2.2.1 椭圆的标准方程（十六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.2.1 椭圆的标准方程 题型1：椭圆定义及辨析 1．集合，，其中，，且a、c为常数： （1）若 ，则集合P表示椭圆； （2）若 ，则集合P表示线段； （3）若 ，则集合P为空集． 2．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ． 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 题型2：利用椭圆定义求方程 4．椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 5．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 题型3：根据椭圆方程求a、b、c 6．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 7．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 题型6：根据a、b、c求椭圆标准方程 8．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 9．与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 题型7：椭圆方程与椭圆位置的特征 10．方程表示椭圆的充要条件是 ． 11．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 题型8：求椭圆上的点的坐标 12．若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为 ． 13．已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为 . 题型9：椭圆上点到焦点的距离及定值 14．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 15．已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值是 . 题型10：椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值 16．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 17．已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为 . 题型11：椭圆中焦点三角形的周长问题 18．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 19．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 题型12：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值 20．已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 题型13：轨迹问题 22．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 23．已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 题型14：椭圆中焦点三角形的面积问题 24．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 25．已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ． 题型15：椭圆中焦点三角形的其他问题 26．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（    ） A．1 B． C． D．2 27．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 28．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 题型16：解答题 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 30．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 31．已知椭圆的左､右焦点分别为，且经过两点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 32．已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 33．已知F1，F2分别为椭圆 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点. (1)若∠F1PF2＝60°，且F1PF2的面积为，求b的值； (2)求|PF1||PF2|的最大值. 一、填空题 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则 . 2．在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过上的一点作的切线，点关于的对称点分别为，则四边形的面积为 . 4．已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 5．已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是 ． 二、单选题 6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别为双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 三、解答题 8．已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 9．已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)证明：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 椭圆的标准方程 题型1：椭圆定义及辨析 1．集合，，其中，，且a、c为常数： （1）若 ，则集合P表示椭圆； （2）若 ，则集合P表示线段； （3）若 ，则集合P为空集． 【答案】 ； ； . 【分析】无 【解析】无 2．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义结合题意求解即可. 【解析】因为，所以，则， 所以椭圆上一点到两个焦点的距离之和为． 故答案为：20 题型2：利用椭圆定义求方程 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义计算即可. 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得. 故答案为：8 4．椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答. 【解析】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长， 所以所求椭圆标准方程是. 故答案为： 5．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】根据椭圆的定义，可求得c,a,求得 ，可得答案. 【解析】由题意可设椭圆的标准方程为 或， 由题意可得 ， ， 故 ， 故椭圆的标准方程为：或， 故答案为：或 题型3：根据椭圆方程求a、b、c 6．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【解析】椭圆，则，所以， 根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为， 因为椭圆上点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为. 故答案为： 7．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 【答案】或9/9或 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解. 【解析】因为两椭圆方程分别为，， 由题意可得：或，解得或. 故答案为：或9 题型6：根据a、b、c求椭圆标准方程 8．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【解析】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 9．与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的一般方程得出其圆心坐标，再根据椭圆的定义计算即可. 【解析】由题意可知， 即其圆心为， 因为椭圆的焦距为， 所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或， 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为； 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为. 故答案为：或. 题型7：椭圆方程与椭圆位置的特征 10．方程表示椭圆的充要条件是 ． 【答案】答案不唯一 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【解析】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 11．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【解析】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 题型8：求椭圆上的点的坐标 12．若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解． 【解析】由已知，，右焦点为， 设，， 则，消去得， ，，（舍去）， 所以点横坐标为． 故答案为：． 13．已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与距离范围为，结合已知即可确定P的坐标. 【解析】由题设，，则，， 所以椭圆上点与距离范围为，又， 所以是椭圆的右顶点，即P的坐标为. 故答案为： 题型9：椭圆上点到焦点的距离及定值 14．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据条件得，再利用基本不等式求最值. 【解析】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 15．已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量加法的运算法则、椭圆的性质进行求解即可. 【解析】由， 设该椭圆的右焦点坐标为， 显然该点同时也是圆的圆心， 因为是圆的一条直径，所以， 因为为椭圆上任意一点， 所以， 因此的最大值是， 故答案为： 题型10：椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值 16．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 【答案】 【分析】点，易得点P到轴的距离为，然后分或，，三种情况结合椭圆的定义求解. 【解析】设点，则到轴的距离为， 因为，， ， 当或时， 则，得， ，即到轴的距离为． 当时， 则， ， ， ， 由（1）（2）知：到轴的距离为或， 又,所以P到x轴的距离为. 故答案为：． 17．已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为 . 【答案】// 【分析】根据椭圆的定义，结合三角形的几何性质，可得当共线时周长最大，由截距式求得直线方程，可得此时点的纵坐标，由三角形面积公式可得结果. 