第一章 三角形的证明（11大题型95题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第一章 三角形的证明 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、等腰三角形的性质与判定的综合应用……………………………………………3 类型二、等边三角形的性质与判定………………………………………………………39 类型三、角平分线的性质定理…………………………………………………………69 类型四、特殊三角形的最值问题…………………………………………………………89 类型五、特殊三角形的综合问题………………………………………………………110 类型六、线段垂直平分线的性质与判定…………………………………………………133 类型七、勾股定理逆定理的应用………………………………………………………153 类型八、等腰三角形的确定与构造问题…………………………………………………171 类型九、一次函数与特殊三角形的综合问题……………………………………………195 类型十、平面直角坐标系背景下的特殊三角形问题……………………………………233 类型十一、有特殊三角形有关的作图问题………………………………………………253 知识点1．等腰三角形的性质 1、①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） 知识点2．等腰三角形的判定①如果一个三角形有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 知识点3．等边三角形的性质 1、三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 2、等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 知识点4．等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 知识点5．含30〬锐角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点6．直角三角形的判定 斜边和直角边分别对应相等的直角三角形全等 知识点7．勾股定理的逆定理 两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 第三边即为直角三角形的斜边。勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形 知识点8．线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 知识点9．线段垂直平分线的性质定理的逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 知识点10．角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 知识点11．角的平分线的性质定理的逆定理 性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上； 类型一、等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 2．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 3．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 4．【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ．    【变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 5．如图，中，点D为边上一点，连接，过点B作的垂线交于M，交于点N，且． (1)求证：平分． (2)点E为延长线上一点，连接，，求证：． (3)在（2）的条件下，过点A作交于点X，过点A作交于点H，当时，求的长． 6．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 7．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 8．（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 9．如图1， 在 中， ， 点在上， 于点， 且， 点在上， 连接，， (1)试判断线段的数量关系， 并证明； (2)如图2， 连接， 若， 求 的值 10．（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 11．如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)线段与的大小关系是：________（填“”或“”或“”）； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于，若，求证：是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，，求线段的长度（用含、的式子表示）． 12．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 13．如图，在中，，点D在边上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交边AC于点E． (1)当时， ，点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当的长度等于多少时，？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 类型二、等边三角形的性质与判定 14．如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 16．概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则 度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且为钝角，直接写出所有可能的的度数； (3)【深入探究】如图3，在平面直角坐标系中，当是等边三角形时，，，动点M从B出发，沿着线段向终点A运动，同时，动点N从C出发，沿着射线运动，M、N两点运动速度均为2个单位每秒，运动时间为t秒，交x轴于点E，在线段上取一点D，连接，使得，且，求证：是的特异线，并求出t的值． 17．已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 18．在中，，点为边上一动点，以为边在下方作等边． (1)如图，若平分，，求的长； (2)如图，在（）的条件下，连接，求的度数； (3)如图，为中点，延长交于点，连接． ①求的度数； ②求证：点是的中点． 19．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 20．中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 21．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． (1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 22．如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 类型三、角平分线的性质定理 23．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 25．如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 26．【问题情境】将一副直角三角尺和按图所示的方式摆放，其中，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．          【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 连接，则是边上的中线， ，是的平分线．（依据） ，，．（依据） (1)上述理由的“依据”和“依据”分别是指： 依据： ； 依据： ． (2)【操作发现】如图2，将三角尺绕点旋转，在旋转过程中，三角尺的两条直角边分别与中边，交于点，（点不与点，重合），与的数量关系是 ，三角尺与三角尺重叠部分的面积是 ． (3)将图中的沿着射线的方向平移至如图的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，连接，，如果，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由． 27．在中，，若点在的平分线所在的直线上， (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且，    ①求证：点在的垂直平分线上； ② ； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度；    28．如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 29．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 30．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．      (1)①求点到的距离； ②点为的三条________线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号） (2)如图1，射线交的垂直平分线于点，证明是等腰直角三角形． (3)如图2，为轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与轴，线段分别交于点，，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 类型四、特殊三角形的最值问题 31．如图，，，为边上一点，作且，当取最小值时，（   ）    A． B． C． D． 32．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 33．在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，的面积是8；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是8． A．1 B．2 C．3 D．4 34．如图，是等边三角形，于点D，，E是上的一个动点，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 35．已知，都是等边三角形，可以绕点B旋转． （1）如图①，F为边上一点，连接，，．若且时，则 ； （2）如图②，连接并延长交于点M，N为延长线上一点，连接，连接并延长交于点G．若G为的中点，连接，若，，在旋转的过程中，当最小时，则 ． 36．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 37．如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是 ． 38．在中，，的中垂线交于D，交于点E且． (1)如图1，连接，则 ， ； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 39．如图，在中，，，点是线段上一动点，连接． (1)当为等腰三角形时，直接写出的度数； (2)当点是的中点时，求的度数； (3)过点作，，垂足分别点，，求连接，求的最小值． 40．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，请直接写出的最小值． 41．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 类型五、特殊三角形的综合问题 42．如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 43．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 45．如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． (1) （用含的代数式表示）； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)当 时，点在的角平分线上． 46．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．    (1)若点P恰好在的角平分线上，求t的值； (2)问t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 47．如图，中，，，，若动点P 从点C开始，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P 运动的时间为t秒． (1) ． (2)当时，的周长为 ； (3)当点 P落在的角平分线上时，求t的值； (4)在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时t的值． 48．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图3，当点的对应点在边下方，、分别交于点、，当和都是等腰三角形时，则 （在横线上直接写出答案）． 49．如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 50．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 类型六、线段垂直平分线的性质与判定 51．已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 52．阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 53．如图，在中，点分别在边上． (1)如图1，若平分平分与交于点，求的度数； (2)如图2，若且，求的度数； (3)如图3，若，点为中点，且，的角平分线交于点，的角平分线交于点．猜想的度数为_______． 54．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 55．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； (2)如图1，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：． (3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长． 56．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 类型七、勾股定理逆定理的应用 57．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 58．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 59．如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 60．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二  数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路的长； (2)道路__________米； (3)任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 61．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN． （1）如图1，求证：CN＝BM； （2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2； （3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由． 62．图是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小方完成以下学习任务：    (1)如图1，点M、N分别是边和上的点，，点P是射线上一点，测得．请说明平分． (2)如图2，在四边形中，，点P为中点，将四边形沿着翻折，点D刚好与上的点E重合，请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当其中一条边上的高为5时，请直接写出的面积．（可用含a的式子表示） 63．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 64．【教材呈现】 下表是华师版八年级上册数学教材第122页的部分内容． 例4，如图，已知．求图中着色部分的面积． 结合图①，写出完整的求解过程． 【拓展】 如图②，点分别是图①中边上的点，连结，将沿翻折，使点B与点A重合． （1）图中阴影部分图形的周长为______m． （2）图中阴影部分图形的面积为______． 类型八、等腰三角形的确定与构造问题 65．已知的三条边长分别为，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 66．