第04讲 二次根式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念与性质 考点二 二次根式的计算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的概念与性质 ►题型01 二次根式的定义 ►题型02 二次根式的值 ►题型03 二次根式有意义的条件 ►题型04 利用二次根式的性质化简 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 ►题型02 二次根式的加减 ►题型03 二次根式的混合运算 ►题型04 二次根式的化简求值 ►题型05 最简二次根式 ►题型06 同类二次根式 ►题型07 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 二次根式的概念与性质 了解二次根式、最简二次根式的概念；掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 ⭐⭐⭐ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 ⭐⭐⭐⭐ 考点一 二次根式的相关概念与性质 1. 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4. 二次根式的性质： ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 5. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6. 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、- 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 1．（2023·浙江金华·中考真题）要使有意义，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 2．（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：，故A正确，C错误； ，故B、D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断． 3．（2020·浙江宁波·中考真题）二次根式中字母x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4．（2021·浙江·中考真题）化简的正确结果是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用 直接化简即可得到答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 6．（2021·浙江衢州·中考真题）若有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 考点二 二次根式的运算 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根乘方直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘方，掌握二次根式的乘法公式是解决问题的关键． 3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可． 【详解】 【点睛】本题考查实数的混合运算，关键是掌握． 4．（2021·浙江金华·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简,特殊角的三角函数值,绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键． 5．（2021·浙江台州·中考真题）计算：|2|＋． 【答案】2+ 【分析】先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解． 【详解】解：原式=2＋ =2+． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式法则，是解题的关键． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键． 命题点一 二次根式的概念与性质 ►题型01 二次根式的定义 1．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．（2020·浙江·模拟预测）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． ►题型02 二次根式的值 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 3．（2022·八年级·浙江金华·期末）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】把x=3代入二次根式，可得. 【详解】把x=3代入二次根式，可得. 故答案为2 ►题型03 二次根式有意义的条件 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，关键是掌握二次根式有意义时，被开方数是非负数．由二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可得到，在代入等式得，从而可以解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 等式变形为：， ， ， ． 故选：A． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及不等式的解法，熟练掌握二次根式的性质及不等式的解法是解题的关键；由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：，， 解得：， ∴； 故选A． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（    ） A．0 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，得，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 则a的值可以是7． 故选：D． 4．（2024·浙江台州·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型04 利用二次根式的性质化简 1．（21-22七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·一模）将二次根式化简，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故选：C． 3．（2023·浙江·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】将根号下的式子配成完全平方式然后开方即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，将被开方式配成完全平方式是解题的关键． 4．（2023·浙江·模拟预测）若为实数，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：依题意， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（2023·浙江杭州·一模）已知，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 1．（2024·浙江杭州·二模）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数以及用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 共有12种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是无理数的有4种， 两球上的数字之积恰好是无理数的概率为， 故选：B． 2．（2021·浙江丽水·三模）若方程组，设，，则代数式 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组的特点，将两个方程相减，即可以得到 的值；再将两个方程相加，即可得到的值，进而得到 、 的值． 【详解】解： 由 得： 由 得： ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和根式运算的知识点，能运用整体思想解决问题是本题解题的关键． 3．（2021·浙江·三模）＝（　　） A．5 B．25 C．﹣5 D．﹣25 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：C． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，要熟记二次根式的乘法法则：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘． 4．（2021·浙江·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法法则是解题的关键． ►题型02 二次根式的加减法 1．（2024·浙江杭州·二模）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B ． 2．（2024·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同底数幂除法计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 4．（2023·浙江台州·一模）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂，再进行加法运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． ►题型03 二次根式的混合运算 1．（2023·浙江金华·一模）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：； 【答案】（1）；【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简及混合运算，零次幂的运算，运用乘法公式进行分式的化简等知识是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，绝对值的性质，零次幂的运算先化简，再根据实数的运算法则即可求解； 【详解】解：（1） ； 3．（2024·浙江·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂的运算、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握以上运算． 先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式， ． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）18；（2）50；（3） 【分析】（1）根据二次根式的乘法进行求解即可； （2）根据二次根式的除法进行求解即可； （3）利用乘法分配律进行二次根式的运算即可． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ►题型04 二次根式的化简求值 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求出a+b，再将原式利用完全平方公式变形，最后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴a+b=， ∴ = = = 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，灵活运用公式是解题的关键，学会整体代入的解题思想，属于中考常考题型． 2．（2020·浙江宁波·模拟预测）设，则代数式x(x+1)(x+2)(x+3)的值是(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】把变形为x2＋3x＝－1，再把要求值的代数式变形，然后整体代入求解． 