几何模型总结专题05：截长补短模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题5 “线段和差—截长补短”模型 模型: 线段和差—截长补短 【模型介绍】当遇到一个“线段和差问题时，解决问题的逻辑很容易想到“截长补短”方法，转移线段和差，这样就可以把问题转化线段相等或者成倍数问题了，再利用全等或者相似解决，这样的转化方法美其名曰“线段和差—截长补短模型”。 【模型分析】 1．（核心点）线段和差，主要是在等腰三角形等有相等的边载体呈现; 2.(辅助线)在jiaochang 线段截取，或者较短线段补齐等如下图； 3.模型识别：问题主要是线段和差等问题，； 命题：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C. 结论：AB＋BD＝AC. 逻辑分析：线段和差—截长补短. 方法1（截长法）证明：:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB. ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠B′AD， ∵AD=AD， ∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D， ∵∠B=2∠C， ∴∠AB′D=2∠C， ∴∠AB′D=2∠C， ∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D， ∴BD=B′C， ∵AB′＋B′C＝AC， ∴AB＋BD＝AC. 方法2（补短法） 证明：延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′. ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠C′AD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C， ∵∠B=2∠C， ∴∠B=2∠C′， ∴∠BDC′=∠C′， ∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′， ∴AB＋BD＝AC. 【模型分层应用—基础】 1．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　） A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c 【答案】A 【解】：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是： 如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠C＝80°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°， 在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE， 在△DEB和△DCB中， ∵ ∴△DEB≌△DCB（SAS）， ∴∠BED＝∠C＝80°， ∴∠4＝60°， ∴∠3＝60°， 在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE， 则△BDE≌△FDE（SAS）， ∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a， ∵∠A＝20°， ∴∠6＝20°， ∴AF＝EF＝a， ∵BD＝DF＝b， ∴AD＝AF+DF＝a+b． 故选：A． 2．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路： 如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系． （1）判定△ABD与△AED全等的依据是　SAS　； （2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　∠ACB＝2∠ABC　． 【答案】见下方 【解】：（1））∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，所以判定△ABD与△AED全等的依据是SAS． 故答案为：SAS． （2）∵△ABD≌△AED， ∴∠B＝∠E， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠E， ∴∠ACB＝2∠E， ∴∠ACB＝2∠ABC． 故答案为：SAS，∠ACB＝2∠ABC． 3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； （2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明． 【答案】见下方 （1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△EAD中 ∴△ABD≌△AED（SAS） ∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AB+BD； （2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE， 证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴2∠DAE＝180°﹣∠AED， ∵∠DAE+∠B＝90°， ∴2∠DAE+2∠B＝180°， ∴∠AED＝2∠B＝∠C， ∵∠BED＝∠CDE+∠DAE， ∴∠AEB＝∠CDE， 在△AEF和△EDC中 ∴△AEF≌△EDC（SAS）， ∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B， ∵∠AFE＝∠B+∠BAF， ∴∠ABF＝∠BAF， ∴BF＝AF， ∴BF＝CE， ∴BE＝DC+CE． 4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形进而解决问题． （1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD． （2）根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题． 如图4，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）证明见下方；（2）AB＝CD﹣AC，理由见下方． （1）证明：方法一：如图2： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠ABC＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二，如图3： ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABD是△BED的外角， ∴∠ABD＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AE＝AB+BE＝AB+BD； （2）解：AB＝CD﹣AC，理由如下： 如图4，在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE， ∵AD为△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED， 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FED＝2∠B， 又∵∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝CD﹣AC． 5．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． 请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是△　ADC　≌△　A′DC　； （2）BC和AC、AD之间的数量关系是　BC＝AC+AD　． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9．求AB的长． 【答案】见下方 【解答】：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）； （2）BC＝AC+AD；理由如下： 由（1）得：△ADC≌△A′DC， ∴DA′＝DA，∠CA′D＝∠A＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵∠CA′D＝∠B+∠BDA′，∠∠BDA′＝30°＝∠B， ∴DA′＝BA′， ∴BA′＝AD， ∴BC＝CA′+BA′＝AC+AD； 解决问题 如图，在AB上截取AE＝AD，连接CE，如图3所示： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAC． 在△AEC和△ADC中， ， ∴△ADC≌△AEC（SAS）， ∴AE＝AD＝9，CE＝CD＝10＝BC， 过点C作CF⊥AB于点F， ∴EF＝BF， 设EF＝BF＝x． 在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，由勾股定理得CF2＝CB2﹣BF2＝102﹣x2， 在Rt△CFA中，∠CFA＝90°，由勾股定理得CF2＝AC2﹣AF2＝172﹣（9+x）2． ∴102﹣x2＝172﹣（9+x）2， 解得：x＝6， ∴AB＝AE+EF+FB＝9+6+6＝21， ∴AB的长为21． 6．