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 67．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有 个 68．如图，，点M，N在边上，，，点P是边上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．    69．如图，，点M，N在上，，，P是上的点，若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ． 70．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 71．在平面直角坐标系内，点为坐标原点，轴上点，轴上点．，且． (1)直接写出点、点的坐标； (2)若，且，求出的面积； (3)在（2）条件下，且当点在第二象限时，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出点有几个，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．如图，在中，，，交于点．动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为秒． （1）求和的长； （2）当秒时，求证：； （3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值． 73．已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a、b、k的值； (2)在图中画出这两个函数图象，并求这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积； (3)在y轴上找点P，使为等腰三角形，直接写出P点坐标． 74．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 75．如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．    (1)如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； (2)连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 类型九、一次函数与特殊三角形的综合问题 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若 ①连接，证明：． ②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 77．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 78．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，直线经过点和点． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）如图1，已知直线经过点和轴上一点，，点是直线位于轴右侧图象上一点，连接，且， ①求点坐标； ②将沿直线平移得到，平移后的点与点重合，点为上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时点的坐标； （3）如图2，将点向左平移4个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和，动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由？ 79．如图，直线经过、两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒， (1)求直线的表达式； (2)当______时，； (3)将直线沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； (4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 80．一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0． (1)求直线AB解析式； (2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标； (3)如图2，当BD＝DE时，F为直线BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标． 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 82．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 83．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； (2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 84．如图，一次函数的图象与y轴、x轴分别交于A，B两点，已知． (1)线段长为______； (2)C是x轴上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求满足要求的直线解析式； (3)在（2）的条件下，以为边作（点D为第二象限内一点），当存在一边与y轴或直线平行时，求D点坐标．（直接写出答案） 85．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，为x正半轴上的动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，请直接写出当最小时Q点坐标． 类型十、平面直角坐标系背景下的特殊三角形问题 86．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 87．在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 88．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图，若，，求点的坐标； (2)如图，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 89．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为、、，且满足，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．             (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)如图2，连结，当为何值时，平分． (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 90．在直角坐标系中，A点的坐标为，B点在y轴负半轴上，且，E点与B点关于x轴对称，C点的坐标为，且满足．    (1)写出三点的坐标：A ，B ，C ； (2)如图1，x轴上一点M位于A点右侧，连接，延长至N，使M位于的垂直平分线上．若，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上A点右侧的一个动点，，先作直线，作，垂足为H，在射线HQ上取一点G，满足，连接．请问：在点P运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，直接写其变化范围． 91．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别在轴和轴上，且． (1)如图1，若点的坐标，点的坐标，求点A的坐标； (2)过点A作，交轴于点是边上一点，过作交射线于点． 如图2，若点与点重合． 求证：； 如图3，过点作线段且，取的中点交于点，设，求的长（用含的式子表示）． 92．在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 类型十一、有特殊三角形有关的作图问题 93．作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 94．如图，是由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线与交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图1中，画出的中线和角平分线； (2)如图2，连接． ①是______三角形； ②在图2中的线段上画点P，使． 95．（1）“三等分角”的问题大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动，请用你所学的知识说明． （2）对于一些特殊的角，我们是可以用尺规进行三等分的，比如，的角，请你用直尺和圆规作出它们的三等分线．（保留画图痕迹） （3）已知，在中，射线和射线是的三等分线，在射线上截取，在射线上截取，试探究和的关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，连接和并延长交与点，如果的周长为，且，则________． 试卷第258页，共258页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、等腰三角形的性质与判定的综合应用……………………………………………3 类型二、等边三角形的性质与判定………………………………………………………39 类型三、角平分线的性质定理…………………………………………………………69 类型四、特殊三角形的最值问题…………………………………………………………89 类型五、特殊三角形的综合问题………………………………………………………110 类型六、线段垂直平分线的性质与判定…………………………………………………133 类型七、勾股定理逆定理的应用………………………………………………………153 类型八、等腰三角形的确定与构造问题…………………………………………………171 类型九、一次函数与特殊三角形的综合问题……………………………………………195 类型十、平面直角坐标系背景下的特殊三角形问题……………………………………233 类型十一、有特殊三角形有关的作图问题………………………………………………253 知识点1．等腰三角形的性质 1、①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） 知识点2．等腰三角形的判定 ①如果一个三角形有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 知识点3．等边三角形的性质 1、三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 2、等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 知识点4．等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 知识点5．含30〬锐角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点6．直角三角形的判定 斜边和直角边分别对应相等的直角三角形全等 知识点7．勾股定理的逆定理 两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 第三边即为直角三角形的斜边。勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形 知识点8．线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 知识点9．线段垂直平分线的性质定理的逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 知识点10．角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 知识点11．角的平分线的性质定理的逆定理 性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上； 类型一、等腰三角形的性质与判定的综合应用 1．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了三角形以及多边形内角和，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作于G，，证明和，得，，再把变形即可得出等于； （2）过点D作于E，，可证明，得，再证明，，根据直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，从而得出，，，同理得：，即可求得四边形的周长． 【详解】（1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 2．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据及两个直角相等，还有公共边，利用全等三角形即可得证； （2）作平行线利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J，证明，得出，，设，则，，求出，根据，得出，求出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过A作于D， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由：过E作交于G， ∴，， ∵点D为线段中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）中证明方法可知， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， 即， 解得，负值舍去， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；问题提升： 【分析】问题解决：（1）过点作，与相交于点，，，可得是等腰直角三角形，有，，，从而，而，故，有，又，知，根据可得； （2）求出，因，，故； 问题提升：设直线与直线交于，过作于，由（1）知，，知是等腰直角三角形，而为的中点，可得是的垂直平分线，有，从而是的平分线，，再证是等腰直角三角形，得，故，解得，． 【详解】问题解决：（1）证明：过点作，与相交于点，如图： ，， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（）知，是等腰直角三角形， ，， ； 问题提升：解：设直线与直线交于，过作于，如图： 由（1）知， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ， 是的垂直平分线， ， ，即是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题． 4．【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ．    【变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【答案】； 详见解析； ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，外角的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造三角形全等． 利用证明，根据全等三角形对应边相等可得； 利用证明，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 在上截取，构造，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可求，根据等腰三角形的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； 证明：是的外角， ， 又，， ， 又，， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，在上截取， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ． 5．如图，中，点D为边上一点，连接，过点B作的垂线交于M，交于点N，且． (1)求证：平分． (2)点E为延长线上一点，连接，，求证：． (3)在（2）的条件下，过点A作交于点X，过点A作交于点H，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知证明垂直平分，易证是等腰三角形，即可得出结论； （2）设，则，进而求出，，再根据三角形外角得到，即可得出结论； （3）如图，延长到点，使得，设，利用三角形内角定理及外角的性质证明，，推出，，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴平分； （2）证明：设，则， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长到点，使得， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，, ∵， ∴， 在中，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理勾股定理等知识，熟练掌握三角形内角和定理与外角的性质是解决本题的关键． 6．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 7．