精品解析：2024年浙江省嘉兴市秀洲现代实验学校 九年级一模数学试卷

2023学年第二学期九年级模拟练习 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷Ⅰ(选择题) 一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分) 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 二次根式中字母的取值范围为（ ） A B. C. D. 5. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在某次十佳歌手比赛中，六位评委给选手小曹打分，得到互不相等的六个分数．若去掉一个最低分，平均分为；去掉一个最高分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分，则（ ） A. B. C. D. 7. 为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块 A. 28 B. 30 C. 34 D. 36 8. 小敏所在小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，小敏测得，，，则这块宣传版面的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，四个全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ(非选择题) 二、填空题(本题有6小题，每题4分，共24分) 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 一个不透明的袋子里有三张大小形状相同的卡片，分别写着数字1，2，3，从中任取两张，数字之和为偶数的概率是_________． 13. 反比例函数的图象经过点，则a的值为______． 14. 如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为________． 15. 如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 16. 如图，一块含的三角板和直尺拼合在同一平面上，边在射线上，，点从点出发沿方向滑动时，点同时在射线上滑动．当点从点滑动到点时，面积的最大值______（），连接，则外接圆的圆心运动的路径长______． 三、解答题(本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分) 17. （）计算： （）化简： 18. 以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 19. 已知的三边． （1）求证：是直角三角形； （2）利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 20. 某中学为了解学生对“核心价值观”掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下： I．成绩频数分布表： 成绩 (分) 频数 II．成绩在这一组的是(单位：分)：，，，，，，，，，，， 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次成绩的中位数是多少？不低于分的有多少人？ （2）这次成绩的平均分是分，秀秀的成绩是分．小周说：“秀秀的成绩高于平均分，所以秀秀的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小周的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“核心价值观”的掌握情况作出合理的评价． 21. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC＝16cm，支撑板长BD＝16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，电子器材AC可绕点B转动，支撑板BD可绕点D转动． （1）如图2，求摄像头（点A）离地面的高度H（精确到0.1cm）． （2）如图3，方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平托板DE上，求∠α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5；≈1.41；≈1.73） 22. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接． （1）如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长； （2）如图2，当时，求证：线段被平分． 23. 某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． （1）两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 24. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． （1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． （2）中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． （3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期九年级模拟练习 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷Ⅰ(选择题) 一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分) 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，代入代数式化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据算术平方根，合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 3. 年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的、值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是，其中，为整数，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：A． 4. 二次根式中字母的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 5. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 6. 在某次十佳歌手比赛中，六位评委给选手小曹打分，得到互不相等的六个分数．若去掉一个最低分，平均分为；去掉一个最高分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平均数的大小判断，分别确定各种情况的平均值是解答此题的关键．根据题意，可以判断、、的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得： 去掉一个最低分，平均分为最大， 去掉一个最高分，平均分为最小， 其次就是同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为， 即， 故选：A． 7. 为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块 A. 28 B. 30 C. 34 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键． 【详解】由所给图形可知， 第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块， 当时，（舍负）， 则（块）， 即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块． 故选：D． 8. 小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，小敏测得，，，则这块宣传版面的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，把扇形补充完整，根据题意得出扇形的圆心角度数以及半径，根据弧长公式得出的长度即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ∴这块宣传版面的周长为： ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 9. 已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值的性质，由点、点可得抛物线的对称轴为直线，即得，得，再根据二次函数解析式得抛物线与轴的交点坐标为，又根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，得到点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，即得，最后根据绝对值的性质解不等式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在二次函数图象上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴， 即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， 的取值范围为或， 故选：． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由为等腰三角形，可得，进而得到，再根据可得，即得，据此得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为， ∵等腰三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 卷Ⅱ(非选择题) 二、填空题(本题有6小题，每题4分，共24分) 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 一个不透明的袋子里有三张大小形状相同的卡片，分别写着数字1，2，3，从中任取两张，数字之和为偶数的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果， ∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 反比例函数的图象经过点，则a的值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】将点代入即可求出a. 