专题07 一元二次方程及其应用（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题07一元二次方程及其应用的核心知识点精讲 1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法 解一元二次方程； 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等； 3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题； 4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 【题型1：一元二次方程的解法】 【典例1】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【题型2：一元二次方程的判别式及应用】 【典例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】 【典例3】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 1．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 【题型4：一元二次方程的应用】 【典例4】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 1．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 2．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率 (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 3．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 1．（21-22八年级上·上海嘉定·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、化简后为，是一元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，计算一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为，根据“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键． 根据题意可得等量关系“原零售价×（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价”列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：． 故答案选：A． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意二次项系数不能为0． 【详解】解：由题意得， 解得且． 故选D． 6．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）若、是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“设，是一元二次方程的两个根，则有”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， 故选：D． 7．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）用配方法解方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，得，再配方，即，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项，得， 则配方，得， 即， 故选：D． 8．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2040 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握，． 将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案. 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得：，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据因式分解法即可求出答案； （2）展开并移项后，再根据因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ； 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1)平均每天销售数量为件． (2)当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润=每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元． 【详解】（1）解∶根据题意得∶(件)， 答∶平均每天销售数量为件． （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得∶ ， 整理得∶， 即 解得∶，， 要让顾客得到更大实惠， ． 答∶当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 1．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得，， ∵d、r是方程的两个根， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：C ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出m，再利用判别式的值判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，则有， ，不符合题意舍去， ∴m的值是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据2026年投入经费2024年投入经费列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：A． 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的一个根为，则另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 故方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 7.（24-25九年级上·山东青岛·期末）今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月24日全省家电补贴金额15亿元．某商家在“双十一购物节”对某款冰箱实行降价促销．经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台． (1)设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为 （用含x的代数式表示）； (2)已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据每台冰箱的利润×每天售出的冰箱台数补贴=总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为（台）， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，每台冰箱降价元，销售量为台， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：m的值为10． 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 5．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 9．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 10．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 11．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 12．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 13．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 14．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07一元二次方程及其应用的核心知识点精讲 1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法 解一元二次方程； 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等； 3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题； 4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 【题型1：一元二次方程的解法】 【典例1】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【题型2：一元二次方程的判别式及应用】 【典例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】 【典例3】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 1．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型4：一元二次方程的应用】 【典例4】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 1．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 2．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 3．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 1．（21-22八年级上·上海嘉定·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 6．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）若、是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）用配方法解方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）方程的解是 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 11．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为 ． 12．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 1．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 7.（24-25九年级上·山东青岛·期末）今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月24日全省家电补贴金额15亿元．某商家在“双十一购物节”对某款冰箱实行降价促销．经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台． (1)设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为 （用含x的代数式表示）； (2)已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值． 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 9．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 10．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 11．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    12．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 13．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 14．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$