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)4 (2)5或16 (3)5或11 【分析】（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）分和两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵为以为腰的等腰三角形， 当时， 根据题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，设， ∵， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， 解得． 故当或时，为以为腰的等腰三角形． （3）解：∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的判定和性质，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． 8．（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）①根据等腰三角形三线合一可知，则，可证，再结合直角三角形两锐角互余可证，进而可证，即可得结论； ②根据，，得，易知，即可求解； （2）延长，交于点，根据，求得，进而证得，再证，，可得结论； （3）如图，在上截取，连接，，先证，得，则，当时，取得最小值，此时有最小值，如图，当时，延长，交于点，则，再证，得，再证，可证得，由，即：，求得当时，，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，，则， ∴，则， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， 故答案为：，； ②由①可知，，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴，则， ∵，则 ∴， ∴，则，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，则， ∴； （3）如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则，当时，取得最小值，此时有最小值， 如图，当时，延长，交于点，则， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵平分， ∴，则， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即：， ∴当时，，即的最小值为8， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，垂线段最短，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 9．如图1， 在 中， ， 点在上， 于点， 且， 点在上， 连接，， (1)试判断线段的数量关系， 并证明； (2)如图2， 连接， 若， 求 的值 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等边对等角可得，由角的和差计算可得，，如图所示，在上取，连接，可证，得到，再运用三角形内角和定理可得，，由此即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，可证，得到，在中运用直角三角形两锐角互余可得，在中运用三角形内角和定理可得，则有，得到，设，可得，，由（1）可得，，在中，运用勾股定理可得或（不符合题意，舍去），由此即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，延长到点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 设， ∴，即， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，因式分解法求一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 10．（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 【答案】（1）； （2）；（3）河流另一边森林公园的面积为． 【分析】（）证明，得，，进而可以解决问题； （）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积； （）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题； 【详解】解：（）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∴， ∵面积为，且的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴河流另一边森林公园的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 11．如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)线段与的大小关系是：________（填“”或“”或“”）； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于，若，求证：是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，，求线段的长度（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得； （2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，，， ， 在与中， ， ， ，， 如图2，连接， 将沿直线翻折得到， ， ∵， ，即． ∵， ∴是的中点； （3）解：如图3，连，延长交于， 根据折叠的性质，则， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 由（2）知，， ，， ， ∴，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 12．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)是定值， 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）如图，延长至，使得，连接，证明得到 ， ，即得，进而可证，得到，据此即可求证； （）如图，作于，在上截取，证明得到，进而得到，即得到，得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵, ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：； 理由如下： 如图，延长至，使得，连接， 由（）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，    ∴， ∴； （3）解：是定值． 如图，作于，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全都三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 13．如图，在中，，点D在边上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交边AC于点E． (1)当时， ，点D从点B向点C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当的长度等于多少时，？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，小 (2)当时，，理由见解析 (3)可以，110°或80° 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义及性质的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理计算即可求解； （2）根据全等三角形的判定方法即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 点从向运动时，逐渐变小， 故答案为：，小； （2）解：∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，且， ∴当时，运用角边角可得， 故答案为：当时，； （3）解：∵， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴，则点于点重合，不符合题意，舍去； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，若是等腰三角形，的度数是或． 类型二、等边三角形的性质与判定 14．如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质可得，，，进而可证得然后利用全等三角形的性质即可判断结论①；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理即可判断结论②；过点作于，于，利用可证得，于是可得，根据角平分线的判定定理即可判断结论③；在上截取，连接，设，交于点，利用可证得，于是可得，进而可证得为等边三角形，则，然后利用及等量代换即可判断结论④． 【详解】解：①和是等边三角形， ，，， 在和中， ， ∴， ， 故结论①正确； ②∵， ， ， 则， 故结论②正确； ③如图1，过点作于，于， 则， ∵， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， 故结论③正确； ④如图2，在上截取，连接，设，交于点， 由②可知：， ， 由③可知：平分， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有：，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析 【分析】（1）根据，得．根据 ，得，得； （2）连接，由（1）知，得， 根据中点定义得．得，结合，可得垂直平分线段； （3）将顺时针旋转到，连接，则，，得，得．得，根据，得，得，根据，得，得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形． ∵D 是底边 的中点， ∴，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； 解：（3），理由： ∵在中，， ∴， 将顺时针旋转到，点D的对应点为点F，连接， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合题．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段中点性质，线段垂直平分线判定，旋转性质，三角形外角性质，是解题的关键是． 16．概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则 度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且为钝角，直接写出所有可能的的度数； (3)【深入探究】如图3，在平面直角坐标系中，当是等边三角形时，，，动点M从B出发，沿着线段向终点A运动，同时，动点N从C出发，沿着射线运动，M、N两点运动速度均为2个单位每秒，运动时间为t秒，交x轴于点E，在线段上取一点D，连接，使得，且，求证：是的特异线，并求出t的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由角平分线的性质得，由是的一条特异线得，，再利用三角形内角和即可求解； （2）根据题意分为这个三角形的特异线，为这个三角形的特异线，为这个三角形的特异线，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质解答即可； （3）过点M作交于点Q，过点D作于点F，延长到点，使，连接，先证明，推出，再证是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一及线段之间的和差关系得，设，得，证明为等边三角形，求出，，得到是等腰三角形，即可证明 为 的特异线；再根据等边三角形的性质及30度直角三角形的性质得 ，，，列出关于的方程解出即可． 【详解】（1）解：是的一条特异线， ，是等腰三角形， ，，， 的角平分线是， ， 是等腰锐角三角形， ， 内角和为， ； （2）解：∵是特异三角形， 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， 当，时， 则， ∴， 此时； 当，时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵，与三角形内角和定理矛盾， ∴不成立； 当，时， 同理，不成立； 当，时， 则， ∴， ∴， ∴ 此时； 当，时， 则， 此时（不符合题意）； 当，时， 则， 此时（不符合题意）； 当，时， 则， 则， 此时； 当，时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，与三角形内角和定理矛盾， ∴不成立； 当，时， 同理，不成立； 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， ∵为钝角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（不符合题意）； 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， ∵为钝角， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）证明：过点M作交于点Q，过点D作于点F，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形，M、N两点运动速度均为2个单位每秒， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 由等腰三角形三线合一的性质可得， ∵， 设，， ∴， 设，则， ∴ 即 ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵ ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ 将 分为两个等腰三角形， ∴ 为 的特异线； ∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等边三角形的判定及性质，三角形内角和定理和外角的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，动点问题，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握求一次函数交点及一次函数与坐标轴的交点的方法与技巧． 17．已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）会变化，； 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案； （2）在上取一点使，然后证明，进而得出答案； （3）在延长线上取一点使，同理证明，进而得出答案； 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）证明：在上取一点E，， ，，， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （3）的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得， ， 同理①的方法可证：， ， ； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 18．在中，，点为边上一动点，以为边在下方作等边． (1)如图，若平分，，求的长； (2)如图，在（）的条件下，连接，求的度数； (3)如图，为中点，延长交于点，连接． ①求的度数； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；②证明见解析 【分析】（）利用直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解； （）设交于，证明可得，，进而得是的垂直平分线，得到，即可得； （）①证明可得，，再证明是等边三角形，得到，即得，进而即可求解；②如图，过点作，交的延长线于，证明得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）解：如图，设交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键． （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 20．中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边三角形； (2)为等腰三角形，见解析； 为等腰三角形，图见解析． 【分析】根据已知条件可以判断和为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用证明，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质，所以可得，所以可证为等边三角形； 当为等腰三角形，点在线段上移动时，可证，所以可得，根据平行线的性质可得，从而可证为等腰三角形； 当点在线段的延长线上移动时，仿照可证为等腰三角形． 