精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试题

宁朔中学2024—2025（一）高二数学期末考试 测试卷 出卷人：张艳荣 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 过点和点的直线的斜率为（ ） A. 7 B. C. D. 3 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A B. C. D. 6. 在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于双曲线的判断，正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 焦点坐标为 C. 实轴长为4 D. 渐近线方程为 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 11. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上 12. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 13. 椭圆的离心率为，则___________. 14. 已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知直线和椭圆．m何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个公共点？ （2）有且只有一个公共点？ （3）没有公共点？ 16. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求. 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 18. 过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点． （1）求； （2）求△AOB面积； （3）求证：． 19. 已知焦点为的抛物线经过点． （1）设为坐标原点，求抛物线准线方程及△的面积； （2）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 20. 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值； （2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁朔中学2024—2025（一）高二数学期末考试 测试卷 出卷人：张艳荣 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 过点和点的直线的斜率为（ ） A. 7 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率. 故选：B. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 3. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 4. 已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点即得椭圆的两顶点，从而可得焦点坐标. 【详解】解：由已知与坐标轴的交点为， 所以椭圆的两个顶点分别为， 故椭圆， 焦点在y轴上，一个焦点为. 故选：A. 5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点得双曲线半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程. 【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距， 又虚半轴长且， ∴双曲线的渐近线方程是. 故选：D 6. 在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由周长得到，利用椭圆定义写出点的轨迹方程. 详解】由条件可知，， ， 点是以为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且， ， 顶点的轨迹方程是 . 故选：C 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 8. 已知分别为双曲线左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点， 由双曲线的定义可得， 由，可得，，， 由可得， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即有，化简可得， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于双曲线的判断，正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 焦点坐标为 C. 实轴长为4 D. 渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线方程确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C，双曲线的实轴长为，C对； 对于D，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 11. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上 12. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦点求出，即可得解. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左， 设抛物线的标准方程为，所以，解得. 所以抛物线方程为. 故答案为： 13. 椭圆离心率为，则___________. 【答案】3或 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式，分为和两种情况求解. 【详解】表示椭圆，且. 当时，则， ，解得; 当时，则， ，解得， 综上：或. 故答案为：3或. 14. 已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】解法一：由离心率得，，设，，结合椭圆定义及题干求得，，然后利用等比三角形面积列式求得，即可得解； 解法二：由离心率得，，设，，，结合椭圆定义及题干，利用余弦定理得，利用面积公式列式求解即可. 【详解】解法一：由题得，所以，，设，， 则，由题知， 将代入，得，解得，故， 所以是等边三角形，故，得，得． 解法二：由题得，所以，，设，，， 则，， 由余弦定理得， 故，得． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个公共点？ （2）有且只有一个公共点？ （3）没有公共点？ 【答案】（1） （2）， （3），或 【解析】 【分析】（1）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （2）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （3）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. 【小问1详解】 由方程组消去y，得， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【小问2详解】 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 【小问3详解】 由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 16. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 17. 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 18. 过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点． （1）求； （2）求△AOB的面积； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）在第一问的基础上，求出原点O到直线AB的距离，从而求出三角形的面积； （3）利用双曲线定义进行证明即可. 【小问1详解】 由双曲线的方程得，， ∴，，． ∴直线的方程为． 设，，由得， ∴，． ∴． 【小问2详解】 直线AB的方程变形为， ∴原点O到直线AB的距离为， ∴． 【小问3详解】 证明：由双曲线的定义得，， ∴，整理得：． 19. 已知焦点为的抛物线经过点． （1）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积； （2）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）准线为， （2）证明见解析，定点． 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△的面积； （2）设为，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得的中点N点横坐标，根据到准线的距离等于列方程得，即可证结论并确定定点坐标. 【小问1详解】 因为抛物线过点，所以，即． 故抛物线的方程为，焦点，准线方程为. 所以 【小问2详解】 设直线的方程为． 由 得：，又有． 设则，． 设中点为，则. 所以到准线的距离， ， 依题意有，即， 整理得，解得，满足． 所以直线过定点． 20. 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值； （2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由新定义得出的关系，结合可求得； （2）由题意求出椭圆的方程，联立直线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆是等差椭圆，所以， 所以，又， 所以， 化简得. 【小问2详解】 由且可知，，. 所以椭圆方程为，如图， 联立直线得， ，，设，， 则，， ，， ，，， 把，代入，得， 所以存在实数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$