【详解】解：将点代入, 解得： 故答案为：-2 14. 如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．过点作轴于点，由，，可得，，根据位似图形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ，， ，， 以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为： 16. 如图，一块含的三角板和直尺拼合在同一平面上，边在射线上，，点从点出发沿方向滑动时，点同时在射线上滑动．当点从点滑动到点时，面积的最大值______（），连接，则外接圆的圆心运动的路径长______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作于，取的中点，连接，可得，即得，进而可得面积的最大值，由得点共圆，得到，即得点在与成的直线上运动，设的外接圆的圆心为，则是和 的垂直平分线的交点，由是定线段，可得点运动路线是一条线段，当点在的中点处时，，可得是等边三角形，得到，利用三角函数求出即可求解． 【详解】解：如图， 作于，取的中点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴点共圆， ∴， ∴点在与成的直线上运动， 设的外接圆的圆心为，则是和 的垂直平分线的交点， ∵是定线段， ∴点运动路线是一条线段，如图， 作的垂直平分线，此时在点处， 如图，当点在的中点处时，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴外接圆的圆心运动的路径长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂线段最短，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题(本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分) 17. （）计算： （）化简： 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】本题考查了实数和分式的混合运算、特殊角的三角函数，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． （）利用负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算即可； （）根据分式的性质和混合运算法则计算即可； 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 18. 以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误， 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 19. 已知的三边． （1）求证：直角三角形； （2）利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 【答案】（1）见解析 （2）的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理，通过计算，推导出是解题的关键． （1）由，，求得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （2）由，且为正整数，可以考虑m，n都取完全平方数，且的值尽可能小些，比如，当时，则；当时，则；当时，则． 【小问1详解】 证明：∵的三边， ， ， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13， 理由：当时，则； 当时，则． 注：答案不唯一，如当时，则，． 20. 某中学为了解学生对“核心价值观”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下： I．成绩频数分布表： 成绩 (分) 频数 II．成绩在这一组的是(单位：分)：，，，，，，，，，，， 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次成绩的中位数是多少？不低于分的有多少人？ （2）这次成绩的平均分是分，秀秀的成绩是分．小周说：“秀秀的成绩高于平均分，所以秀秀的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小周的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“核心价值观”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1）这次成绩的中位数是分，不低于分的有人 （2）不正确，理由见解析 （3）对该校学生“核心价值观”的掌握达到分及以上的大约为 【解析】 【分析】本题考查了中位数，频数分布表，样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）根据中位数的定义即可求出这次成绩的中位数，根据题意及表中的数据即可得到不低于分的人数； （2）根据中位数的意义即可判断； （3）根据表中的数据作出合理评价即可． 【小问1详解】 解：这次成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为（分）， 这次成绩的中位数是分， 不低于分的有：（人）； 小问2详解】 不正确，理由如下： 秀秀的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数比较， 秀秀的成绩是分，这次成绩的中位数是分， 秀秀的成绩低于一半学生的成绩； 【小问3详解】 ， 对该校学生“核心价值观”的掌握达到分及以上的大约为． 21. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC＝16cm，支撑板长BD＝16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，电子器材AC可绕点B转动，支撑板BD可绕点D转动． （1）如图2，求摄像头（点A）离地面的高度H（精确到0.1cm）． （2）如图3，为方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平托板DE上，求∠α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5；≈1.41；≈1.73） 【答案】（1）139.5cm （2）33.4° 【解析】 【分析】(1) 作于点F，，于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，又水平托板DE离地面的高度为120cm，可得答案． （2）由题意可得，在Rt△DBC中，已知两直角边，可求得∠BDC的正切值，进而可求得α的度数． 【小问1详解】 解：如图2，作于点F，，于点G， ∵，∴， 又∵cm，∴cm， ∵，∴，∴， ∵cm，B是AC的中点， ∴， ∴cm 【小问2详解】 解：由条件，得：， 又∵cm，cm， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接． （1）如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长； （2）如图2，当时，求证：线段被平分． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和点是的中点，可得，，，证明，得到，由，可得，即可求解； （2）设与交于点，过作于，根据矩形的性质可得，，由，可推出，证明，得到，推出，结合，推出，证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点是的中点， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，设与交于点，过作于， 在矩形中，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 线段被平分． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 23. 某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． （1）两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】（1）型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 （2）型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【解析】 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； 【小问2详解】 解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 24. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． （1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． （2）中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． （3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（）如图，取格点，连接交于，点即为所求； （）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解； （）①证明可得，再根据点是中边上的“中项点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于，如图： 则点即为边上的一个“中项点” ，理由如下： 由图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， 即， ∴为边上的一个“中项点”； 【小问2详解】 解：过作于，如图： ∵， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴， 解得(负值已舍去)， ∴， ∴线段的长为； 【小问3详解】 ①证明：由圆周角定理得，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是中边上的“中项点”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵，设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，正切的定义，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$