第12讲 代数方程 单元综合检测（重难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第12讲 代数方程 单元综合检测（重难点） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 6．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 二、填空题 7．下列方程中：a、；b、；c、；d、属于高次方程的是 ． 8．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 9．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 10．二项方程的实数解是 ． 11．已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是 . 12．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 13．用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为 ． 14．方程组的解是 ． 15．当 时，解关于的方程会产生增根． 16．防汛前夕，某施工单位准备对黄浦江一段长的江堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加，因而完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固江堤，则得方程为 ． 17．如果实数x满足，那么的值是 ． 18．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0)的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解2x4-5x2+3=0的解． 解：设，则原方程可化为：，解之得 当时，，  ∴； 当时 ∴． 综上，原方程的解为：，. （1）通过上述阅读，请你求出方程的解； （2）判断双二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)． ①当b2-4ac≥0时，原方程一定有实数根； ②当b2-4ac<0时，原方程一定没有实数根； ③原方程无实数根时，一定有b2-4ac<0． 三、解答题 19．解关于的方程：． 20．解方程：． 21．解方程组：． 22．解方程组： 23．a取何值时，关于x的方程只有一个实数根，并求此实数根． 24．古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神舟十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天． 25．小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟． (1)求y关于x的函数解析式； (2)现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？    26．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 27．阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 代数方程 单元综合检测（重难点） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，根据相关定义逐项判定即可． 【解析】解：A选项：整式方程，不是分式方程，故错误； B选项：是分式方程，不是无理方程，故错误； C选项：是二元二次方程组，符合题意，故正确； D选项：不含有非零的常数项，故不是二项方程，故错误； 故选：C 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程，解方程并检验即可解题. 【解析】解：将方程两边平方得， 解得： 经检验：是原无理方程的解； 故选C． 【点睛】本题考查了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，确保式子有意义． 3．用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，根据题设，原方程化为，去分母化为整式方程，整理方程即可解答． 【解析】解：设，则原方程化为， 方程两边同乘以y，得， 即， 故选：C． 4．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解无理方程，解分式方程和根的判别式等知识点，先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解，再进行检验即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B；根据和算术平方根即可判断选项C；根据二次根式的性质进行判断选项D． 【解析】解：A、， ， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，即方程有实数根，不符合题意； B、， ，方程有实数根，不符合题意； C、，不论x为何值，， 即，方程无实数根，符合题意； D、当时，，即方程有实数根，不符合题意， 故选：C． 5．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树棵，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设乙组每小时植树棵，则甲组每小时植树棵，根据甲组比乙组提前2小时完成列出方程即可． 【解析】解：设乙组每小时植树棵， 由题意得，， 故选：A． 6．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 【答案】C 【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解. 【解析】 由②，得③ 将③代入①，得 ∵方程组有四组不同的实数解， ∴且两根之积 ∴ 故选：C. 【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式. 二、填空题 7．下列方程中：a、；b、；c、；d、属于高次方程的是 ． 【答案】a，d 【分析】根据高次方程的定义判断即可． 【解析】解：是高次方程；是分式方程；是无理方程；是高次方程， 故答案为：a，d． 【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程． 8．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【解析】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴． 故答案为：0． 9．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【解析】解：， ， ，． 故答案为：，． 10．二项方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【解析】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 11．已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是 . 【答案】. 【分析】将代入原方程组求得，所以原方程组是，再解此方程组即可. 【解析】解：将代入原方程组求得， ∴原方程组是， 由①，得x=-y-1③， 把③代入②式，化简得y2+y-2=0， 解之，得y1= -2，y2= 1． 把y1=-2代入x=-y-1，得x1=1， 把y2=1代入x=-y-1，得x2=-2． ∴原方程组的解为：.故答案为. 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【解析】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 13．用换元法解方程组时，可设，那么原方程组可化为关于、的整式方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组，将代入原方程组即可得． 【解析】解：将代入方程组 得：， 故答案为：． 14．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减法解分式方程组；两式相减即可求得y，再求出x的值即可． 【解析】解： 得：， 解得； 把代入①得：， 解得：， 故； 经检验是原方程组的解． 15．当 时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【解析】解：解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16．