【方法探究】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，探究AC，AB，BD之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出AC，AB，BD之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，探究CD，AB，BD之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，△ABC为等边三角形，点D为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠ACE，求证：GF＝AE+AF． 【答案】（1）AC＝AB+BD，理由见下方；（2）CD＝AB+BD，证明见下方；（3）证明下方． 【解】（1）：AC＝AB+BD，理由如下： 方法一：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠ABC＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AB+BD； 方法二：延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，如图3， ∴∠E＝∠BDE，则∠ABD＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AE＝AB+BE， ∴AC＝AB+BD； （2）解：CD＝AB+DB，理由如下： 在CD上取DE＝DB，连接AE，如图4， ∵AD⊥BC于D， ∴AE＝AB， ∴∠AEB＝∠B， ∵∠AEC＝∠C+∠CAE，∠B＝2∠C， ∴∠CAE＝∠C， ∴EA＝EC， ∴CD＝CE+ED＝AE+DB＝AB+DB； （3）证明：∵△CDE，△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，CA＝CB，CE＝CD， ∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD （SAS）， ∴∠EAC＝∠DBC＝120°， ∴∠ACE+∠AEC＝60°， 过D作DH∥AE，交AG于点H，如图5， ∴∠EAF＝∠FHD， ∵F是ED的中点， ∴EF＝FD， 在△AEF和△HDF中， ， ∴△AEF≌△HDF（ASA）， ∴AF＝HF，AE＝DH，∠AEF＝∠HDF， 而∠GDF＝∠HDF+∠GDH＝120°， ∠AEF+∠ACE＝∠FEC+∠AEC+∠ACE＝60°+60°＝120°， ∴∠ACE＝∠GDH， 又∵∠G＝∠ACE， ∴∠G＝∠GDH， ∴GH＝HD＝AE， 即GF＝AE+AF． 7．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2AE．小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在BC上截取BF＝AE，连接AF，可证△ABF≌△BAE（如图2），从而使问题得到解决． （1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是　SAS　（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）； 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图3，△ABC是等边三角形，点P在BQ上，且∠APB＝120°，CP＝CQ，探究线段AP，BQ的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）SAS；（2）BQ＝2AP，理由请看下方． 【解答】：（1）在BC上截取BF＝AE，连接AF，如图2所示： ∵∠DAB＝∠ABD， ∴∠BAE＝∠ABF， 在△ABF和△BAE中， ， ∴△ABF≌△BAE（SAS）， 故答案为：SAS； （2）BQ＝2AP，理由如下： 在BP上截取点M，使BM＝AP，连接CM，在QB上取点N，使QN＝PM，连接CN，如图3所示： ∵∠APB＝120°， ∴∠APQ＝180°﹣120°＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴∠APQ＝∠ABC， 即∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBM， ∴∠BAP＝∠CBM， 在△ABP和△BCM中， ， ∴△ABP≌△BCM（SAS）， ∴BP＝CM，∠APB＝∠BMC＝120°， ∴∠CMN＝180°﹣120°＝60°， ∵CP＝CQ， ∴∠CPM＝∠Q， 在△PCM和△QCN中， ， ∴△PCM≌△QCN（SAS）， ∴CM＝CN， ∴△CMN是等边三角形 ∴CM＝MN， ∵BQ＝BP+PM+MN+QN， ∴BQ＝2BM＝2AP． 【模型分层应用—综合】 1．（1）[问题解决] “如图①，△ABC是等边三角形，平面内一点D，满足∠BDC＝60°．连接AD，求证：BD＝AD+CD．” 通过分析、思考，小颖同学形成了两种解题思路： 思路1：用截长法，在BD上截取BM＝CD，连接AM，易证△ABM≌△ACD，…… 思路2：用补短法，延长CD至点N，使得CN＝BD，连接AN，易证△ABD≌△ACN，…… 请在上述两种思路中选择一种，完成该问题的解答． （2）[类比探究] [探究1]如图②，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，平面内一点D，满足∠BDC＝90°．连接AD，探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论． [探究2]如图③，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，平面内一点D，满足∠BDC＝90°．连接AD，则线段AD，BD，CD之间的数量关系是 　BDCD+2AD　． （3）[应用拓展]如图④，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面内一点D，满足∠BDC＝90°，CD＝2，则AD＝　或　 ． 【答案】（1）证明见下方；（2）探究1：BD＝CDAD，理由见下方； 探究2：BDCD+2AD，理由见下方；（3）AD的长是或． （1）证明：思路1： 如图1，在BD上截取BM＝CD，连接AM， ∵△ABC是等边三角形，∠BDC＝60° ∴AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝60°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴180°﹣∠BAC﹣∠AOB＝180°﹣∠BDC﹣∠COD，即∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM≌△ACD（SAS）， ∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD， ∴∠BAM+∠MAO＝∠CAD+∠MAO＝60°，即∠MAD＝60°， ∴△AMD为等边三角形， ∴MD＝AD， ∴BD＝BM+MD＝CD+AD； 思路2： 如图2，延长CD至点N，使得CN＝BD，连接AN， ∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACN， ∴△ABD≌△ACN（SAS）， ∴AN＝AD，∠BAD＝∠CAN， ∴∠BAC＝∠DAN＝60°， ∴△ADN是等边三角形， ∴DN＝AD， ∵CN＝CD+DN＝CD+AD， ∴BD＝AD+CD； （2）解：探究1：BD＝CDAD； 理由是：如图3，在BD上截取BM＝CD，连接AM， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AOB＝∠COD， ∴∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM≌△ACD（SAS）， ∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD， ∴∠DAM＝∠BAC＝90°， ∴DMAD， ∵BD＝BM+DM， ∴BD＝CDAD； 探究2：BDCD+2AD； 理由是：如图4，过点A作AM⊥AD交BD于M， ∴∠DAM＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAM＝∠CAD， ∵∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM∽△ACD， ∴， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°， ∴tan30°， ∴， ∴BMCD，DM＝2AD， ∴BD＝BM+DMCD+2AD； 故答案为：BDCD+2AD； （3）解：分两种情况： ①如图5，当点D在BC的上方时，过点A作AM⊥AD交BD于M， ∴∠BAC＝∠DAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CAD， ∵∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM∽△ACD， ∴， ∵AB＝3，AC＝4，CD＝2， ∴BM， 设AM＝3x，AD＝4x，则DM＝5x， 由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2， ∴（5x）2+22＝32+42， 解得：x（负值舍去）， ∴AD＝4x； ②如图6，当点D在BC的下方时，过点A作AM⊥AD交DB的延长线于M， 同理得△ABM∽△ACD， ∴， ∵AB＝3，AC＝4，CD＝2， ∴BM， 设AM＝3x，AD＝4x，则DM＝5x， 由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2， ∴（5x）2+22＝32+42， 解得：x（负值舍去）， ∴AD＝4x； 综上，AD的长是或． 