16.1二次根式（1）（五大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.1二次根式（1）（五大类型提分练） 类型一、二次根式的定义 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 2．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 类型二、二次根式有意义的条件 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如果式子有意义，那么x的取值范围是 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有意义，则x的取值范围为 ． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 类型三、求二次根式的值 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 11．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 12．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 14．（21-22八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 类型四、求二次根式中参数的值 16．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 18．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 类型五、用二次根式求实际问题 19．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 一、单选题 1．（21-22八年级下·陕西安康·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 5．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 6．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 7．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 二、填空题 8．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 9．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 10．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若是二次根式，则的值为 11．（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    三、解答题 12．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 13．（20-21九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 14．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 15．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知满足． (1)有意义，的取值范围是________；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得________； ____________； (2)根据（1）的分析，求的值． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式（1）（五大类型提分练） 类型一、二次根式的定义 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 2．（17-18九年级上·山东济宁·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【答案】(1)是二次根式 (2)根号下小于零，不是二次根式 (3)是三次根式，不是二次根式 (4)是二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键． （1）直接利用二次根式的定义得出答案． （2）直接利用二次根式的定义得出答案． （3）直接利用二次根式的定义得出答案． （4）直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式，不是二次根式； （4）是二次根式． 类型二、二次根式有意义的条件 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如果式子有意义，那么x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)x取任意实数 (3)且 【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键； （1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围． 【详解】（1） 有意义 ， 解得：， 当时，在实数范围内有意义． （2） 有意义， 无论x为何值，则， 当x取任意实数时，在实数范围内有意义． （3） 有意义， ，且， 解得：且， 当且时，在实数范围内有意义． 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)为任意实数 (3) (4)且 【解析】略 类型三、求二次根式的值 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 11．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式求值．将代入并运用算术平方根求解即可． 【详解】解：将代入得：． 故答案为：2． 12．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 14．（21-22八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 类型四、求二次根式中参数的值 16．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 18．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 类型五、用二次根式求实际问题 19．（2024八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 一、单选题 1．（21-22八年级下·陕西安康·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项． 【详解】A、是三次根式，不合题意； B、的被开方数是负数，不合题意； C、是二次根式，符合题意； D、中，当时，不是二次根式，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键． 2．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 5．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 6．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 7．（21-22八年级下·河北邯郸·期中）对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（    ） A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式 C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念求解即可． 【详解】①：不是二次根式， ②：是二次根式． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式， 二、填空题 8．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 9．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若是二次根式，则的值为 【答案】4 【分析】根据二次根式的定义以及二次根式的被开方数大于零是解答本题的关键． 【详解】解：∵是二次根式， ∴、，解得：或（舍去）． 故答案为4． 11．（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    【答案】 【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 三、解答题 12．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 【答案】（1）-4，；（2） 【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：-4，； （2）根据（1）的结论，得： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解． 13．（20-21九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入上式得， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 14．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知满足． (1)有意义，的取值范围是________；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得________； ____________； (2)根据（1）的分析，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值及二次根式相关运算，熟记二次根式定义及绝对值运算是解决问题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到不等式求解即可确定，再由绝对值的代数意义去绝对值即可得到，进而运算即可得到； （2）由（1）中结论，直接平方即可得到答案． 【详解】（1）解： 有意义， ，解得； ，则； ， ； 故答案为：；；； （2）解：由（1）知， ，则． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$