防汛前夕，某施工单位准备对黄浦江一段长的江堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加，因而完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固江堤，则得方程为 ． 【答案】 【分析】解：设现在计划每天加固江堤，则原计划每天加固江堤，根据“现在完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天”即可列出方程． 【解析】解：设现在计划每天加固江堤，则原计划每天加固江堤， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关 17．如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 18．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0)的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解2x4-5x2+3=0的解． 解：设，则原方程可化为：，解之得 当时，，  ∴； 当时 ∴． 综上，原方程的解为：，. （1）通过上述阅读，请你求出方程的解； （2）判断双二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)． ①当b2-4ac≥0时，原方程一定有实数根； ②当b2-4ac<0时，原方程一定没有实数根； ③原方程无实数根时，一定有b2-4ac<0． 【答案】（1）；（2）② . 【分析】（1）先设t=y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3=0，运用因式分解法解得t1=，t2=﹣3，再把t=和﹣3分别代入t=y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． （2）根据阅读新知即可判断①②③． 【解析】（1）设 y2=t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3=0，解得：t1=，t2=﹣3． 当 t1= 时，y2=，此时方程的解为； 当 t2=﹣3时，y2=﹣3，原方程无解； ∴． 综上，原方程的解为：． （2）根据阅读新知可判断①正确； 如：x4+4x2+3=0，虽然△=b2﹣4ac=16﹣12=4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）=0，明显，此方程无解；所以，①③错误． 当b2-4ac＜0时，关于x2的方程无实数根，故ax4+bx2+c=0（a≠0）无实数根，故②正确． 故答案为②． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解． 三、解答题 19．解关于的方程：． 【答案】当时，，当时，原方程有无数个解 【分析】本题考查了解一元一次方程，因式分解，分，，先移项，然后因式分解，进而化系数为1的步骤解方程，即可求解． 【解析】解：当时，即时， ， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 原方程有无数个解． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，解题关键是把无理方程转化成有理方程，并注意根的检验．先移项，再把两边平方，把无理方程转化成有理方程，解一元二次方程，再把根代入原方程检验即可． 【解析】解：， 移项，得， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 检验：把代入原方程，左边=右边，故是原方程的根， 把代入原方程，左边右边，故是原方程的增根，舍去， 故原方程的解为． 21．解方程组：． 【答案】 【分析】设，，可解得，即得，可解得，再检验，即可得答案． 【解析】解：设，，则原方程组变形为： ， 解得， ，即， 解得， 经检验，是原方程组的解， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形． 22．解方程组： 【答案】， 【分析】把方程②化为或，再转化为两个二元一次方程组，再解方程组即可． 【解析】解：由②得． ∴或． 则原方程组可化为，， 解这两个方程组，得，， ∴原方程组的解为，； 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，熟练的把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法是解本题的关键． 23．a取何值时，关于x的方程只有一个实数根，并求此实数根． 【答案】当时，方程的实数根为． 【分析】本题考查的是分式方程的解法，一元二次方程的解法，先去分母可得，再分情况：当，当，再进一步解答即可． 【解析】解：∵， 去分母得：， 整理得：， ∵关于x的方程只有一个实数根， 当，即， 此时方程的根为， 经检验是增根，不符合题意； 当时，即， 此时有两个相等的实根， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得：，经检验符合题意； ∴当时，方程的实数根为． 24．古语有“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，自古以来，中华民族对于宇宙的探索从未停歇．在2022年6月5日，神舟十四号成功发射，而即将到来的7月，问天实验舱也将发射升空．HYDZ公司的G项目组承担了实验舱某个电子设备的研发工作，在顺利完成一半研发工作时，由于受疫情影响，开发效率被迫减缓为原来的60%，结果最后比原计划多了10天完成任务，问：该电子设备原计划的研发时间为多少天． 【答案】该电子设备原计划的研发时间为30天 【分析】设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天，根据实际完成后一半研发工作时的工作效率为原计划工作效率的60%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解析】解：设该电子设备原计划的研发时间为x天，则实际完成后一半研发工作的时间为天， 依题意得：60%＝， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意, 答：该电子设备原计划的研发时间为30天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟． (1)求y关于x的函数解析式； (2)现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？    【答案】(1)y＝﹣5x+600；(2)他应该设定的扫地时间为60分钟． 【分析】(1)设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入解方程组即可． (2)设他应该设定的扫地时间为x分钟．由题意，解方程即可． 【解析】(1)设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入 得到， 解得， ∴y＝﹣5x+600． (2)设他应该设定的扫地时间为x分钟，180平方米=18000平方分米， 由题意， 整理得x2﹣120x+3600＝0， ∴x＝60， 经检验x＝60是分式方程的解． ∴他应该设定的扫地时间为60分钟． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决实际问题，注意解分式方程必须检验． 26．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解无理方程，二次根式的混合运算，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键． （1）根据题目所给方法，可求的值，然后结合，即可求出的值； （2）根据题目所给方法，可求，再解方程即可． 【解析】（1）解：∵ ， 又， ∴ ∴； 故答案为： （2）解： ， 又， ∴， 两式相加，得， 两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 27．阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)4． (2)． (3)． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【解析】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． （2）解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． （3）解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$