精品解析：吉林省长春市朝阳区2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试卷

2024—2025学年度（上学期）期末质量监测试题·九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解二元一次方程．解决本题的关键是用因式分解法求出该方程的解，然后从方程的解中选取一个较小的数即可． 【详解】解：， 或， 解得：，， 一元二次方程的较小的根是． 故选：A． 2. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的正弦值，根据特殊角的正弦值即可求解，熟记特殊角的三角函数值值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 4. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 e频率 A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” B. 掷一枚一元的硬币，正面向上 C. 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，简单的概率计算．熟练掌握用频率估计概率，简单的概率计算是解题的关键． 由表格可知，频率逐渐稳定于，然后求各选项中事件的概率，判断作答即可． 【详解】解：由表格可知，频率逐渐稳定于， 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求； 掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求； 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求； 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求； 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 如图，在电线杆离地面高度为的处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数的定义．本题中已知中的角、，要求的长，利用即可求出． 【详解】解：如下图所示， 在中，， ， ， ．   故选： C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故A、B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减进行计算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 抛物线y=x2﹣4x+m与x轴只有一个交点，则m=_____． 【答案】4 【解析】 【详解】解：根据题意得△＝(－4)2－4m＝0，解得m＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有1个交点；△＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）． 11. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点连在一起，点、分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据点、分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，因为从而可求槽宽的长． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ． 故答案为： ． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 13. 如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．可以先求得的长，再计算的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， ，，， ， 故答案为：18． 14. 如图，在菱形中，，点是边上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论： ①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， 由折叠性质可知，， ， ， ∵， ， 故①正确； ， ，故②正确； 如图，作交的延长线于点 在中，，由①得：， ， 是的中点， ， ，故③错误； 设，则，设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可．首先根据二次根式的乘法法则可得，根据平方差公式可得，可得原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求概率，画树状图或列表可以把所有可能出现的结果和需要的结果都表示出来，需要的结果占所有结果的比值就是这个事件的概率． 【详解】画树状图： 根据题意，可以画出如下树状图： 共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种， 所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为； 列表法： 根据题意，列表如下： 第一次 和 第二次 步 步 高 步 （步，步） （步，步） （步，高） 步 （步，步） （步，步） （步，高） 高 （高，步） （高，步） （高，高） 共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种， 所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为． 17. 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ∴原方程没有实数根 根据小明的解题过程，解答下列问题： （1）上述过程中，从第 步开始出现了错误； （2）正确解这个方程． 【答案】（1）一 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【小问1详解】 根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 正确解答过程如下：． ． 18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，则第一次降价后药品每盒为元，第二次降价后药品每盒为元，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】设每次降价的百分率为． 根据题意得： 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 19. 图、图、图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中画一个，使． （2）在图中画一个钝角，使． （3）在图中画一个锐角，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格构造直角三角形，利用网格求出直角三角形的边长，再利用正切的定义求出角的正切值． 借网格作，，则； 借助网格构造，使，，则，点在线段上不与点、重合的任一点都有为钝角； 借助网格作，连接点与的中点，则，，则． 【小问1详解】 解：如图所示， 借网格作，， 则； 【小问2详解】 解：如下图所示， 借助网格构造，使，， 则， 点在线段上不与点、重合的任一点都有为钝角； 【小问3详解】 解：如下图所示， 借助网格作，连接点与的中点， 根据等腰三角形的三线合一定理可得：， 则，， 可得：． 20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】该建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数求出边长．首先在中求出的高度，根据建筑物的高度即可求出结果． 【详解】解：根据题意得：，，． 在中，， ， ∴， ∴． 答：该建筑物的高度约为． 21. 一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系. （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围. 【答案】（1） （2）球不能射进球门 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，然后将点代入即可解答； （2）令，求得函数值，然后与比较即可解答； （3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，把点、分别代入求得n的值，据此确定n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为， 把点代入得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 小问2详解】 解：令时，． ∴球不能射进球门． 【小问3详解】 解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：，解得：（舍去）或， 把点代入得：，解得：（舍去）或， ∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． 22. 【感知】如图①，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的并延长交边的延长线于点，其它条件不变．若，，，则的长为________，的长为________． 【拓展】如图③，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】感知：详见解析；应用：16；；拓展：． 【解析】 【分析】感知：根据题意得到，，即可证明； 应用：根据得到，求出，然后利用三线合一性质得到，即可求出；然后由相似三角形的性质设，，表示出，然后证明出，得到，代数求出，得到； 拓展：如图所示，过点D作于点E，根据题意证明出，得到，，然后设，，然后证明出，得到，代数求出，得到． 【详解】感知：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴； 应用：∵ 由（1）得 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴设， ∴ ∵， ∴ ∴，即 解得或（舍去） ∴； 拓展：如图所示，过点D作于点E ∵将边绕着点顺时针旋转得到， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴设 ∴ ∵， ∴ ∴，即 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等知识，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点作交折线于点，连结． （1）求长． （2）当点为边的中点时，求的长． （3）当的某条直角边所在的直线平分或时，求的长． （4）当时，直接写出点到的距离． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）首先画出图形，利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后求出，然后利用得到，然后代数求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：当点A和点E重合时，过点P作交于点F，得到平分，然后证明出，得到，然后代数求出，，然后利用勾股定理求解即可；当平分时，证明出，然后利用，设，，得到，求出，然后利用等腰直角三角形的性质求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论：当点E在上时，过点P作交于点G，利用，设，，然后由得到，表示出，然后根据得到；当点E在上时，过点P作交于点G，过点C作于点F，根据，求出，，然后利用得到，，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，点为边的中点时， ∴ ∵点D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点A和点E重合时，过点P作交于点F， ∵，点D是的中点 ∴，即平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当平分时， ∵ ∴ ∵，点D是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 解：如图所示，当点E在上时，过点P作交于点G ∵ ∴ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点E在上时，过点P作交于点G，过点C作于点F， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，点D是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质两点，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确做出辅助线求解． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点．点是该抛物线上的动点，其横坐标为．将点沿轴正方向向上平移1个单位长度得到点，过点作轴于点，连结，以、为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）当该抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围． （3）在、两点之间的部分（包含、两点）图象记为．设与此抛物线的交点的横坐标为，图象最高点与最低点的纵坐标之差为，若，求的取值范围． （4）设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出的值．（写出三个值即可） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或或或或． 【解析】 【分析】利用待定系数法，把点的坐标代入，求出的值即可； 根据矩形的性质，分当时、当时、当时，三种情况进行讨论，当时矩形内部没有二次函数的图象；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而减小；只有当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大； 分别求出当和时，图象最高点与最低点的纵坐标之差，即为的取值范围； 抛物线与轴的交点坐标分别为和，抛物线的顶点坐标为，所以要分当时、当时，当时，即当在抛物线顶点的上方时，当，即当与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点时，当时，共种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线对应函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 如下图所示， 抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大； 抛物线的顶点坐标为， 当时， 如下图所示， 矩形内部没有二次函数的图象； 当时， 如下图所示， 抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而减小； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时， 如下图所示， 当与抛物线的交点的横坐标为时， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点与点是对称点， 点的纵坐标为， 此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为， ； 当时， 如下图所示， 点的横坐标是，纵坐标是， 此时点在轴上， ， 点的纵坐标为， 此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为， ， 的取值范围为； 【小问4详解】 解：解方程， 得：，， 抛物线与轴的交点坐标分别为和， 如下图所示， 当点在点左侧时，则有， 恰好在轴上，点是抛物线与轴的交点， ， ， 抛物线与轴的交点的坐标为 ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 解方程， 可得：，(舍去)； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为，纵坐标为， 则点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， 若为等腰直角三角形， 则有， 整理得：， 解得：，(舍去)； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为， 则与抛物线的交点横坐标为， ， 若为等腰直角三角形， 则有， 解得：； 当时， 如下图所示， 与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点， 此时， 是等腰直角三角形； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为，纵坐标为, 则点的横坐标为，纵坐标为， 若为等腰直角三角形， 则有， 点的坐标为 可得方程：， 解得：． 综上所述，的值可能为：或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质分类讨论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（上学期）期末质量监测试题·九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 e频率 A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” B. 掷一枚一元的硬币，正面向上 C. 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在电线杆离地面高度为的处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 抛物线y=x2﹣4x+m与x轴只有一个交点，则m=_____． 11. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点连在一起，点、分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为________． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为________． 13. 如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则长为________． 14. 如图，在菱形中，，点是边上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论： ①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是______． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 17. 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ∴原方程没有实数根 根据小明的解题过程，解答下列问题： （1）上述过程中，从第 步开始出现了错误； （2）正确解这个方程． 18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元．求每次降价的百分率． 19. 图、图、图是正方形网格，每个小正方形的边长都为．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中画一个，使． （2）在图中画一个钝角，使． （3）在图中画一个锐角，使． 20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）（参考数据：，，） 21. 一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系. （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围. 22. 【感知】如图①，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中并延长交边的延长线于点，其它条件不变．若，，，则的长为________，的长为________． 【拓展】如图③，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，则的长为________． 23. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点作交折线于点，连结． （1）求的长． （2）当点为边的中点时，求的长． （3）当的某条直角边所在的直线平分或时，求的长． （4）当时，直接写出点到的距离． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点．点是该抛物线上动点，其横坐标为．将点沿轴正方向向上平移1个单位长度得到点，过点作轴于点，连结，以、为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）当该抛物线在矩形内部点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围． （3）在、两点之间的部分（包含、两点）图象记为．设与此抛物线的交点的横坐标为，图象最高点与最低点的纵坐标之差为，若，求的取值范围． （4）设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出的值．（写出三个值即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$