【详解】解：，2x＝－3，2x＋3＝， 两边同时平方整理得，x2＋3x＝－1. x(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x)(x2＋3x＋2) ＝－1×(－1＋2)＝－1. 故选A． 【点睛】题目主要考查求代数式的值，将已知式子进行变形，化简，整体代入是解题关键． 3．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）化简求值： （1）已知，，求的值． （2）若，，其中为任意实数，求的值． 【答案】（1）8；（2）0 【分析】（1）先根据完全平方公式可得，再将，代入计算即可； （2）先根据完全平方公式可得，再将，，代入计算即可． 【详解】解：（1）原式， 当，时， 原式 ； （2）原式， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及二次根式的运算，熟练掌握乘法公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键． 5．（2020·浙江宁波·模拟预测）（1）已知|a+2|+＝0，求ab． （2）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 【答案】（1）-8；（2）2x+4，． 【分析】（1）直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接去括号进而化简分式，再合并同类项，把x的值代入得出答案． 【详解】解：（1）∵|a+2|+＝0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8； （2） =− ＝3（x+1）-（x-1） ＝3x+3﹣x+1 ＝2x+4， 当x＝﹣2时，原式＝2（﹣2）+4＝． 【点睛】本题考查了非负数的性质，分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键． ►题型05 最简二次根式 1．（2022·浙江宁波·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A， ，故本选项不符合题意． B，是最简二次根式，故本选项符合题意． C，，故本选项不符合题意． D，，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键． 2．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式即可求出答案． 【详解】解：（A）原式＝2，故A不选； （B）原式＝，故B不选； （D）原式＝，故D不选； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简是解题的关键. 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最简二次根式定义进行解答即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）在､､､､中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可． 【详解】解：∵，､， ∴在､､､､中，最简二次根式有，，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键． ►题型06 同类二次根式 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】±1 【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： ， 解得：a=±1， 故答案为：±1． 【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化成最简二次根式，再进行判断即可． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的应用，主要考查学生的化简能力和理解能力． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． ►题型07 二次根式的应用 1．（2019·浙江金华·一模）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和(　　) A．7﹣4 B．2﹣6 C．6-4 D．4-2 【答案】A 【分析】根据的整数部分即为q即可先求出q的值，再将a、q、b的值代入a=bq+r中即可求出r的值，从而作答． 【详解】∵且4＜＜5 ∴的整数部分是4 ∴商q＝4 ∴余数 ∴q+r＝ 故选A． 【点睛】本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解决本题的关键理解q即的整数部分． 2．（2024·浙江宁波·一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算的应用．先求得矩形的长和宽，再利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：如图，线段的长度即为矩形的长，的长度即为矩形的宽． 设，可得， ∵， ∴， ∴矩形的长与宽之比为． 故答案为：． 3．（2019·浙江宁波·一模）探究：满足不等式的最小正整数n＝ ． 【答案】25. 【分析】本题可对不等式进行移项，然后令不等式两边同时平方、化简，找出最小正整数即为n的值． 【详解】由得： ＜0.02+1， ∴＜1.0404， ∴1+＜1.0404， ∴＜0.0404， ∴n＞ 因此n＝25． 故答案为25． 【点睛】本题考查了不等式和平方根的求解．关键是由＜0.0404到n＞，不等号要改变． 4．（2021·浙江杭州·二模）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九韶提出了秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积． 【答案】 【分析】根据题意可直接代入公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键． 基础巩固 1．下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，则3的算术平方根是，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 6．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 7．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图①，小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，再把正方形，的各边延长一倍得到正方形（如图②），如此进行下去，则正方的面积可用含有n（n为正整数的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律问题及二次根式的应用，解题的关键是找出正方形的面积与序数的关系．找出正方形的面积与序数的关系即可． 【详解】解：正方形边长的平方为：， 故正方形面积的平方为：5， 又正方形边长的平方为：， 正方形面积为：， 又正方形边长的平方为：， 正方形面积为：， ； 以此类推， 正方形的面积为， 故选：B． 9．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 10．计算 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次根式的乘方，直接根据二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：8． 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 13．已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，立方根，二次根式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简立方根以及利用二次根式性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）先运用二次根式的乘法，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 17．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 能力提升 18．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 19．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 20．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 21．如图，正方形剪去四个角后成为一个边长为1的正八边形，则正方形的周长（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角，勾股定理，求出正八边形的一个内角的度数，进而得到减去的为等腰直角三角形，勾股定理求出减去的直角边的长，进而求出正方形的边长，乘以4即可得解． 【详解】解：如图， 由题意，得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理：， ∴， ∴正方形的周长； 故选D． 22．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 23．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 24．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 26．设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 27．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 28．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 29．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的混合运算、二次根式的性质． （1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）①仿照题干所给例子计算即可得解；②仿照题干所给例子计算即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）①∵， ∴； ②∵， ∴． 30．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 31．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1)；+ (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义进行化简即可． （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题． （3）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：；； （2）解：∵，， 显然， 又∵和都是正数， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．阅读材料： （一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以利用平方差公式将其进一步化简： ， 那么我们称这个过程为分式的分母有理化． （二）在无理数的化简中，我们也常利用完全平方公式进行化简．如果我们能找到两个实数，使且，这样 ，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简：________；________； (2)在中，，，，那么三角形边的长为多少？