【详解】（1）解：，，， 和为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）解：为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形， ， 如下图所示，点为射线上一个动点（不与、重合）， 以为一边向的左侧作，使，， 过点作的平行线，交直线于点，连接， 为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解决本题的关键在于根据题意画出图形，证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等、对应边相等可推出结论． 21．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）． (1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）． (2)当与的一条边垂直时，求的值． (3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】(1)； (2)或或 (3) 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． （2）解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； （3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 22．如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)① ②或或或 【分析】（1）由可得，再利用即可得出结论； （2）①设所在直线为，过点作于点，由（1）可得，于是可得，由可得，由可得，于是可得，进而可得，可知是等边三角形，从而得出答案；②分点在线段上或点在延长线上或点在延长线上三种情形，分别画出图形，根据，可得，从而解决问题． 【详解】（1）证明：当点在线段上时， ， ， 即：， 在和中， ， ； （2）解：①如图，设所在直线为，过点作于点， 则， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， 即的周长为； ②在点在运动过程中，若的最小角为， 而， 或， 若， 而， 则； 当点在延长线上时，如图， 由题意可知，， 由（1）同理可得：， ， ， ； 当点在延长线上时，如图， 当时，； 当时，由（1）同理可得：， ， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 类型三、角平分线的性质定理 23．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数． 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故选：B． 24．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 25．如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，①过点O作于H，根据平分得，再根据得，进而根据角平分线的性质可对命题①进行判断；②设，则，，证明平分得，再根据三角形内角和定理，由此可对命题②进行判断；③先证明，则，进而得，然后根据可对命题③进行判断；④先证明和全等得，再证明和全等得，由此可对命题④进行判断；⑤先求出，则，，，由此可求出的度数，进而可对命题⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点O作于H，如图1所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， 故命题①是真命题； ②∵平分平分， ∴设， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴点O在的平分线上， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 故命题②是真命题； ③∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故命题③是假命题； ④过点E作于点K，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故命题④是假命题； ⑤在中，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故命题⑤是真命题， 综上所述：是真命题的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 26．【问题情境】将一副直角三角尺和按图所示的方式摆放，其中，，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．          【探究展示】小丽同学展示出如下正确的解法： 解：，理由如下： 连接，则是边上的中线， ，是的平分线．（依据） ，，．（依据） (1)上述理由的“依据”和“依据”分别是指： 依据： ； 依据： ． (2)【操作发现】如图2，将三角尺绕点旋转，在旋转过程中，三角尺的两条直角边分别与中边，交于点，（点不与点，重合），与的数量关系是 ，三角尺与三角尺重叠部分的面积是 ． (3)将图中的沿着射线的方向平移至如图的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，连接，，如果，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)依据：等腰三角形三线合一，依据：角平分线上的点到角两边的距离相等； (2)相等，； (3)且，理由见解析． 【分析】由推理的过程和三角形的形状可知依据是等腰三角形三线合一，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等； 过点作，，构造，根据全等三角形对应边相等可证，利用全等三角形的面积也相等可知，运用正方形的面积公式可求结果； 连接，则为边上的中线，可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可得且． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图所示，连接，则是边上的中线， ， 是的平分线．（等腰三角形三线合一） ，， ．（角平分线上的点到角两边的距离相等） 故答案为：等腰三角形三线合一，角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）解：如下图所示，过点作，， 由知，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由知四边形是正方形，且边长为， ， 故答案为：相等，； （3）解：且．理由如下： 如下图所示，连接，则为边上的中线， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， ， 且． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等判定结论成立． 27．在中，，若点在的平分线所在的直线上， (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且，    ①求证：点在的垂直平分线上； ② ； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度；    【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（）①连接，证明得到即可求证；②证明得到，即得，再根据即可求解； （）延长交于，先证明，进而证明，得到，由勾股定理可得，又可得，得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）①证明：连接，      ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交于，    ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 28．如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积， （1）如图，过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答； 掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于，与， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 29．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． 连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； 过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．      (1)①求点到的距离； ②点为的三条________线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号） (2)如图1，射线交的垂直平分线于点，证明是等腰直角三角形． (3)如图2，为轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与轴，线段分别交于点，，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 【答案】(1)①1；②① (2)见解析 (3)的周长不变，为4， 【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识： （1）①过点分别作，，的垂线，垂足分别为、、，由得，再根据可得结论； ②，进而得解； （2）延长交轴于点，作于，于，根据垂直平分线的性质得，证明，，分别平分，，得，，证明得，得，再证明，得出，即可得到结论； （3）过点分别作垂线，，，，连，．证明，，得到，，可求出的周长为，故可得结论 【详解】（1）解：①过点分别作，，的垂线，垂足分别为、、，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． 即点到的距离为； ②，， ， 点到三边的距离相等， 点为的三条角平分线的交点， 故答案为：①； （2）解：如图．延长交轴于点，作于，于， 点是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于，于，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． （3）解：的周长不变，为4，理由如下： 过点分别作垂线，，，，连，． 将沿所在直线翻折， ， ， ，， ，， 的周长为， ，， ， 的周长为． 类型四、特殊三角形的最值问题 31．如图，，，为边上一点，作且，当取最小值时，（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使得，连接，则，证明得出在射线上运动，作关于的对称点，连接，，，则点关于的对称点在上，连接，可得当与点重合时，取得最小值，此时， 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，延长至，连接， 使得，则，    ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在射线上运动，平分， 作关于的对称点，连接，，，则点关于的对称点在上，连接，如图所示，    ∴， ∴是等边三角形， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与关于的对称， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， 即当与点重合时，取得最小值，此时， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 32．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强，解题的关键是确定点的运动轨迹． 首先证明点E在射线上运动，，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，是等边三角形，    ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）． 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小． ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴﹒ 故选A． 33．在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，的面积是8；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是8． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】连接．过点作于点，由点B关于的对称点为，则垂直平分，即可判断①；求出，即可判断③；证明是定值，得出，即可判断④，根据时，得出，根据三角形的面积公式，即可判断②． 【详解】解：如图，连接．过点作于点． ，， ，， ， ， ， ， 由轴对称变换性质可知 ，，故①正确， ， ，， ，，， ， ， 定值，故③正确， ， 的最大值为8，故④正确， 当时，， ， ，故②正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 34．如图，是等边三角形，于点D，，E是上的一个动点，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了构造全等三角形及轴对称性求线段和最小值、等边三角形的判定与性质等知识点．连接并延长，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，则点F在射线上运动，作C关于射线的对称点，连接，，由对称性质得到，当D、F、共线时取等号，此时有最小值，最小值为的长，然后证明是等边三角形得到，，再证明得到即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长， 为等边三角形，， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F在射线上运动， 作C关于射线的对称点，连接，，则，，， ∴，当D、F、共线时取等号， 此时取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 35．已知，都是等边三角形，可以绕点B旋转． （1）如图①，F为边上一点，连接，，．若且时，则 ； （2）如图②，连接并延长交于点M，N为延长线上一点，连接，连接并延长交于点G．若G为的中点，连接，若，，在旋转的过程中，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用正方形，构造全等三角形解决问题． （1）证明即可解决问题． （2）如图，过点M作交于H．首先证明，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图1中， ∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 如图2中，过点B作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图3中，如图，过点M作交于H． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最小，此时的值最小， 如图3中，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 36．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，并利用等腰三角形的性质作出辅助线是解题的关键，过点B作，使，连接，，则，易证得，得到，故当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值，过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，则，再利用证得，，，在中，利用勾股定理可得到，从而得到，的值，再次利用勾股定理可求得的值，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，过点B作，使，连接，， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值， 过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 37．如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故答案为：． 38．在中，，的中垂线交于D，交于点E且． (1)如图1，连接，则 ， ； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)的长为5 (3) 【分析】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识； （1）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，过作于，在上取一点，使，连接，，证明，可得，即可得到，当，，都在线段上时，最小，最后由面积法求出即可． 