2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 【答案】（1）证明过程见下方；（2）AB+BC＝BD．理由见下方；（3）BC﹣BA＝2CE．理由见下方． 【解】：（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△MBD中， ， ∴△ABD≌△MBD（SAS）， ∴∠A＝∠BMD，AD＝MD， ∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝∠CMD， ∴DM＝DC， ∴DA＝DC； 方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN， ∵BD平分∠ABC， ∴∠NBD＝∠CBD， 在△NBD和△CBD中， ， ∴△NBD≌△CBD（SAS）， ∴∠BND＝∠C，ND＝CD， ∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°， ∴∠BND＝∠NAD， ∴DN＝DA， ∴DA＝DC； （2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD． 理由：延长CB到P，使BP＝BA，连接AP， 由（1）知AD＝CD， ∵∠DAC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AC＝AD，∠ADC＝60°， ∵∠BCD+∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°， ∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵BP＝BA， ∴△ABP为等边三角形， ∴∠PAB＝60°，AB＝AP， ∵∠DAC＝60°， ∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC， 即∠PAC＝∠BAD， 在△PAC和△BAD中， ， ∴△PAC≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD， ∵PC＝BP+BC＝AB+BC， ∴AB+BC＝BD； （3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE． 连接BD，过点D作DF⊥AB于点F， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°， ∴∠FAD＝∠C， 在△DFA和△DEC中， ， ∴△DFA≌△DEC（AAS）， ∴DF＝DE，AF＝CE， 在Rt△BDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL）， ∴BF＝BE， ∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE， ∴BC﹣BA＝2CE． 3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． 请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是△　ADC　≌△　A′DC　；BC和AC、AD之间的数量关系是　BC＝AC+AD　． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9．求AB的长． （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C是OA的中点，D为AB上一点，且∠DCA＝∠BCO，连接OD，CD，求． 【答案】见下方 【解】：（1）在图2中，∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠A′CD， ∵CA＝CA′，CD＝CD， ∴△ADC≌△A′DC（SAS），即小明得到的全等三角形是△ADC≌△A′DC， ∴AC＝A′C，AD＝A′D，∠A＝∠CA′D＝60°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∴∠A′DB＝∠B＝30°， ∴A′D＝A′B， ∴A′B＝AD， ∵BC＝A′C+A′B， ∴BC＝AC+AD， 故答案为：ADC，A′DC，BC＝AC+AD． （2）在AB上截取AE＝AD，连接CE，如图3所示： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAC． 在△AEC和△ADC中， ∵ ∴△ADC≌△AEC（SAS）， ∴AE＝AD＝9，CE＝CD＝10＝BC， 过点C作CF⊥AB于点F， ∴EF＝BF， 设EF＝BF＝x． 在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，由勾股定理得CF2＝CB2﹣BF2＝102﹣x2， 在Rt△CFA中，∠CFA＝90°，由勾股定理得CF2＝AC2﹣AF2＝172﹣（9+x）2． ∴102﹣x2＝172﹣（9+x）2．解得：x＝6， ∴AB＝AE+EF+FB＝9+6+6＝21，∴AB的长为21． （3）在BC上取D′，使得CD＝CD′， ∵C是OA中点， ∴CO＝CA， ∵∠ACD＝∠OCD′， ∴△ACD≌△OCD′（SAS）， ∴AD＝OD′，∠CAD＝∠COD′， ∵y＝﹣x+4与x轴的交点A（4，0），与y轴的交点B（0，4）， ∴OA＝OB＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠COD′， ∴∠BOD′＝∠OAD＝45°， 在△OBD′和△AOD中， ∵， ∴△OBD′≌△AOD（SAS）， ∴BD′＝OD， 则BC＝BD′+CD′＝OD+CD， ∴1． 4．学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取B点，使OB＝OA（截长法），连接PB，易得：△OPB≌△OPA．如图2，已知△ABC中，AD平分∠BAC，延长AB至点F（补短法），使得AF＝AC，连接DF，易得△AFD≌△ACD． 问题情境：今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边△ABC外一点，连接PA、PB、PC，且满足∠BPC＝60°，线段PA、PB、PC之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在PC上截取一点Q，使CQ＝PB，连接AQ． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠1+∠2， 又∵∠BPC＝60°，∴∠BPC＝∠BAC， 又∵∠3＝∠4，∴∠PBA＝∠ACQ ∴△ABP≌△ACQ（依据1：_____） ∴AP＝AQ，∠5＝∠2， ∴∠5+∠1＝∠2+∠1，即∠PAQ＝∠BAC＝60° 可知△APQ是等边三角形（依据2：_____），所以PQ＝PA，因此最终得出线段PA、PB、PC之间的等量关系是 _____． 反思交流： （1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：　SAS　． 依据2：　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形　． ②图3中线段PA、PB、PC之间的等量关系是 　PA+PB＝PC　． 探索发现： （2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边BC下方，如图5，△ABC是等边三角形，且点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，根据上述解题思路，继续探究三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并写出你的证明过程． 问题解决： （3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形ABCD内有一点 P ，且PA，PB，PC＝1，则∠BPC＝　135°　． 【答案】（1）①SAS、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；②PA+PB＝PC； （2）DA＝DB+DC，证明见下方；（3）135°． 【解】：（1）①依据1是：SAS、依据2是：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ②∵PQ+QC＝PC，PQ＝PA，CQ＝PB， ∴PA+PB＝PC； （2）∵∠BDC+∠ABD+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°，∠BAC＝60°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD，∠DAE＝60°，AD＝AE，CE＝DB， ∴∠ACE+∠ACD＝180° ∵D、C、E三点在一条直线上， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+BD． （3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BEA， ∴， ∴PE2＝BE2+BP2＝4，∠BEP＝∠BPE＝45°， ∵PA2＝5，EA2＝1， ∴PA2＝AE2+EP2， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB＝∠BPC＝90°+45°＝135°， 故答案为：135° 5．【问题初探】（1）如图1，OF是∠AOB的平分线，点D为OA上一点且CD＝CE，求证：∠ODC+∠OEC＝180°． 小明的想法是：过点C，分别作OA和OB的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在OB上截取OG＝OD，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，∠MDN＝60°．探究BM、MN、CN之间的数量关系，并证明； 【学以数用】（3）如图3，在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于点D，求证：AD+BD＝BC． 【答案】（1）证明见下方；（2）CN＝MN+BM，证明见下方；（3）证明见下方． 【解】（1）证明：选择小明的方法： 如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N， 则∠CMD＝∠CNE＝90°， ∵OF是∠AOB的平分线， ∴CM＝CN， 在Rt△CDM和Rt△CEN中， ， ∴Rt△CDM≌Rt△CEN（HL）， ∴∠CDM＝∠CEN， ∵∠ODC+∠CDM＝180°， ∴∠ODC+∠CEN＝180°， 即∠ODC+∠OEC＝180°； 选择小强的方法： 如图，在OB上截取OG＝OD，连接CG， ∵OF是∠AOB的平分线， ∴∠COG＝∠COD， 在△OCD和△OCG中， ∴△COD≌△COG（SAS）， ∴∠ODC＝∠OGC，CD＝CG， ∵CD＝CE， ∴CG＝CE， ∴∠OEC＝∠CGE， ∵∠OGC+∠CGE＝180°， ∴∠ODC+∠OEC＝180°； （2）解：CN＝MN+BM，证明如下： 如图，在CN上截取点E，使CE＝BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠BCD＝ 30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠BCD＝∠ECD＝90°， ∴∠MBD＝∠ABD＝∠ECD＝90°， 在△MBD和△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC， 又∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠EDN＝∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）＝∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB） ＝∠BDC﹣∠MDN＝120°﹣60°＝60°， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MND与△END中， ， ∴△MND≌△END（SAS）， ∴MN＝NE， ∴CN＝NE+CE＝MN+BM． （3）证明：如图，在BC边上截取BE＝BD，连接DE，在BD的上方作∠BDF＝∠BDE，交BA的延长线于点F， ∵∠BAC＝100°，AB＝AC， ∴， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBA＝∠DBC＝20°， ∵BD＝BE， ∴， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝80°﹣40°＝40°， ∴∠CDE＝∠C， ∴CE＝DE， ∵∠BDF＝∠BDE＝80°， ∴∠F＝180°﹣∠DBA﹣∠BDF＝180°﹣20°﹣80°＝80°， ∵∠DAF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠F＝∠DAF， ∴AD＝DF， 在△BDF和△BDE中， ， ∴△BDF≌△BDE（ASA）， ∴DF＝DE，∴AD＝CE，∵BE+CE＝BC，∴AD+BD＝BC． 6．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）观察猜想：AE与EF的数量关系为 　AE＝EF　． 小明同学比较爱动脑筋，认真思考后发现用逻辑推理的方法证明时，可以添加辅助线，在AB上截取BH＝BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． （2）类比探究：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么第（1）问结论仍然成立吗？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，第（1）问的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）AE＝EF；（2）AE＝EF仍成立，理由见下方；（3）AE＝EF仍成立，理由见下方． 【解】：（1）证明：在AB上截取BH＝BE，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°， ∵∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； 故答案为：AE＝EF； （2）AE＝EF仍成立， 理由如下： 如图，在AB上截取BH＝BE，连接HE． ∵AB＝BC， ∴AH＝EC， ∵∠B＝90°， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝135°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝90°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AHE＝∠ECF， ∵∠AEF＝90°，∠B＝90°， ∴∠AEB+∠3＝90°，∠AEB+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （3）第（1）问的结论成立． 延长BA到H，使BH＝BE， 理由如下： ∵AB＝BC， ∴AH＝EC， ∵∠B＝90°， ∴∠H＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝90°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠1＝45°， ∴∠H＝∠1， ∵∠AEF＝90°，∠B＝90°， ∴∠AEB+∠3＝90°，∠AEB+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， ∵∠HAE+∠2＝180°，∠CEF+∠3＝180°， ∴∠HAE＝∠CEF， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 7．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC． （1）若点P是上一点，①∠BPC度数为 　45°　；②求证：PA+PCPB； 小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）． 证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE． （2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 【答案】（1）①45°；②证明见下方；（2）当点P在上时，PC﹣PAPB；当点P在上时，PA﹣PCPB；当点P在上时，PA+PCPB，理由见下方． 【解】（1）①：∠BPC＝45°，理由： ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴的度数为90°， ∴∠BPC90°＝45°， 故答案为：45°； ②证明：在PC的延长线上截取点E，使CE＝PA．连接BE，如图， ∵四边形ABCD是⊙O内接正方形， ∴AB＝BC， 又∵点P在上， ∴四边形ABCP为⊙O内接四边形 ∴∠PAB＝∠BCE． 在△PAB和△ECB中， ， ∴△PAB≌△ECB（SAS）， ∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE， ∵∠ABP+∠PBC＝90°， ∴∠PBC+∠CBE＝90° ∴∠PBE＝90°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴PEPB， ∴PA+PC＝CE+PC＝PEPB； （2）当点P在上时，PC﹣PAPB； 在PC上取点E，使CE＝PA，连接BE，如图， ∵四边形ABCD是⊙O内接正方形， ∴AB＝BC， 在△PAB和△ECB中， ， ∴△PAB≌△ECB（SAS）， ∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE， ∵∠ABE+∠EBC＝90°， ∴∠PBA+∠ABE＝90°， ∴∠PBE＝90°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴PEPB， ∴PC﹣PA＝PC﹣EC＝PEPB； 当点P在上时，PA﹣PCPB， 在PA上取点E，使AE＝PC，连接BE，如图， ∵四边形ABCD是⊙O内接正方形， ∴AB＝BC， 在△ABE和△BCP中， ， ∴△ABE≌△BCP（SAS）， ∴BE＝BP，∠ABE＝∠CBP， ∵∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠CBE+∠CBP＝90°， ∴∠EBP＝90°， ∴△EBP为等腰直角三角形， ∴PEPB， ∴PA﹣PC＝PA﹣AE＝PEPB； 当点P在上时，PA+PCPB，理由： 在PA的延长线上截取点E，使AE＝PC，连接BE，如图， ∵四边形ABCD是⊙O内接正方形， ∴AB＝BC， 又∵点P在上， ∴四边形ABCP为⊙O内接四边形 ∴∠EAB＝∠BCP． 