【解析】 由得右焦点，左焦点， 周长， 当共线时周长最大， 此时直线方程为与联立， 解得，可得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法， 题型11：椭圆中焦点三角形的周长问题 18．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求解即得. 【解析】设椭圆的左焦点为，则，而，则， 则的周长为， 而，则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以周长的最大值为． 故答案为：    19．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得. 【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 题型12：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值 20．已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知动点的运动轨迹为椭圆，将变形成结合三角形的性质求解即可. 【解析】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，， 所以， 又由三角形的性质可知，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以， 故答案为： 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【解析】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型13：轨迹问题 22．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质可得，即可得，再根据椭圆定义可得轨迹方程. 【解析】    如图所示， 由的方程得圆心，半径为， 因为，所以， 又，所以， 则，所以， 又， 所以， 又斜率不为，所以点不在轴上， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上， 则，，所以， 即点的轨迹方程为， 故答案为：，. 23．已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，，，，根据切线可得，结合交点运算求解即可. 【解析】设点，，，， 则直线CD的方程为， 因为直线CD与圆相切，则，可得； 又因为直线AC与BD的交点为M， 所以，解得，可得， 所以点M的轨迹方程为． 故答案为：. 题型14：椭圆中焦点三角形的面积问题 24．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【解析】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 25．已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】不妨设，且的内切圆半径为，由，取得，再结合椭圆的定义即可求解． 【解析】由椭圆，可得，则，所以, 如图所示，不妨设，且的内切圆半径为， 可得， 又由， 可得，即， 又由， 所以． 故答案为：    题型15：椭圆中焦点三角形的其他问题 26．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可. 【解析】由题设，，，故，， 在△中，则，又， 所以. 故选：C 27．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值. 【解析】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上， 所以， 而，，故. 故选：C 28．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【解析】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 题型16：解答题 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【解析】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 30．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【解析】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 31．已知椭圆的左､右焦点分别为，且经过两点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或或或 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）假设椭圆上存在点，根据垂直得到，得到，联立椭圆方程，求出交点坐标，得到答案. 【解析】（1）因为椭圆经过， 则，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知， 假设椭圆上存在点，使得， 则，即， 联立，解得． 当时，，当时，， 椭圆上存在点使得,点坐标为或或或． 32．已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点的坐标求椭圆方程即可. （2）利用直线和椭圆的位置关系求面积即可. 【解析】（1）依题意可得， 由，得， 所以的方程为. （2） 易知不与轴平行，设其方程为， 由得， 由，得. 设，则①， ，即， 所以， 将①代入，整理得，即，解得或（舍去）， 所以直线的方程为，即直线过定点. 令，则， ， 当，即时，最大，且最大值为. 33．已知F1，F2分别为椭圆 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点. (1)若∠F1PF2＝60°，且F1PF2的面积为，求b的值； (2)求|PF1||PF2|的最大值. 【答案】(1)8； (2)100. 【分析】（1）利用F1PF2的面积得到，再利用余弦定理求解； （2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解. 【解析】（1）解：由椭圆方程知，a=10， 则， 由F1PF2的面积为， 解得， 由余弦定理得， ， 即， 所以，即； （2）由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为100. 一、填空题 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据写出和的关系，令，求出，根据写出勾股定理，据此即可求解. 【解析】 设的半焦距为，由题可知，且，因为， 所以，令， 则， 所以， 则，得， 所以，因为， 所以， 解得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，求出. 2．在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元. 【答案】15 【分析】由题意求出点的轨迹方程，再根据椭圆的定义化简费用关系式，数形结合可知在处有最小值. 【解析】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直 角坐标系. 设Р为沿湖小径上的任意一点，则， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆. 所以， 则点P的轨迹方程为， 由题意，修建两条观景步道的总费用为， 由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立平面直角坐标系，利用椭圆定义得到动点的轨迹方程，再由数形结合，得出三点共线时，动点的位置，属于较难题目. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过上的一点作的切线，点关于的对称点分别为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】依题意，根据点在椭圆上，求得值，设出过点的切线方程，与椭圆方程联立，利用求得切线方程，再利用点到直线的距离公式，求出梯形的上下底边长以及高线的长，最后利用对称性即得四边形的面积. 【解析】    如图，因点在椭圆上，故有，解得，则得. 设椭圆上过点的切线方程为，即，代入整理得：， 由解得：，即切线方程为. 设直线与分别交于点,依题意，， 则, 利用图形对称性可知，四边形的面积为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与椭圆的切线有关的四边形面积问题，属于较难题. 解题的关键是通过设出切线斜率得出切线方程，代入椭圆方程消元后，利用根的判别式等于零求出切线方程，运算量较大，之后只需分别求出两底边和高的长即可求得面积. 4．已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意得出，得到点满足，根据椭圆的定义，求得点表示为焦点的椭圆，即可求解. 将求最大值的问题，转化为求点P到圆心距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求给定区间的最大值即可. 【解析】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆性质，有，，，则，利用构造函数的方法求取值范围. 【解析】由椭圆方程可知，，设， ， 由对称性可知，由，得，则有， ， 令，设， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， ，，， 则，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 二、单选题 6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【解析】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又因为N为圆E：上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，，则， 所以的最小值为. 故选：B．    【点睛】求最值时，可以利用定点，和E，当M、N、E、共线且M、N在E、之间时最短，等于. 7．已知分别为双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设，根据点满足，得到，再由，得到的纵坐标是，然后设，由利用等面积法得到，结合椭圆的定义，由余弦定理求得，进而得到c，再利用正弦定理求解. 【解析】设， 由题意得， 因为点满足， 所以点G是的重心，则， 又因为， 所以轴， 则的纵坐标是， 所以， 设，则， 所以， 即， 则， 由余弦定理得， 即， 解得或， 所以， 则， 解得， 故选：A 三、解答题 8．已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可得解； （2）设点，结合向量线性运算及模长公式化简可得证. 【解析】（1） 由已知，则，即， 又的周长为， 则，， 则， 即椭圆方程为：； （2）由（1）可知，， 设， 则，，， ， 又， 即， 即， 所以无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 9．已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，根据焦点三角形各边长，结合余弦定理可得，即可得椭圆方程； （2）设出直线与，分别与椭圆联立可得点与点的坐标，代入面积即可得证. 【解析】（1）由题意得， 设，的长分别为，， 则，当且仅当时取等号， 从而，得，， 则椭圆的标准方程为； （2）由（1）得，， 设，， 设直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 则， ， 同理可得， 所以. 所以为定值. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$