【详解】（1）解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即，= 故答案为：， （2）解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即的长为5； （3）解：如图，连接，过作于，在上取一点，使，连接，，则 是的中垂线， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，都在线段上时，最小， 由（2）得：，， ， ， 的面积 ， 即的最小值为， 故答案为：． 39．如图，在中，，，点是线段上一动点，连接． (1)当为等腰三角形时，直接写出的度数； (2)当点是的中点时，求的度数； (3)过点作，，垂足分别点，，求连接，求的最小值． 【答案】(1)的度数为或或； (2)； (3)的最小值是． 【分析】（）分为底时，为底时，为底时三种情况分析即可； （）延长，过点作交的延长线于点，连接，根据，，求出，，，，再根据是的中点时，得出，即可证明是等边三角形，结合，，即可求解； （）连接，取的中点，连接，，根据，得出 ，求出，是等腰直角三角形， 由勾股定理得，当最小时，最小，即当时， 即可求解． 【详解】（1）解：当为等腰三角形时，分三种情况： 为底时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 为底时，， ∴ ∴； 为底时，， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或； （2）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形. ∴， ∴当最小时，最小，即当时， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，点到直线垂线段最短等知识点，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 40．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短． （1）过作于，交的延长线于点，证明，据此求解即可； （2）延长过到点，使得，先证明，得到，，从而得到，继而得到，得到，证明，利用等腰三角形的性质证明即可； （3）根据，得到．得到是的角平分线，利用垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：，都是等边三角形 ，，， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长过到点，使得， ，都是等边三角形， ，， ，． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：根据（1）得， ． 是的角平分线， 当时，最短，此时， ，的中点， ， ，， 故的最小值为． 41．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、特殊三角形的综合问题 42．如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】首先在等腰中，可知，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，，；过点作于点，解得，进一步可得，再在中，利用勾股定理解得的值，易得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，，是斜边的中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 43．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，在上截取，可知是等边三角形，进而利用可证明，得，，即可证明①②，设边上的高为，点到，的距离分别为，，结合角平分线的性质及等面积法即可证明③正确，再利用证明，，当时，，进而证明，即可证明④正确． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴是等边三角形，则，， ∵是等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴，， 则，故①正确； 则，故②正确； 设边上的高为，点到，的距离分别为，， ∵，即平分， ∴， 则， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 由上可知，，则， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 44．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 利用证明，得，则是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断． 【详解】解：，， ， 故①正确； 点为的中点，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ， 和互补， 故③正确； 不是定长，故②不正确． 正确的有：①③④， 故选：． 45．如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒． (1) （用含的代数式表示）； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)当 时，点在的角平分线上． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）由题意可知，然后根据即可得出答案； （2）过点作于点，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可求出的长，进而可求出的长，然后分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别根据相应的等量关系列方程，解方程即可求出的值，最后综合所有的情况即可得解； （3）点在的角平分线上，过点作于点，作于点，由角平分线的性质可得，由（2）可知，根据，利用三角形的面积公式可求得，然后根据，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点， ， 设，则， 由勾股定理可得：， ，，， ， 解得：， ， ， 分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：； 当时， ， ， ， ， 解得：； 当时， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形， 答：当或或时，为等腰三角形； （3）解：如图，点在的角平分线上，过点作于点，作于点， ， 由（2）可知：， ， ， ， 解得：， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，三线合一，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的性质、三角形的面积公式并运用分类讨论思想是解题的关键． 46．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．    (1)若点P恰好在的角平分线上，求t的值； (2)问t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)t的值为或4 (2)t为3或或6或时，为等腰三角形 (3)当或6时，直线把的周长分成相等的两部分 【分析】（1）过P作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）分四种情况讨论：在边上时，，在边上时，使，，，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作，    ∵，，， ∴， ∵点P恰好在的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， 设，则，  ， ∴中，， 即 解得， ∴， ∴， ∴； 当P与A重合时，也符合题意，此时； 综上所述，t的值为或4． （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为，为等腰三角形；    ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使，    此时，运动的路程为， ∴用的时间为时，为等腰三角形； 如图4，若，作于点， 根据面积法求得高， 在中，， ∴， ∴运动的路程为， 则用的时间为时，为等腰三角形； 如图5，若，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时运动的路程为， 则所用的时间为时，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，    则， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， ； 如图7，当点在上，在上，    则，， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 47．如图，中，，，，若动点P 从点C开始，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P 运动的时间为t秒． (1) ． (2)当时，的周长为 ； (3)当点 P落在的角平分线上时，求t的值； (4)在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时t的值． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)t的值为或或或 【分析】（1）由勾股定理得，计算求解即可． （2）由题意可知当时，则，则得出，利用勾股定理求出，最后根据三角形的周长求解即可． （3）作于H，利用角平分线的性质定理即可得出，设，根据，求出x的值，进一步即可得出时间． （4）分当P在上时，；当P在上时，分三种情况，，和．分四种情况讨论，分别画出图形，利用勾股定理的等腰三角形合一的性质求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ∴的长为8； （2）解：当时，则， ∴，， ∴的周长为：． （3）解：作于H， ∵为的角平行线，，， ∴， 设， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴． （4）解：当P在上时， ∵， ∴只有时，可以使为等腰三角形， 此时， ∴； 当P在上时，分三种情况，，和． 当时，过点P作点E，交与点G， 则， ∵ ∴， 即 则， ∴， ∴， ∴点P的运动路程为：， ∴． 当时， 则， ∴， ∴点P的运动路程为：， ∴； 当时，过点C作于点F， 则， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 即， 整理得：， ∴ ∴， ∴， ∴点P的运动路程为：， ∴． 综上：当为等腰三角形时t的值为或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 48．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图3，当点的对应点在边下方，、分别交于点、，当和都是等腰三角形时，则 （在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解； （3）设，则；分三种情况：①；②；③，再结合是等腰三角形的情况，利用三角形内角和即可求得的度数． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （3）解：设，则； ①当时； 则， ∴， 此时是直角三角形，当时是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴； ②当时； 则，， 由于， ∴是等腰三角形的情况有：，； 当时，即， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得：； ③当时； 则， ∴； 若，则，与题意矛盾； 若，则； 若，则； 综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和等知识，注意分类讨论思想的应用． 49．如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)30，15 (3) 【分析】（1）根据、和之间的距离公式以及关联点定义解答即可； （2）由题意易知，进而可求得，则可得出，根据等角对等边和关联点定义即可证得结论； （3）由题意，在关联点P满足或或三种情况，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，关于y轴对称，点在y轴上， ，故是的关联点； ， ， ，故是的关联点； ， ， ， ， ∴故不是的关联点， 综上，的关联点是、， 故答案为：、； （2）解：∵点，，， ，，， ， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意； 若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外， 不合题意； 若，则， 设， ，， ， ， ， ， 故答案为：30，15； （3）解：由题意，的关联点P满足或或三种情况， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上， 若，则点P在线段的垂直平分线上； 若，则点P在以点A为圆心，即长为半径的圆上， 如图，设的中点为G，则G的坐标为， 由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个关联点， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查两点之间距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键． 50．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 类型六、线段垂直平分线的性质与判定 51．已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由是的中线，可得，最后根据三角形的面积公式求解即可； ②根据，可推出，证明，得到，证明，得到，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①是的中线，， ， ， 故答案为：； ②， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 52．阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证明和全等得，由三角形三边之间关系得，进而得，再根据得，则，由此得中线的取值范围； （2）延长交的延长线于，证明△和△全等得，，则，再证明为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长到，使，连接，则，证明和全等得，，则，从而得，根据得，由此可证明和全等得，，由此得和的数量关系；然后根据得，则，由此得和的位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 53．如图，在中，点分别在边上． (1)如图1，若平分平分与交于点，求的度数； (2)如图2，若且，求的度数； (3)如图3，若，点为中点，且，的角平分线交于点，的角平分线交于点．猜想的度数为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理，即可求解． （2）在上截取，连接，证明得出，，进而得出，根据，即可求解． （3）过点作，，证明，倍长至使得，证明得出，证明是等腰直角三角形，得出，即平分，连接，得出垂直平分，又垂直平分得出垂直平分，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵在中，平分平分与交于点， ∴， ∴ ∴ （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵ ∴ ∴，即， 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， ∴ （3）如图所示，过点作，， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴，， 延长至使得 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵的角平分线交于点，的角平分线交于点． ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵是的角平分线， ∴ 又∵ ∴，即平分 连接， ∵是等腰直角三角形，平分 ∴垂直平分， ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 54．