在△EAB和△PCB中， ， ∴△EAB△PCB（SAS）， ∴BE＝BP，∠ABE＝∠PBC． ∵∠ABP+∠PBC＝90°， ∴∠ABP+∠ABE＝90°， ∴∠EBP＝90°． ∴△EBP为等腰直角三角形， ∴PEPB， ∴PA+PC＝PA+AE＝PEPB． 8．如图1所示，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC，求证：PB+PC＝PA． [初步探索]．小明同学思考如下：将△APC绕点A顺时针旋转60°到△AQB，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则PB+PC的最大值为　10　． [类比迁移]．如图2所示，等腰Rt△ABC内接于圆O，∠BAC＝90°，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接PA、PB、PC，若圆的半径为5，求△PBC周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰Rt△ABC，点A、B在圆O上，∠BAC＝90°，圆O的半径为5，连接OC，求OC的最小值． 【答案】[初步探索]证明见解析，10；[类比迁移]；[拓展延伸]． 【解】：[初步探索]由旋转得AQ＝AP，QB＝PC，∠Q＝∠APC，∠ABQ＝∠ACP， ∵∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠ABQ+∠ABP＝180°， ∴P、B、Q三点在同一条直线上， ∴PB+PC＝PB+QB＝PQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠APC＝∠ABC＝60°， ∴∠Q＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴PQ＝PA， ∴PB+PC＝PA； ∵PA是⊙O的弦，且⊙O的半径为5， ∴当PA经过圆心O，即PA是⊙O的直径时，PA＝10，此时PA的值最大， ∴PB+PC的最大值是10， 故答案为：10； [类比迁移]如图2，等腰Rt△ABC内接于圆O，∠BAC＝90°，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合）， ∴AB＝AC， ∴BC是⊙O的直径，且圆心O在BC上， ∵圆的半径为5， ∴OB＝OC＝5，BC＝10， 将△APC绕点A顺时针旋转90°到△AQB，使点C与点B重合，则QA＝PA，QB＝PC，∠ABQ＝∠ACP， ∵∠ACP+∠ABP＝180°， ∴∠ABQ+∠ABP＝180°， ∴P、B、Q三点在同一条直线上， ∵∠PAQ＝90°， ∴， ∵当PA经过圆心O，即PA是⊙O的直径时，PA＝10，此时PA的值最大， ∴， ∴PB+PC的最大值是， ∴， ∴△PBC周长的最大值是． [拓展延伸]如图3，等腰Rt△ABC，点A、B在圆O上，∠BAC＝90°，圆O的半径为5，连接OA，将线段AO绕点A逆时针旋转90°到AE，连接OE， ∴EA＝OA＝5，∠OAE＝90°， 在直角三角形OAE中，由勾股定理得：， 连接EC、OB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠EAC＝∠OAB＝90°﹣∠OAC， ∵AC＝AB， ∴△EAC≌△OAB（SAS）， ∴EC＝OB＝5， ∵OC+EC≥OE， ∴， ∴， ∴OC的最小值为． 9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，则∠ABD+∠ACD＝180°，因为∠ACD+∠ACE＝180°可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 　DA＝DB+DC　； 【拓展延伸】 （2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图③，两块斜边长都为2cm的一副三角板，把斜边重叠摆放在一起，则PQ的长为 　　cm． 【答案】（1）DA＝DB+DC；（2）DA＝DB+DC，理由见解析下方；（3）． 【解】：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BAC+BDC＝180°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACD+∠ACE＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DB+DC； 故答案为：DA＝DB+DC； （2）DA＝DB+DC， 理由如下：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，CE＝BD， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴DA2+AE2＝DE2， ∴2DA2＝（DB+DC）2， ∴DA＝DB+DC； （3）如图3，连接PQ， ∵MN＝2cm，∠QMN＝30°， ∴QNMN＝1cm， ∴MQ（cm）， 由（2）可得：PQ＝QM+QN， 解得：PQcm， 故答案为：． 10．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【答案】（1）见下方；（2）AB的长为14． （1）证明：在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， 由题意可得： ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝30°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠FAC＝30°， ∵AC＝AC， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴CE＝CE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∴BF＝2BE＝4， ∴AB＝AF+BF＝10+4＝14， ∴AB的长为14． 11．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA； 【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA＝DC+DB，证明见下方；（2）见下方；（3）∠EAF，证明见下方． 【解】（1）：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， 又∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°， ∴∠DAC+∠CAE＝60°， 即∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB， 即DA＝DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM＝CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°， ∴∠AMD＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠MDC， ∴∠ADM＝∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝60°， ∴∠DCE＝120°＝∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ， ∴△ADM≌△EDC（ASA）， ∴AM＝EC， ∴CA＝CM+AM＝CD+CE； 即CD+CE＝CA． （3）解：∠EAF； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 又∵AB＝AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF． 12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，∠DAE＝60°，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可知∠ABD+∠ACD＝180°，则∠ACE+∠ACD＝180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是 　DA＝DB+DC　； （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）DA＝DB+DC；（2）DA＝DB+DC，证明见下方． 【解】：（1）结论DA＝DB+DC，理由如下： 如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， 又∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD+∠DAC＝60°， ∴∠DAC+∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB， ∴DA＝DB+DC； 故答案为：DA＝DB+DC； （2）结论：DA＝DB+DC，理由如下： 将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE， ∴AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠ACD＝180°， ∴点D、C、E在同一条直线上， ∵∠DAE＝90°，DA＝EA， ∴△DAE是等腰直角三角形， ∴DA2+AE2＝DE2， ∴2DA2＝（DB+DC）2， ∴DA＝DB+DC． 13．阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，AB＝ AC．请说明线段AD，BD，CD之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：AD+CD＝BD．理由如下： ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°． 如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M， …． 任务： （1）补全解答过程； （2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系式是 　2ADCD＝BD　． 【答案】（1）AD+CD＝BD；（2）2ADCD＝BD． 【解】：（1） AD+CD＝BD， 理由是：作MA⊥AD，AM交BD于M， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠MAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC， ∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角， ∴∠ABM＝∠ACD， 在△ABM和△ACD中 ， ∴△ABM≌△ACD（ASA）， ∴AM＝AD，BM＝CD， ∴△MAD是等腰直角三角形， ∴MDAD， ∴BD＝BM+DM＝CDAD， 即AD+CD＝BD； （2） 理由是： 作MA⊥AD，AM交BD于M， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∴BC＝2AC，ABAC， ∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，∴∠ABM＝∠ACD， ∵∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD， ∴，即AMAD，BMCD， 在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM2AD， ∴BD＝BM+DMCD+2AD，即2ADCD＝BD， 故答案为：2ADCD＝BD． 14．截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段AB垂直平分线l上的一个动点，以BO为边作等边△BOC，点C在直线AB的上方且在直线l的右侧，连接AC交直线l于点D，连接BD． （1）如图1，点O在线段AB上，请直接用等式表示线段OD，BD，CD之间的数量关系：　BD＝OD+CD　； （2）若点O在线段AB的上方，连接AO，且满足∠ABO≠30°．如图2，当∠ABO＜30°时，请探究线段OD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BD＝OD+CD；（2）BD＝OD+CD，理由见下方． 【解】：（1）∵点O是线段AB垂直平分线l上的一个动点， ∴OA＝OB， ∵以BO为边作等边△BOC， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝BC， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 当点O在AB上时，， ∴∠A＝30°， ∵DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝30°， ∴，∠CBD＝∠OBC﹣∠DBA＝30°， ∴∠CBD＝∠OBD， ∴BD垂直平分OC， ∴OD＝CD， ∴BD＝OD+CD； 故答案为：BD＝OD+CD （2）BD＝OD+CD，理由如下： 如图，在AD上截取AH＝CD，连接OH， ∵点O是线段AB垂直平分线l上的一个动点， ∴AO＝BO，AD＝BD， 又∵OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD（SSS）， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵△OBC是等边三角形， ∴BO＝CO，∠COB＝60°， ∴AO＝BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵HA＝CD， ∴△AOH≌△COD（SAS）， ∴OH＝OD，∠AOH＝∠COD， ∴∠DOH＝∠BOC＝60°， ∴△DOH是等边三角形， ∴DO＝DH＝OH， ∴BD＝AD＝AH+DH＝CD+OD． 15．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，试说明CE+CF＝CD；（提示：在线段CD上截取CG＝CE，连接EG．） （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明过程见下方；（2）CF＝CD+CE，理由见下方． （1）证明：在CD上截取CG＝CE，连接EG，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是CF＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴GE＝CF， ∵GE＝CG+CE， ∴CF＝CD+CE． 16．学习“全等三角形”这一章后，小明在课后刷题时遇到下面的一条题目，思考一段时间后感到无法下笔，就去请教老师，老师看后提醒小明：证明一条线段等于另外两条线段之和，我们的思路一般是“截长或补短”．请你按照老师的提醒，帮助小明解决一下这个问题： 如图，在等边三角形ABC中，点M是边AC上一定点，点N是直线BC上一动点，以MN为一边作等边三角形MNP，连接CP． 【问题解决】如图1，若点N在边BC上，求证：CM+CP＝CN； 【类比探究】如图2，若点N在边BC的延长线上，请探究线段CM，CN与CP之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】【解决问题】证明见下方；【类比探究】CM+CN＝CP，理由见下方． 【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CM，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠MCH＝60°， ∴△CMH是等边三角形， ∴MH＝HC＝CH，∠CMH＝60°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MN＝PM，∠NMP＝60°， ∴∠NMH+∠HMP＝∠PMC+∠HMP＝60°， ∴∠NMH＝∠PMC， 在△MNH和△MPC中， MN＝MP，∠NMH＝∠PMC，MH＝MC， ∴△MNH≌△MPC（SAS）， ∴NH＝CP， ∴CN＝CH+NH＝CM+CP． ∴CM+CP＝CN； 【类比探究】解：线段CM，CP与CN之间的等量关系是PC＝CM+CN； 理由如下： ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°， 过N作NG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GN∥AB， ∴∠GNC＝∠B＝60°，∠NGC＝∠A＝60°， ∴△GCN为等边三角形， ∴NG＝CN＝CG， ∵△MNP为等边三角形， ∴MN＝PN，∠MNP＝∠GNC＝60°， ∴∠MNG＝∠PNC， 在△MGN和△PCN中， MN＝PN，∠MNG＝∠PNC，NG＝CN， ∴△MGN≌△PCN（SAS）， ∴MG＝PC， ∴PC＝MG＝CG+CM＝CN+CM． ∴CM+CN＝CP． 17．折弦现象探索：（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，⊙O中，点G是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，小红在电脑．上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是 　AE＝DE+BD　．（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得FE＝DE，连接CF、CD，小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明． （3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，若BD1，∠CBD＝45°，求⊙O的半径． 【答案】（1）AE＝DE+BD；（2）见下方；（3）． 【解】（1）：由表格可得：当AE＝3.60，DE＝1.37，BD＝2.23时，有3.60＝1.37+2.23，即AE＝DE+BD； 当AE＝3.58，DE＝1.51，BD＝2.078时，有3.58＝1.51+2.07，即AE＝DE+BD； 当AE＝3.56，DE＝1.63，BD＝1.93时，有3.56＝1.63+1.93．即AE＝DE+BD； 当AE＝3.51，DE＝1.91，BD＝1.60时，有3.56＝1.91+1.60，即AE＝DE+BD； 因此，线段ED，DB，AE的关系为AE＝DE+BD， 故答案为：AE＝DE+BD； （2）证明：如图，在线段AE上取一点F，使得EF＝DE，连接CD，BC，CF，AC， ∵CE⊥AD，EF＝DE， ∴CF＝CD， ∴∠CFE＝∠CDE， ∴∠ACF＝∠CFE﹣∠CAE＝∠CDE﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CAE， ∵⊙O中，点C是劣弧AB的中点， ∴， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠CAF＝∠CAB﹣∠BAE， ∵∠BCD＝∠BAD＝∠CBA﹣∠CAE， ∴∠BCD＝∠ACF， ∴△BCD≌△ACF（SAS）， ∴AF＝BD， ∴AE＝AF+EF＝DE+BD； （3）解：如图，作直径AF，连接CF， ∵等边三角形ABC内接于⊙O， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠F＝60°，． ∵CE⊥AD， ∴CE＝DE•tan∠ADC＝DE•tan∠60°DE， ∵CE⊥AD，∠CAE＝∠CBD＝45°， ∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝45°＝∠CAE， ∴AE＝CE， ∵CE⊥AD，，BD1， ∴AE＝CE＝DE+BD＝DE1DE， ∴DE＝1，AE， ∴AC， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ACF＝90°， ∴AF， ∴⊙O的半径为：AF． 