精品解析：山东烟台市蓬莱区2025—2026学年第二学期期中学业水平考试九年级数学试题

蓬莱区2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初三数学试题 卷1 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各式中，不是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键． 3. 将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，多边形的内角和定理．先由平行四边形与矩形得到，，再由五边形的内角和可得，即可解答． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在五边形中，， 又，， ∴， ∴， 即． 故选：D 4. 根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 5. 下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案. 【详解】∵，∴①错误； ∵（算术平方根为非负数），∴②错误； ∵，∴③正确； ∵，∴④错误； 综上，正确的等式只有1个， 故选：A. 6. 列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（ ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵二次根式​有意义， ∴要求被开方数非负，即，得， ∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 9. 如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，设正方形的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出及的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为的长． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将分别沿向内折叠得到图2： ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 12. 如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式确定参数，列出不等式组求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数 【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确， 由根与系数的关系，； 小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确， 由根与系数的关系，，即，解得． 因此正确的一元二次方程为． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得，，，即得，四边形是矩形，连接，可知，可得当时，取最小值，此时的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ∴，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， 连接，则， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 15. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 16. 如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数的应用；由图②得当时，，此时与重合时，，可得，当时，当时，分别求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：由图②得，当时，， 与重合时，， ， 四边形是正方形， （）， E是边的中点， ， 当时， 由运动过程得，， ； 当时， 由运动过程得， ； ， 当时， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解； （2）先根据二次根式的性质，二次根式的除法法则和平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 ． 18. 解方程 （1）公式法： （2）配方法：． （3） 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用公式法求解； （2）首先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用配方法求解； （3）利用十字相乘法分解因式，可得两个关于的一元一次方程，分别解两个一元一次方程求出一元二次方程的解． 【小问1详解】 解： , ， 整理得：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：, 去分母得：， 移项得：， 配方得：， ， 两边同时开平方得：， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 19. 先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： （1）请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； （2）计算：； （3）计算： 【答案】（1）小莉的化简结果正确，见解析 （2） （3）2026 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可； （3）利用（2）的化简方法化简计算即可． 【小问1详解】 解：小莉的化简结果正确，理由如下： ∵ 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 卷2 21. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）选择条件①，四边形是矩形；选择条件②，四边形是矩形．证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，再根据线段的和差关系和数量关系即可得出结论； （2）选择①先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； 选择②先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：若选择条件①，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 若选择条件②，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形 ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 22. 根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】任务1：月平均增长率为；任务2：每单实际配送费应定为16元 【解析】 【分析】（1）设每月平均增长率为x，则两次增长后的订单量为， （2）根据“总利润=每单利润×日订单量”，列出一元二次方程，解方程，结合“要降低用户的配送成本”确定解的取舍． 【详解】解：任务1：设该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 任务2：设配送费用上涨y元，则实际配送费为元，日订单量为单，根据题意， 得， 解得，． ∵要降低用户的配送成本， ∴每单实际配送费为（元）． 答：每单实际配送费应定为16元． 【点睛】连续两次增长率问题一般可用公式，列出方程求解．注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 23. 综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． （1）如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． （2）若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】（1） （2）M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【小问1详解】 解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 24. 如图，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取中点M，连接与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质进行求解即可； （2）如图所示，连接，由线段中点的定义得到，由轴对称的性质得到，，则，，推出，进一步证明，则，由此可证明四边形是平行四边形，则，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵点M是中点， ∴， ∵和关于所在直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初三数学试题 卷1 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，不是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（ ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. D. 或 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______． 15. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 16. 如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 解方程 （1）公式法： （2）配方法：． （3） 19. 先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： （1）请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； （2）计算：； （3）计算： 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 卷2 21. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 22. 根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 23. 综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． （1）如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． （2）若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 24. 如图，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取中点M，连接与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $