，线段CB的对应线段是线段CA，线段CD的对应线段是线段CE，∠B的对应角是∠EAC． 【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，关键点在于寻找旋转中心，要将旋转后的图形和旋转前的图形对应起来． 16．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于 度． 【答案】130 【分析】由旋转角可求得，再利用角的和差可求得． 【解析】解：旋转角为， ， ， 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 17．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转20°得到，交于点F，则 °． 【答案】50 【分析】根据旋转的性质得出：，，再利用三角形的外角的性质即可得出答案． 【解析】解：根据旋转的性质可得：，， ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 18．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于 度． 【答案】60 【分析】利用旋转的性质即可得出答案． 【解析】解：∵ △ABC是正三角形， ∴， 由旋转的性质可知，∠PAP1． 故答案为：60． 【点睛】本题考查正三角形的性质和旋转的性质，由旋转的性质得出∠PAP1是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式． 【解析】解：∵，， ∴， 过点C作轴于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键． 20．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解决问题的关键． 过点作交延长线于点M，过点作于点N，则可证明，，，那么，则，在中，，求得，而均为等腰直角三角形，则，故，则，继而，则的面积即可求解． 【解析】解：过点作交延长线于点M，过点作于点N，则 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．如图，在中，，将它绕着点C逆时针旋转后得到，则的度数是多少？ 【答案】 【分析】由题意可得，即可求的度数． 【解析】解：∵将绕着点C逆时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 答：的度数是． 【点睛】本题考查了三角形中的旋转变换，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 22．将线段AB绕点O逆时针旋转60°，得到对应线段A'B'，请用无刻度的直尺及圆规作图：（保留作图的痕迹，不要求写出作法） （1）作出旋转中心O； （2）作出线段A'B'． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接AA′，在AA′的上方作等边△AA′O，即点O即为所求作； （2）如图，连接OB，作等边△OBB′，连接A′B′，线段A′B′即为所求作． 【解析】解：（1）如图，连接AA′，在AA′的上方作等边△AA′O，即分别以点 、点 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ，点O即为所求作； （2）如图，连接OB，作等边△OBB′，即分别以点 、点 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ，连接A′B′，线段A′B′即为所求作． 【点睛】本题主要考查了作图——旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图，及基础知识． 23．如图，将绕直角顶点B逆时针旋转得到，的延长线恰好经过的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由旋转的性质可得，可证垂直平分，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求的长． 【解析】（1）解：∵将绕直角顶点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又点F是中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 24．如图，P为等边三角形内部一点，旋转后能与重合． (1)旋转中心是______，旋转角是______度． (2)连接，是什么三角形？并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)是等边三角形 【分析】（1）因为为等边三角形，所以，． 旋转后能与重合，显然是与重合，可判断是绕点顺时针旋转得到的； （2）根据旋转角和对应边可判断是等边三角形． 【解析】（1）根据题意，与重合，所以旋转中心是点，旋转角等于． 故答案为：，； （2）等边三角形． ∵旋转角为，即，， ∴等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，旋转的相关概念及旋转的性质，结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键． 25．如图，中，，，将绕点O顺时针旋转得到，边与交于点E，点D，B是对应点． (1)_____°． (2)线段的长一定等于线段______的长； (3)求的度数． 【答案】(1)43 (2) (3) 【分析】（1）根据绕点顺时针旋转得到，可得； （2）根据绕点顺时针旋转得到，可得线段的长一定等于线段的长； （3）根据旋转角，即可求的度数． 【解析】（1）解：根据绕点顺时针旋转得到，可知： ； 故答案为：43； （2）解：根据绕点顺时针旋转得到，可知：； 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可知：，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到． (1)请在图中画出，并求出的面积； (2)若△ABC内一点，则在内与M相对应的点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析，4.5 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解；再由面积公式求得△A'B'C'的面积； （2）根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可． 【解析】（1）如图所示，△A'B'C'即为所求； ∴的面积 （2）在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是 （-b，a）， 故答案为：（-b，a）． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 27．如图，为等边三角形，点P在左侧且，将绕点A顺时针旋转60° (1)画出图形． (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）如图2，连接，只需要证明，得到，再由是等边三角形，得到，即可证明． 【解析】（1）解：如图所示， （2）证明：如图2，连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数． (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可证明是等边三角形，从而求解； （2）证明，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解； （3）利用的外角30°得出边上的高=，利用面积公式即可求解． 【解析】（1）解：等边， ，． 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ； （2）， ． 在△和中， ， ． ， ， 是直角三角形． ； （3）以为底， ， 边上的高就是， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 29．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴于点，交x轴交于点B，且，过点C作y轴的垂线，交直线于点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与y轴交于点F． ①若的面积为8，求点F的坐标； ②如图2，当点F在y轴正半轴上时，将直线绕点B顺时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)①的坐标为或；②； 【分析】（1）先求解，可得，C的坐标与一次函数的解析式，再把代入一次函数的解析式即可得到D的坐标； （2）①如图，连接，分两种情况讨论：当在轴的正半轴时，当在轴的负半轴时，设，由的面积为8，利用三角形的面积列方程求解即可；②作轴，交轴于点，证、，再结合勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵一次函数的图象交y轴于点，交x轴交于点B，且， ∴，， ∴，， ∴一次函数为：， ∴，解得：， ∴一次函数为：， 当时，， ∴； （2）①如图，连接，当在轴的正半轴时，设， ∴， ∵的面积为8， ∴，即， ∴； ∴； 当在轴的负半轴时，如图，设， 同理可得：， ∴，即， 解得：， ∴，经检验符合题意； 综上：的坐标为或； ②作轴，交轴于点，如图所示： ， ， ∵轴， ∴， ， ， ， ∵将直线绕点B顺时针旋转后的直线与线段交于点M， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题属于一次函数与几何综合问题．考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，坐标与图形面积，旋转的性质，正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 30．如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）由“”可证，可得结论； （2）①由等边三角形的性质可得垂直平分，，通过证明垂直平分，可得，由直角三角形的性质可求解； ②由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，可得结论； （3）由题意可得，即当、、三点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【解析】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转 得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 又， ， ， 故答案为：； ②解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分； （3）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为，即的最小值为的长，此时，与的交点即为的位置， 此时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$