18．[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． [应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）证明见下方；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN． （1）证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中， ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， 由（1）知：△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中， ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 “线段和差—截长补短”模型 模型: 线段和差—截长补短 【模型介绍】当遇到一个“线段和差问题时，解决问题的逻辑很容易想到“截长补短”方法，转移线段和差，这样就可以把问题转化线段相等或者成倍数问题了，再利用全等或者相似解决，这样的转化方法美其名曰“线段和差—截长补短模型”。 【模型分析】 1．（核心点）线段和差，主要是在等腰三角形等有相等的边载体呈现; 2.(辅助线)在jiaochang 线段截取，或者较短线段补齐等如下图； 3.模型识别：问题主要是线段和差等问题，； 命题：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C. 结论：AB＋BD＝AC. 逻辑分析：线段和差—截长补短. 方法1（截长法）证明：:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB. ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠B′AD， ∵AD=AD， ∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D， ∵∠B=2∠C， ∴∠AB′D=2∠C， ∴∠AB′D=2∠C， ∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D， ∴BD=B′C， ∵AB′＋B′C＝AC， ∴AB＋BD＝AC. 方法2（补短法） 证明：延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′. ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠C′AD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C， ∵∠B=2∠C， ∴∠B=2∠C′， ∴∠BDC′=∠C′， ∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′， ∴AB＋BD＝AC. 【模型分层应用—基础】 1．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　） A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c 2．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路： 如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系． （1）判定△ABD与△AED全等的依据是　　； （2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　　． 3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； （2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明． 4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形进而解决问题． （1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD． （2）根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题． 如图4，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明． 5．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． 请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　； （2）BC和AC、AD之间的数量关系是　 　． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9．求AB的长． 6．【方法探究】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，探究AC，AB，BD之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出AC，AB，BD之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，探究CD，AB，BD之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，△ABC为等边三角形，点D为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠ACE，求证：GF＝AE+AF． 7．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2AE．小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在BC上截取BF＝AE，连接AF，可证△ABF≌△BAE（如图2），从而使问题得到解决． （1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是　SAS　（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）； 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图3，△ABC是等边三角形，点P在BQ上，且∠APB＝120°，CP＝CQ，探究线段AP，BQ的数量关系，并证明你的结论． 【模型分层应用—综合】 1．（1）[问题解决]“如图①，△ABC是等边三角形，平面内一点D，满足∠BDC＝60°．连接AD，求证：BD＝AD+CD．” 通过分析、思考，小颖同学形成了两种解题思路： 思路1：用截长法，在BD上截取BM＝CD，连接AM，易证△ABM≌△ACD，…… 思路2：用补短法，延长CD至点N，使得CN＝BD，连接AN，易证△ABD≌△ACN，…… 请在上述两种思路中选择一种，完成该问题的解答． （2）[类比探究] [探究1]如图②，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，平面内一点D，满足∠BDC＝90°．连接AD，探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论． [探究2]如图③，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，平面内一点D，满足∠BDC＝90°．连接AD，则线段AD，BD，CD之间的数量关系是 　 　． （3）[应用拓展]如图④，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面内一点D，满足∠BDC＝90°，CD＝2，则AD＝　　 ． 2．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． 请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　；BC和AC、AD之间的数量关系是　 　． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9．求AB的长． （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C是OA的中点，D为AB上一点，且∠DCA＝∠BCO，连接OD，CD，求． 4．学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取B点，使OB＝OA（截长法），连接PB，易得：△OPB≌△OPA．如图2，已知△ABC中，AD平分∠BAC，延长AB至点F（补短法），使得AF＝AC，连接DF，易得△AFD≌△ACD． 问题情境：今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边△ABC外一点，连接PA、PB、PC，且满足∠BPC＝60°，线段PA、PB、PC之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在PC上截取一点Q，使CQ＝PB，连接AQ． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠1+∠2， 又∵∠BPC＝60°，∴∠BPC＝∠BAC， 又∵∠3＝∠4，∴∠PBA＝∠ACQ ∴△ABP≌△ACQ（依据1：_____） ∴AP＝AQ，∠5＝∠2， ∴∠5+∠1＝∠2+∠1，即∠PAQ＝∠BAC＝60° 可知△APQ是等边三角形（依据2：_____），所以PQ＝PA，因此最终得出线段PA、PB、PC之间的等量关系是 _____． 反思交流： （1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：　 　． 依据2：　 　． ②图3中线段PA、PB、PC之间的等量关系是 　 　． 探索发现： （2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边BC下方，如图5，△ABC是等边三角形，且点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，根据上述解题思路，继续探究三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并写出你的证明过程． 问题解决： （3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形ABCD内有一点 P ，且PA，PB，PC＝1，则∠BPC＝　 　． 5．【问题初探】（1）如图1，OF是∠AOB的平分线，点D为OA上一点且CD＝CE，求证：∠ODC+∠OEC＝180°． 小明的想法是：过点C，分别作OA和OB的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在OB上截取OG＝OD，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，∠MDN＝60°．探究BM、MN、CN之间的数量关系，并证明； 【学以数用】（3）如图3，在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于点D，求证：AD+BD＝BC． 6．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）观察猜想：AE与EF的数量关系为 　 　． 小明同学比较爱动脑筋，认真思考后发现用逻辑推理的方法证明时，可以添加辅助线，在AB上截取BH＝BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． （2）类比探究：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么第（1）问结论仍然成立吗？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，第（1）问的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由． 7．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC． （1）若点P是上一点，①∠BPC度数为 　 °　；②求证：PA+PCPB； 小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）． 证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE． （2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 8．如图1所示，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC，求证：PB+PC＝PA． [初步探索]．小明同学思考如下：将△APC绕点A顺时针旋转60°到△AQB，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则PB+PC的最大值为　　． [类比迁移]．如图2所示，等腰Rt△ABC内接于圆O，∠BAC＝90°，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接PA、PB、PC，若圆的半径为5，求△PBC周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰Rt△ABC，点A、B在圆O上，∠BAC＝90°，圆O的半径为5，连接OC，求OC的最小值． 9．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，则∠ABD+∠ACD＝180°，因为∠ACD+∠ACE＝180°可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图③，两块斜边长都为2cm的一副三角板，把斜边重叠摆放在一起，则PQ的长为 　 　cm． 10．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 11．【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD+CE＝CA； 【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，∠DAE＝60°，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可知∠ABD+∠ACD＝180°，则∠ACE+∠ACD＝180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是 　 　； （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论． 13．阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，AB＝ AC．请说明线段AD，BD，CD之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：AD+CD＝BD．理由如下： ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°． 如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M， …． 任务： （1）补全解答过程； （2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系式是 　 　． 14．截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段AB垂直平分线l上的一个动点，以BO为边作等边△BOC，点C在直线AB的上方且在直线l的右侧，连接AC交直线l于点D，连接BD． （1）如图1，点O在线段AB上，请直接用等式表示线段OD，BD，CD之间的数量关系：　 　； （2）若点O在线段AB的上方，连接AO，且满足∠ABO≠30°．如图2，当∠ABO＜30°时，请探究线段OD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由． 15．阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，试说明CE+CF＝CD；（提示：在线段CD上截取CG＝CE，连接EG．） （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 16．学习“全等三角形”这一章后，小明在课后刷题时遇到下面的一条题目，思考一段时间后感到无法下笔，就去请教老师，老师看后提醒小明：证明一条线段等于另外两条线段之和，我们的思路一般是“截长或补短”．请你按照老师的提醒，帮助小明解决一下这个问题： 如图，在等边三角形ABC中，点M是边AC上一定点，点N是直线BC上一动点，以MN为一边作等边三角形MNP，连接CP． 【问题解决】如图1，若点N在边BC上，求证：CM+CP＝CN； 【类比探究】如图2，若点N在边BC的延长线上，请探究线段CM，CN与CP之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 17．折弦现象探索：（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次做了研究，如图甲，⊙O中，点G是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，小红在电脑．上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关系，这个关系是 　AE＝DE+BD　．（用ED、DB、AE的式子表示） ED DB AE 1.37 2.23 3.60 1.51 2.07 3.58 1.63 1.93 3.56 1.91 1.60 3.51 （2）探索结论：怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE上截取点F，使得FE＝DE，连接CF、CD，小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证明，请接着小红的想法完成证明． （3）结论应用：如图丙，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，若BD1，∠CBD＝45°，求⊙O的半径． 18．[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． [应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$