（结果化成最简答案，保留根号） (3)设的小数部分为，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，勾股定理，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键． （1）根据材料（一）和材料（二）中的方法进行化简即可； （2）根据勾股定理表示出再化简即可； （3）先根据阅读材料（二）化简，求出小数部分为b的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ； （3）解： ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念与性质 考点二 二次根式的计算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的概念与性质 ►题型01 二次根式的定义 ►题型02 二次根式的值 ►题型03 二次根式有意义的条件 ►题型04 利用二次根式的性质化简 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 ►题型02 二次根式的加减 ►题型03 二次根式的混合运算 ►题型04 二次根式的化简求值 ►题型05 最简二次根式 ►题型06 同类二次根式 ►题型07 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 二次根式的概念与性质 了解二次根式、最简二次根式的概念；掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 ⭐⭐⭐ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 ⭐⭐⭐⭐ 考点一 二次根式的相关概念与性质 1. 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4. 二次根式的性质： ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 5. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6. 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、- 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 1．（2023·浙江金华·中考真题）要使有意义，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 2．（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江宁波·中考真题）二次根式中字母x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2 4．（2021·浙江·中考真题）化简的正确结果是（    ） A．4 B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·浙江衢州·中考真题）若有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 考点二 二次根式的运算 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（      ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）计算： ． 3．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：． 4．（2021·浙江金华·中考真题）计算：． 5．（2021·浙江台州·中考真题）计算：|2|＋． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 命题点一 二次根式的概念与性质 ►题型01 二次根式的定义 1．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2020·浙江·模拟预测）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． ►题型02 二次根式的值 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）当时，二次根式的值为 ． 3．（2022·八年级·浙江金华·期末）当时，二次根式的值是 ． ►题型03 二次根式有意义的条件 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法计算 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·浙江台州·模拟预测）若式子有意义，则a的值可以是（    ） A．0 B．3 C．5 D．7 4．（2024·浙江台州·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型04 利用二次根式的性质化简 1．（21-22七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·一模）将二次根式化简，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·模拟预测）化简： ． 4．（2023·浙江·模拟预测）若为实数，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·浙江杭州·一模）已知，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 1．（2024·浙江杭州·二模）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江丽水·三模）若方程组，设，，则代数式 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·三模）＝（　　） A．5 B．25 C．﹣5 D．﹣25 4．（2021·浙江·二模）计算： ． ►题型02 二次根式的加减法 1．（2024·浙江杭州·二模）计算：（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算的结果是 ． 4．（2023·浙江台州·一模）计算：． ►题型03 二次根式的混合运算 1．（2023·浙江金华·一模）计算的结果等于 ． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：； 3．（2024·浙江·一模）计算： 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）化简： （1） （2） （3） 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) ►题型04 二次根式的化简求值 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．4 C． D． 2．（2020·浙江宁波·模拟预测）设，则代数式x(x+1)(x+2)(x+3)的值是(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）化简求值： （1）已知，，求的值． （2）若，，其中为任意实数，求的值． 5．（2020·浙江宁波·模拟预测）（1）已知|a+2|+＝0，求ab． （2）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． ►题型05 最简二次根式 1．（2022·浙江宁波·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）在､､､､中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型06 同类二次根式 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． ►题型07 二次根式的应用 1．（2019·浙江金华·一模）在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7，除数是2，则q与r的和(　　) A．7﹣4 B．2﹣6 C．6-4 D．4-2 2．（2024·浙江宁波·一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 ． 3．（2019·浙江宁波·一模）探究：满足不等式的最小正整数n＝ ． 4．（2021·浙江杭州·二模）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九韶提出了秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积． 基础巩固 1．下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 2．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 6．计算：（    ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 8．如图①，小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，再把正方形，的各边延长一倍得到正方形（如图②），如此进行下去，则正方的面积可用含有n（n为正整数的式子表示为（   ） A． B． C． D． 9．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 10．计算 ． 11．计算的结果是 ． 12．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 13．已知是整数，则的最小整数值是 ． 14．计算： (1) (2) 15．先化简，再求值：，其中． 16．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 17．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 能力提升 18．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 19．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 20．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 21．如图，正方形剪去四个角后成为一个边长为1的正八边形，则正方形的周长（   ） A．4 B． C．8 D． 22．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 23．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 24．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 25．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 26．设，则与最接近的整数是 ． 27．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 28．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 29．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 30．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 31．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题：已知，求的值． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简： ； ； (2)比较大小：与，需说明理由； (3)若，求的值． 32．阅读材料： （一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以利用平方差公式将其进一步化简： ， 那么我们称这个过程为分式的分母有理化． （二）在无理数的化简中，我们也常利用完全平方公式进行化简．如果我们能找到两个实数，使且，这样 ，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简：________；________； (2)在中，，，，那么三角形边的长为多少？（结果化成最简答案，保留根号） (3)设的小数部分为，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$