如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． (1)当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)①，②，理由见解析 (2)当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时， 【分析】（1）①证即可得解； ②见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （2）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：解：①在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴直线垂直平分，则， ∴，， ∴． 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 55．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； (2)如图1，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； ②求证：． (3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)①作图见解析  ②证明见解析 (3)5 【分析】（1）根据题意可得，，四边形内角和为，求出即可证明． （2）①用直尺和圆规，过点A作的垂线即可； ②过点作，证明即可证明结论． （3）过点作，根据（2）可知，再根据勾股定理可得． 【详解】（1）解：与互为“底余等腰三角形”， ， ， ， ， 四边形内角和是， ， ， 与互为“底余等腰三角形”； 故答案为：是； （2）①解：用直尺和圆规作出，如图1.1， ； ②证明：过点作，如图2， ， ， ， 又，， ， ， 又， ； （3）解：过点作，如图2， 根据等腰三角形的性质可得：， 根据（2）可知， 根据勾股定理可得． 【点睛】此题考查了尺规基本作图—过直线外一点作直线的垂线，新定义，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 56．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，即可得出，可求出，接下来结合“同角的余角相等”得，然后根据“角边角”得出答案； （2）先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案； （3）过点E作，交延长线于点H，先说明和是等腰直角三角形，可知，再根据，由（1），得，可得，然后根据“角边角”证明，根据全等三角形的性质得，再根据说明是的垂直平分线，接下来得出，即可求出，进而得出答案． 【详解】解：（1）过点D作，交于点F， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴； （2）． ∵， ∴． 在中，， ∴， 即． 在在中，， ∴， 解得， ∴； （3）过点E作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 由（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型七、勾股定理逆定理的应用 57．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 58．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 59．如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同意，理由见详解 (3)存在， 【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出自变量的取值范围； （2）根据勾股定理定理表示出、、再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为 ，图象经过 解得∶， 与的函数表达式为， 当时，得∶， 解得∶， 与之间的函数关系式 ； （2）同意，理由如下∶ 四边形是长方形，， 在中， 在中． 在中， 的度数不会随着点的运动而发生变化， （3）设存在的值，使得， 由（1）知∶， 在和中， 在中，， 解得∶， 存在，使得． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 60．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二  数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路的长； (2)道路__________米； (3)任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 【答案】(1)米 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解． （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点； ②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴             ∵ ∴．             ∴， 故道路的长为25米； （2）解：∵ ∴， ∴ 又∵ 在中， ∵ ∴，， ∵ ∴ 故答案为：； （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：             ②解：∵， ∴ ∴ ∵在上，即的垂直平分线上， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴      ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 61．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN． （1）如图1，求证：CN＝BM； （2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2； （3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，见解析． 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠BOM=∠CON，证明△CON≌△BOM（SAS），由全等三角形的性质得出CN=BM； （2）证明△BOA≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出AB=AC，证得∠ANC=90°，由勾股定理可得出结论； （3）根据AE⊥ON，BF⊥OM，，得到，再由AN2＋BM2＝AB2得到AE2＋BF2＝AP2，得出结论． 【详解】证明：∵OC⊥OB， ∴∠BOC＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠BOC－∠COM＝∠MON－∠COM， ∴∠BOM＝∠CON， 在△CON和△BOM中，， ∴△CON≌△BOM（SAS）， ∴CN＝BM； （2）证明：连接AC， ∵OA平分∠BOC， ∴∠BOA＝∠COA， 在△BOA和△COA中，， ∴△BOA≌△COA（SAS）， ∴AB＝AC， ∵△OMN是等腰直角三角形， ∴∠ONM＝∠OMN＝45°， ∵△CON≌△BOM， ∴∠ONC＝∠OMB＝135°， ∴∠ANC＝∠ONC－∠ONM＝135°－45°＝90°， ∴AN2＋CN2＝AC2， ∴AN2＋BM2＝AB2． (3) 以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵ ， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵AN2＋BM2＝AB2， ∴， ∴， ∴以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 62．图是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小方完成以下学习任务：    (1)如图1，点M、N分别是边和上的点，，点P是射线上一点，测得．请说明平分． (2)如图2，在四边形中，，点P为中点，将四边形沿着翻折，点D刚好与上的点E重合，请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当其中一条边上的高为5时，请直接写出的面积．（可用含a的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)9或 【分析】（1）直接利用证明全等，即可得出结论， （2）证明，利用等量代换和平角的定义得，即可证明； （3）由翻折可知的面积等于的面积，证明是直角三角形，的面积为，分三种情况讨论：边上的高，边上的高，边上的高． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： 由翻折的性质可得，，， ∵， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由翻折可知的面积等于的面积 ∵，， ∴是直角三角形，， ∴的面积为， 如图，若边上的高为5时，即，    则的面积为 ∵， ∴的面积为， ∴的面积为 ∴的面积为9； 如图，若边上的高为5时，即，    则的面积为 ∵， ∴的面积为， ∴的面积为 ∴的面积为； 如图，若边上的高为5时，即， 过点P作交于点M，      则, ∴， ∵， ∴两个三角形对应边上的高相等， ∵，，， ∴不存在此种情况， 综上，的面积为9或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的逆定理等，注意分类讨论是解本题的关键． 63．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 64．【教材呈现】 下表是华师版八年级上册数学教材第122页的部分内容． 例4，如图，已知．求图中着色部分的面积． 结合图①，写出完整的求解过程． 【拓展】 如图②，点分别是图①中边上的点，连结，将沿翻折，使点B与点A重合． （1）图中阴影部分图形的周长为______m． （2）图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】教材呈现：完整的求解过程见解析，图中着色部分的面积为；拓展：（1）；（2）． 【分析】本题考查了对称变化以及勾股定理和逆定理，准确计算是关键． 教材呈现，由勾股定理逆定理判断为直角三角形，根据三角形面积公式求出阴影面积即可； 拓展∶（1）利用对称性质得到，依据周长计算即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程求出，继而得到长，利用已知数据求出，在计算出的面积，根据计算即可． 【详解】教材呈现， 在中，，由勾股定理得∶ 为直角三角形， 拓展：（1）由对折的性质可知，， 阴影部分的周长， 故答案为∶； （2）设，则，在中，由勾股定理得∶ 解得∶， 在中，由勾股定理得： 类型八、等腰三角形的确定与构造问题 65．已知的三条边长分别为，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】． 【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB、AC为底、为腰画出图形和AB、AC不为底和腰画出图形，然后统计即可． 【详解】解：如图：当AB为底时，BC1=AC1，即能画出等腰三角形； 当AB为腰时，AB=BC3，AB=BC5，AB=BC6，即能画出等腰三角形； 当以AC为底时，AC4=CC4，即能画出等腰三角形； 当以AC为腰时，AC=CC2，即能画出等腰三角形； 当AB、AC不为底和腰时，有BC7=CC7，即能画出等腰三角形． 故答案为7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，掌握根据图形分类讨论是解答本题的关键．. 66．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论． 【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点， ∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°； 当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°； 当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°． ∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个． 故选C． 【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论． 67．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有 个 【答案】5 【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可 【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个 故答案为:5 【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键 68．如图，，点M，N在边上，，，点P是边上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．    【答案】或或 【分析】考虑四种特殊位置，分别画出图形，求出对应x的值结合图形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，当是等边三角形时满足条件，作于H．    在中，， ∵， ∴， ∴． 如图2中，当圆与只有一个交点时，时，，此时满足条件；    如图3中，如图当圆经过点O时，，此时满足条件的点P有2个．    如图4中，当圆与只有一个交点时，，    观察图3和图4可知：当时，满足条件， 综上所述，满足条件的x的值为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 69．如图，，点M，N在上，，，P是上的点，若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ． 【答案】0或或 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值， ①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个； ②如图2，构建腰长为6的等腰直角△OMC，和半径为6的M，发现M在点D的位置时，满足条件； ③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： ①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个； ②如图2，以M为圆心，以6为半径画圆，当M与OB相切时，设切点为C，M与OA交于点D， ∴MC⊥OB， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴MC=OC=6， ∴OM=， 当M与D重合时，即时，同理可知，点P恰好有三个； ③如图3，取OM=6，以M为圆心，以OM为半径画圆， 则M与OB除了O外，只有一个交点，此时x=6，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以MN为底边的符合条件的点P，点M沿OA运动，到M1时，发现M1与直线OB有一个交点， ∴当，M在移动过程中，则会与OB除了O外，有两个交点，则满足点P恰好有三个， 综上，若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是0或或． 故答案为：0或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有一定难度，本题通过分类讨论的数学方法解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法． 70．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 71．在平面直角坐标系内，点为坐标原点，轴上点，轴上点．，且． (1)直接写出点、点的坐标； (2)若，且，求出的面积； (3)在（2）条件下，且当点在第二象限时，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出点有几个，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)个，，，，． 【分析】（1）将转化为，再根据平方的非负性可得，，即可求解； （2）①当点在第一象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可；②当点在第二象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）结合等腰三角形的判定分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）∵，， ∴，， ①当点在第一象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当点在第二象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为或； （3）共有三种情况： 第一种情况：如图，由②可知：， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第二种情况： ∵，，， 又∵， ， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第三种情况： 设， ∵，， ∴， ， 当即时，得： ， 解得：，， ∴当点的坐标为或时，此时是等腰三角形， 综上所述，在轴上存在一点，使是等腰三角形，符合条件的点有个，它们的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查坐标与图形，完全平分公式的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间的距离公式，等腰三角形的判定等知识点．