精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

厦门双十中学2024—2025学年高一上学期 数学第二次月考 （时间：120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ） A. 9.46倍 B. 31.60倍 C. 36.40倍 D. 47.40倍 6. 同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是减函数”的一个函数可以是（ ） A. B. C. D. 7. 函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. 2π D. 4π 8. 函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ） A 66 B. 70 C. 124 D. 144 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的减区间为（） C. 是以为周期的函数 D. 图象的对称轴为（） 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题，5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________. 13. 已知，则等于__________. 14. 已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1），求； （2）已知（），求． 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求函数的对称轴与对称中心． 17. 已知函数是偶函数． （1）求k的值． （2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？ 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 18. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在n个不同的实数、、…、，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”.如是的“4重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若为的“9重覆盖函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门双十中学2024—2025学年高一上学期 数学第二次月考 （时间：120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解即可 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 故选：B 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故选：A. 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解. 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ） A. 9.46倍 B. 31.60倍 C. 36.40倍 D. 47.40倍 【答案】B 【解析】 【分析】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，由题意可推得，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案. 【详解】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为， 由题意可知，， 即，所以. 故选：B. 6. 同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是减函数”的一个函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A的最小正周期为,不正确； 当时， B、C没有取得最值，所以不正确; 将代入D,三项都符号， 故选D. 考点：三角函数的性质 7. 函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于（ ） A. B. C. 2π D. 4π 【答案】C 【解析】 【分析】作出正弦函数的图象，由，根据图象确定b－a的最大值与最小值，即可得出答案. 【详解】作出y＝sin x的一个简图，如图所示 ∵函数的值域为， ∴定义域中，b－a的最小值为 定义域中，b－a的最大值为 故可得，最大值与最小值之和为2π. 故选：C 【点睛】本题主要考查了由正弦函数的值域求参数，属于中档题. 8. 函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ） A. 66 B. 70 C. 124 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件得到函数和的对称性，然后由，利用对称性得到，再求出，解方程可得结果. 【详解】为偶函数，即， 的图像关于对称， 为奇函数，即， 图像关于点对称， 对于，均有， ， 的图像关于对称，， 的图像关于点对称， 又 解得， . 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项的正误，利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误，利用正弦函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，，即，A选项正确； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，，B选项错误； 对于C选项，，， 因为余弦函数在为减函数，且， 所以，，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，，D选项错误. 故选：AC. 10. 对于函数，下列结论正确是（ ） A. 的最小值为 B. 的减区间为（） C. 是以为周期的函数 D. 图象的对称轴为（） 【答案】AD 【解析】 【分析】去掉绝对值得到的解析式，画出图象逐项分析判断即可. 【详解】， 即， 如图： 所以的最小值为：，故A正确； 不止在（）上单调递减，故B错误； 图象的对称轴为（），故D正确； 由图可知，是以为最小正周期的函数，故C错误； 故选：AD. 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题，5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得半径，再根据扇形面积公式即可得解. 【详解】由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 13. 已知，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式进行化简求值. 【详解】＝ ＝. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14. 已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令（），判断出为偶函数，将问题转化为研究 时，有两个零点，令，则有一个零点，分和两种情况，结合二次函数的性质分析求解即可. 【详解】当，（）， 则有，所以函数为偶函数， 由偶函数的对称性， 只需研究时，有两个零点， 设，由， 则有一个零点在上， 若是函数的零点，则，在上只有一个零点，不符合题意， 所以有一个零点， ①当时，，，解得，不符合题意； ②当时，，只需即可， 只需，解得. 所以. 综上：实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1），求； （2）已知（），求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，再将式子化为正、余弦的齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由诱导公式化简，即可得到，再由与之间的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得，解得， 所以. （2）由可得， 所以， 即，又，所以， 则， 所以， 所以. 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求函数的对称轴与对称中心． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是，. （2），此时；，此时. （3）对称轴，；对称中心， 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. （3）由余弦型函数的对称中心与对称轴方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 小问3详解】 令，，解得对称轴方程为，， 令，，解得，，所以对称中心为， 17. 已知函数是偶函数． （1）求k的值． （2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？ 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，m的值为 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解； （2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解． 【小问1详解】 ∵函数是偶函数， ∴，即， ∴，∴； 【小问2详解】 假设存在满足条件的实数m． 由题意，可得，． 令，则，． 令，． ∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当，即时，，解得； 当，即时， ，解得（舍去）； 当，即时， ，解得（舍去）． 综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为． 18. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式； ②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可 （2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以， 当时，由，得，，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时， （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为 （毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为 （）， ②（）， ，当且仅当，即时取等号， 所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在n个不同的实数、、…、，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”.如是的“4重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）若为的“9重覆盖函数”，求的最大值. 【答案】（1）不是；理由见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）取，此时只有唯一实数使得，进而判断； （2）先求得函数的值域为，进而将问题转化为函数图像与有两个交点问题，再结合函数进一步转化为当时，函数与有且只有一个交点问题，再结合二次函数的性质分类讨论求解即可； （3）由题知对于，都存在9个不同的实数使得，进一步转化为与在有9个交点，再结合三角函数的性质得，再根据求解的范围即可得答案. 【小问1详解】 解：不是的“2重覆盖函数”，理由如下： 当时，， 此时对于，有且只有一个实数是得， 所以，不满足对于任意的，存在个不同的实数，使得， 所以不是的“2重覆盖函数” 【小问2详解】 解：函数的定义域为，即， 因为， 所以， 所以，函数的值域为， 函数的定义域为， 因为为的“2重覆盖函数”， 所以函数图像与有两个交点， 因为，当时，，与有一个交点， 所以，当时，函数与有且只有一个交点， 下面讨论当时，函数情况 当时，与有且只有一个交点，满足题意， 当时，函数开口向下，对称轴为，此时，，故满足函数与有且只有一个交点， 当时，函数开口向上，对称轴为， 当，即时，函数对称轴在，由于，故函数与有且只有一个交点不恒成立，不满足题意； 当，即时，要使函数与有且只有一个交点只需，解得，故. 综上，实数的取值范围 【小问3详解】 解：由题知，值域为， 因为为的“9重覆盖函数”， 所以，对于，都存在9个不同的实数使得， 所以，函数有9个实数根， 所以，与在有9个交点， 因为函数的最小正周期为，当时，， 作出函数与的图像，如图， 所以，与在有9个交点需满足，解得， 所以，， 所以，解得， 所以，的最大值为 【点睛】本题是函数新定义问题，主要二次函数，对数函数，三角函数的图像及性质，考查了逻辑推理能力，运算求解能力，数形结合思想等.第二问解题的关键在于将问题转化为时，函数与有且只有一个交点问题求解，再结合二次函数的性质求解；第三问解题的关键在于转化为，与在有9个交点问题，再结合三角函数的性质作图求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$