正确理解题意并运用分类讨论的思想是解题的关键． 72．如图，在中，，，交于点．动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为秒． （1）求和的长； （2）当秒时，求证：； （3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值． 【答案】（1）BD=，AD=；（2）见解析；（3）6.2或6.5 【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC=•BC•AH=•AC•BD即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD． （2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得∠APC=∠ADB=90°． （3）分两种情形①CP=CD．②PD=PC分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H． ∵AB=AC， ∴BH=CH=BC=3， ∴AH=， ∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BD， ∴BD=， ∴AD==； （2）证明：如图2中， 当t=3.2时，3.2×2=6.4，此时点P在AB边上，AP=6.4-5=1.4， 由（1）可知AD==1.4， ∴AP=AD， ∵AC=AB，∠A=∠A， ∴△APC≌△ADB（SAS）， ∴∠APC=∠ADB=90°， ∴PC⊥AB． （3）解：当点P在BC上时，CP=16-2t， ①如图3-1中，当CD=CP时， ∵CD=5-1.4=3.6， ∴16-2t=3.6， ∴t=6.2． ②如图3-2中，当PD=PC时， ∵PD=PC， ∴∠C=∠PDC， ∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°， ∴∠PBD=∠PDB， ∴PB=PD， ∴PC=PB=3， ∴16-2t=3， ∴t=6.5， 综上所述，满足条件的t的值为6.2或6.5． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 73．已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a、b、k的值； (2)在图中画出这两个函数图象，并求这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积； (3)在y轴上找点P，使为等腰三角形，直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或或 【分析】（1）把点代入正比例函数中，确定点．把点，分别代入直线的解析式为，解方程组即可． （2）根据题意画出图象，求得图象与坐标轴的交点，再计算三角形的面积即可． （3）根据等腰三角形的性质，分类解答即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数中， 得， ∴点． 把点，分别代入直线的解析式为中， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：根据题意，画图如下： ∵直线，设直线与x轴交点为B， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在，且点或或．理由如下： ∵， ∴， 故以A为圆心，为半径画弧，与y轴的交于点，， ∴， 过点A作轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 故点； 以O为圆心，为半径画弧，交y轴于点，，且, 故，； 作的垂直平分线交y轴于点， 设，得， 解得， 故； 综上所述，存在这样的点P，且点或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是：（1）会用待定系数法求一次函数解析式；（2）熟练掌握画图象的要领；（3）掌握线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定条件，能够用点到点距离公式进行列式求解． 74．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2)，   、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 75．如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．    (1)如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； (2)连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①为等腰三角形，理由见解析；② (2)存在，3或或30 【分析】（1）①根据翻折得到角平分线，结合平行线，继而根据等角对等边确定等腰三角形； ②由，得，由翻折得，则，所以，根据勾股定理求得； （2）三分种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得． 【详解】（1）①解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②解：，， ， ∵， ， ， 解得， 的长是； （2）解：存在，理由如下： 图1，，连接，   点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上，    ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ∵ ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上，   ， 点在的延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想． 类型九、一次函数与特殊三角形的综合问题 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若 ①连接，证明：． ②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；②或或 (2) 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质等，利用两点中点坐标公式和两点距离公式建立方程求解是解题的关键 77．综合与探究 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)的面积S与x之间的函数关系式为 (3)①．理由见解析；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作轴，    ∴F点坐标为， ∴的面积：， ∴的面积S与x之间的函数关系式为； （3）解：①．理由如下： 当的面积时， ， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在，点P的坐标为或． 过点F作轴交x轴于点E，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点； 情况二：∵是等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 78．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，直线经过点和点． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）如图1，已知直线经过点和轴上一点，，点是直线位于轴右侧图象上一点，连接，且， ①求点坐标； ②将沿直线平移得到，平移后的点与点重合，点为上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时点的坐标； （3）如图2，将点向左平移4个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和，动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】（1）－2；0；0；－6；（2）①；②最小值为，点N的坐标为；（3）或或 【分析】（1）根据两个非负数和为0的性质即可求得点A、B的坐标； （2）①先求得直线AB的解析式，根据求得，继而求得点的横坐标，从而求得答案； ②先求得直线AM的解析式及点的坐标，过作轴，垂足为点Q，过点N作，垂足为点H，求得，即为最小值，即点为所求，求得点的坐标，再求得的长即可； （3）先求得直线BD的解析式，设点，同理求得直线的解析式，求出点的坐标为 ，证得，分∠QGE为直角、∠EQG为直角、∠QEG为直角，三种情况分别求解即可． 【详解】（1）∵， 且，． ∴，． ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 故答案为：－2；0；0；－6； （2）①设直线解析式为：， 将，代入， 得， 解得， ∴直线解析式为：， ∵， ， 且， ∴， 又∵点A坐标为，且点P在y轴右侧， ∴， 令，得， ∴点P的坐标为； ②如图，过作轴，垂足为点Q， 过点N作，垂足为点H， 根据平移可知， ∴． ∴， ∴， 根据两点之间，线段最短可知， 当点H，N，P在同一条直线上时，最短． ∵点，， ∴，， ∴点M坐标为． ∴可知所在直线为：， 由平移可知，，， ∴点坐标为． 又由①知点P坐标为， ∴点H坐标为， ∴， 将代入直线得， ∴点N的坐标为； （3）由题意可知：点A坐标为，点B坐标为， ∴点C坐标为，点D坐标为， ∴所在直线， 设点，同理直线的解析式为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， 当时，，则， 则直线的解析式为： ， 故点的坐标为 ， 即， ①当为直角时，如下图， ∵为等腰直角三角形， ∴， 则点的坐标为 ， 将点的坐标代入直线的解析式并解得：， 故点； ②当为直角时，如下图，作于， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴∥轴，、和都是底边相等的等腰直角三角形， ∴， ∴， 则点的坐标为 ， 将点的坐标代入直线的解析式并解得：， 故点； ③当为直角时，如下图， 同理可得点的坐标为 ， 将点的坐标代入直线的解析式并解得：， 故点； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，待定系数法求函数解析式、涉及到线段和的最值、等腰直角三角形的性质等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 79．如图，直线经过、两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒， (1)求直线的表达式； (2)当______时，； (3)将直线沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； (4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)； (3)四边形BAEF的面积是30； (4)存在，点或或 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）当 ， ，已知时，则，求解即可得到答案； （3）找准，即可求解； （4）分类讨论，利用三角形全等求长度，即可得到P点坐标． 【详解】（1）设直线l的表达式为， 将、代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）由A、B的坐标可知OA=6、OB=8 则由勾股定理得AB=10 设运动时间为t秒 ， 当时，则 解得 ； （3）由平移可得：直线，∴设直线EF的关系式为， ∵直线沿x轴向右平移3个单位长度． ∴点，代入得，∴． 当时，，∴， ∴，，，， ∴． 答：四边形BAEF的面积是30． （4）存在，理由如下： 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M 可证 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M 可证 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M， 轴于点N 可证 综上，点或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、图形的平移、面积的计算等，渗透数学分类讨论的思想，难度偏大． 80．一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0． (1)求直线AB解析式； (2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标； (3)如图2，当BD＝DE时，F为直线BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标． 【答案】(1) (2)（，） (3)（，） 【分析】（1）根据非负数的性质可得：，，进而可得：（，），（，），再利用待定系数法即可求解． （2）如图，过点作轴于点，利用待定系数法可得直线解析式为，设（，），可得直线的解析式为，再令，得 ，（，），再根据，，可得点是的中点，且点与点的纵坐标相等，建立方程即可求解． （3）如图，过点作轴交于点，根据，可得，进而可得（，）利用待定系数法求得直线的解析式为，设（，），再根据为等腰直角三角形，分三种情况讨论即可：当，时，当，时，当，时． 【详解】（1） ， ， ， （，），（，） 直线的解析式为 则 解得： 直线的解析式为 （2）如图，过点作轴于点，设直线的解析式为 解得： 直线经过点（，） 直线的解析式为 设点（，），直线的解析式为 则 解得： 直线的解析式为 （，） ， 点是的中点，且点与点的纵坐标相等 解得：或（舍去） （，） （3）如图，过点作轴交于点，则点（，） 轴 在和中 （，），（，） 解得：或（舍去） （，） 直线的解析式为 由题意可知：为等腰直角三角形，点在直线上，设点（，） 当，时 轴 轴 点的纵坐标与点的纵坐标相同，且点在直线上 解得： （，） 点在直线：上 （，） 解得： （，） 当，时，如图 设（，），则（，），（，） ， ，无解 当，时．如图，作于点，则 （，） ，，的纵坐标均为 设（，），（，） （，） 解得： 为直线上一点，且位于点右侧 不符合题意，舍去 综上，点（，） 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，其中（3）需要分类讨论，避免漏解． 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 82．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 【答案】(1)点的坐标为，的值是2 (2)或 (3)或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得； （3）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ， 把代入得：， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 设直线解析式为 代入，可得，解得：， 直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， 设直线解析式为 代入，得：，解得： 直线解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或； （3）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ，解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图： ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 83．如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； (2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或； (3)存在，或4或3 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）把代入求得点A的坐标，把代入求得点的坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，由的面积为6，求的长度，从而得到点的坐标； （3）由条件分，，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把代入，解得， 点的坐标为， 把代入，解得， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴，垂足为E， 的面积为6， ，即， 解得， 点，, 点的坐标为或； （3）解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下， ①当时，如图，过点C作轴，垂足为M，交直线l于点N， 轴，直线轴， 直线， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ②当时，如图，过点C作轴，垂足为M，过点Q作轴，垂足为N， 同理可证， ，， ， ， 当时，如图，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为， 同理可证， ，， 设， ，， ， ， ，解得， ， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，或4或3． 84．如图，一次函数的图象与y轴、x轴分别交于A，B两点，已知． (1)线段长为______； (2)C是x轴上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求满足要求的直线解析式； (3)在（2）的条件下，以为边作（点D为第二象限内一点），当存在一边与y轴或直线平行时，求D点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)直线为或或． (3)或或或或 【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可； （2）是以为腰的等腰三角形，当时，如图，当时，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）由以为边作（点D为第二象限内一点），当存在一边与y轴或直线平行时，可得直线为或，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图， ∵是以为腰的等腰三角形， 当时， ∴或， ∴或， 设过，的直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设过，的直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 如图，当时， ∴， ∴， 设过，的直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 综上：直线为或或． （3）解：∵以为边作（点D为第二象限内一点），当存在一边与y轴或直线平行时， ∴当直线为时，如图，当时，轴时， 此时轴， ∴， 如图，当时，轴时， 设，而，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， 同理可得：直线为， 如图，当，时，则， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， 延长交轴于，设， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：为， ∴， 解得：， ∴； 直线为时，如图，当时，轴时， 同理可得：； 如图，当时，轴时， 设，而，， ∴， 解得：， ∴， 当时，中没有直角，不符合题意， 当直线为时，点不在第二象限，不符合题意， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 85．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，为x正半轴上的动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，请直接写出当最小时Q点坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，确定，，设直线的函数表达式，代入解析式解答即可． （2）根据，，，确定，计算，设，则，列出等式解答即可． （3）连接，根据，当三点共线时，取得最小值，过点作于点E，证明得到，求直线的解析式为，设，则，代入求得x值即可． 【详解】（1）解：∵一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B， 当时，；当时，； ∴，， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． （2）解：存在，或．理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵M是直线上一点， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或 当时，； 当时，； ∴存在点M，且点或． （3）解：连接， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， 过点作于点E， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴ ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 类型十、平面直角坐标系背景下的特殊三角形问题 86．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)不发生改变，等于4 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 87．在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）①证明：如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线； ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 88．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图，若，，求点的坐标； (2)如图，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作轴于点，根据题意，证明，求得，即可解答； （2）作轴于点，并延长交的延长线于点，证明≌，求得，即可解答； （3）连接，作于点，于点，证明，，根据折叠的性质得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，作轴于点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 则； （2）如图，作轴于点，并延长交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图，连接，作于点，于点， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 89．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为、、，且满足，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．             (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)如图2，连结，当为何值时，平分． (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出的值即可； （2）作，根据平分，得出 ，设，则， 根据，即：，即可解出； （3）当时，，，；当时，得，同理可得：，即可解出． 【详解】（1）解： ， ∴， ， ，， 故答案为：，； （2）如图所示，过点作于点， 平分， ， ∵，则， ， 即：， ∴， 解得：， 当秒时，平分， （3）如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与全等， ， ， ∴， 当点在线段的延长线上时， 当时， 同理可得：， 则， ∴． 综上所述，即存在这样的点，使，的值是或． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质、非负数的性质，坐标与图形，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想求解． 90．在直角坐标系中，A点的坐标为，B点在y轴负半轴上，且，E点与B点关于x轴对称，C点的坐标为，且满足．    (1)写出三点的坐标：A ，B ，C ； (2)如图1，x轴上一点M位于A点右侧，连接，延长至N，使M位于的垂直平分线上．若，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上A点右侧的一个动点，，先作直线，作，垂足为H，在射线HQ上取一点G，满足，连接．请问：在点P运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，直接写其变化范围． 【答案】(1) (2) (3)的大小不发生变化，理由见解析 【分析】（1）根据非负数是性质：几个非负数的和为零，这几个非负数为零，即可解决． （2）如图1中，连接，作于F，证明是等腰直角三角形，再证明得，设点，列出方程解决． （3）的大小不变，如图2中，连接，作于，过点作轴垂线，垂足为，先证明，再证明是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）， ， ， 解得， ， B点在y轴负半轴上，且， ． （2）如图1中，连接，作于，   ， ， , ， 垂直平分线段， ， ， ， M位于的垂直平分线上， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 设点, ， 解得， ． （3）的大小不发生改变，理由如下， 如图2，连接，作于，过点作轴垂线，垂足为，   ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在点P运动过程中，的大小不发生变化． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形，作出合适的辅助线是解决本题的关键． 91．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别在轴和轴上，且． (1)如图1，若点的坐标，点的坐标，求点A的坐标； (2)过点A作，交轴于点是边上一点，过作交射线于点． 如图2，若点与点重合． 求证：； 如图3，过点作线段且，取的中点交于点，设，求的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）过点作轴于，则，可证得，即可求得答案； （2）过点作交射线于，可证得，即可得证； 过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，可证得，可得，再依次证明，可得． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ， 如图1，过点作轴于，则， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过点作交射线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图3，过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，则，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 92．在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，进而得到，由角平分线的定义得到，再根据对称的性质得到，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （2）如图，延长交于点，利用等腰三角形三线合一证明，再证明，即可得出结论； （3）过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P，证明是等边三角形，，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A与点C关于y轴的对称， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图，延长交于点， ∵，平分， ∴,,, ∴, ∴, ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P， ∵是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分， ∵， ， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题考查坐标与与性，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 类型十一、有特殊三角形有关的作图问题 93．作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用割补法求一个图形的面积、作一个图形关于轴对称的图形、尺规作图． 过三角形的三个顶点、、构造正方形，利用正方形解决三角形的面积问题； 分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到，则与关于轴对称； 利用尺规作图做一个角的平分线作图即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点、、构造正方形， 正方形的边长为， ， 故答案为； 如下图所示， 分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、得到，则与关于轴对称； （2）解：如下图所示， 94．如图，是由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线与交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图1中，画出的中线和角平分线； (2)如图2，连接． ①是______三角形； ②在图2中的线段上画点P，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)①等腰直角；②画图见解析 【分析】（1）如图，取格点，，连接，交于，连接，则为的中线，连接，取格点，连接，交于，由全等三角形的性质可得，利用等腰三角形的性质可得为的角平分线； （2）①利用勾股定理分别求解，，，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点，，，连接，交于点，由可得，可得，结合三角形的内角和定理可得，结合，，可得，可得． 【详解】（1）解：如图，，即为所求；      （2）①连接，由勾股定理可得： ，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，； ②如图，点P即为所求；    【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键． 95．（1）“三等分角”的问题大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动，请用你所学的知识说明． （2）对于一些特殊的角，我们是可以用尺规进行三等分的，比如，的角，请你用直尺和圆规作出它们的三等分线．（保留画图痕迹） （3）已知，在中，射线和射线是的三等分线，在射线上截取，在射线上截取，试探究和的关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，连接和并延长交与点，如果的周长为，且，则________． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解； （2）对于的角，分别在上截取相等长度，分别作等边三角形，则为三等分线，对于的角，先作过点的垂线，再作的角平分线，即可求解． （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，得出都是等腰三角形，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）证明是直角三角形，根据的周长为，得出，，在中，，得出，则，进而求得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）如图所示，为它们的三等分线，                      （3）如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴； ∵射线和射线是的三等分线， ∴， ∴都是等腰三角形，则； 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （4）如图所示， ∵射线和射线是的三等分线， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵的周长为， ∴， 又， ∴，； 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即，则， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 即， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，基本作图，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第258页，共258页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$