几何模型总结专题3：雨伞模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题3 雨伞模型 模型:雨伞模型 【模型介绍】当一个线段出现既是角平分线，又有垂直出现时，如下图就需要添加辅助线，补齐等腰三角形，形似雨伞，故美其名曰“雨伞模型”。 【模型分析】 1．（条件）AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP; 2.(辅助线)延长BO交AC于D； 3.（结论）①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD 4.（核心点）模型识别：角平分线＋垂直＝延长—等腰三角形—雨伞模型 【证明】延长BO交AC于D， 在△BAO和△DAO中 ∠BAO＝∠DAO AO＝AO ∠AOB＝∠AOD ∴△BAO≌△DAO，∴AB＝AD,OB＝OD； 【模型分层应用—基础】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　） A．19° B．33° C．34° D．43° 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，过B作BE⊥AD于点E，交AC延长线于点F，则下列结论中正确的个数是（　　） ①AD＝BF；②CF＝CD；③AC+CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE． A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，BE⊥AD，交AC延长线于E，且垂足为D，H是AB边的中点，连接CH与AD相交于点G，则下列结论：①AF＝BE；②AF＝2BD；③AG＝BD；④AC+CF＝AB；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，DM⊥AC交AC的延长线于点M，连接CD．则下列结论：①∠ADC＝45°；②；③BC+CE＝AB；④AC+AB＝2AM；⑤BD＝CD其中不正确的结论有（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝　　． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为边作正方形ADEF，过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G，连接FB交DE于点H，下列结论： ①∠BAF＝∠GAF；②四边形CBFG是矩形；③AB＝FH；④AF2＝FH•BC 其中正确的结论有　 　（把所有正确结论的序号都写在横线上） 【模型分层应用—综合】 1．已知，如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC＝90°，求证：CE＝2BD． 2．如图，∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DE相交于点E，过点E作直线AB，DC的垂线，垂足分别为B，C．（1）求得∠AED的度数为 　90°　；（2）求证：E为线段BC的中点；（3）若S△ADE＝8，S△DCE＝2，求△ABE的面积． 3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，AD平分∠CAB，交BC于点D，点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F，过点B作BH⊥AD于H． （1）补全图形；（2）直接写出AB、BD、AC之间的相等关系：　 　；（3）求证：2BH＝AD． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD与BC相交于点D，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．分别延长BE，AC相交于点F． （1）试说明△ACD≌△BCF；（2）判断BE与AD的数量关系并说明理由． 5．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，过点B作BE⊥AD于点D，交AC延长线于点E，过点C作CH⊥AB于点H，交AF于点G， （1）求证：①AF＝BE；②DG＝DE；③BC+CG＝AB． （2）若AC＝BC＝4，，求S△ACG． 7．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点． （1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD； （2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 8．问题初探：（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图①，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD，试说明FC，AB有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD，从而得出FC＝AB． 小明证明△ABD≌△FCD的依据可能是 　 　（填序号）． 1 SSS；②ASA；③HL；④SAS 引导发现：（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上． ①填空：∠ABE＝　 　°； ②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程． 拓展延伸 （3）△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，如图③，点D在线段BC上，BE⊥ED于点E，DE交AB于点F，且∠ABE＝∠EDB，请直接写出BE和FD的数量关系． 9．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可证得△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC． 【问题提出】 （1）如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地△ABC，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD；②再过点A作AD⊥CD交CD于点D．已知BC＝13米，AC＝10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积． 10．（1）如图1，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，求证：BECD； （2）如图2所示，已知：△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过边AC上一点E作EF∥CD交AB于点F，AG是△AEF的高，探究高AG与边EF的数量关系； （3）如图3，若∠ABC＝90°，BA＝BC，点E是射线BC上的一个动点，作AF⊥AE且AF＝AE，连接CF交直线AB于点G，若，则　　．（直接写出结果） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 雨伞模型 模型1:雨伞模型 【模型介绍】当一个线段出现既是角平分线，又有垂直出现时，如下图就需要添加辅助线，补齐等腰三角形，形似雨伞，故美其名曰“雨伞模型”。 【模型分析】 1．（条件）AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP; 2.(辅助线)延长BO交AC于D； 3.（结论）①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD 4.（核心点）模型识别：角平分线＋垂直＝延长—等腰三角形—雨伞模型 【证明】延长BO交AC于D， 在△BAO和△DAO中 ∠BAO＝∠DAO AO＝AO ∠AOB＝∠AOD ∴△BAO≌△DAO，∴AB＝AD,OB＝OD； 【模型分层应用—基础】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　） A．19° B．33° C．34° D．43° 【答案】B 【解】：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BEAC＝AE， ∴∠BAC＝∠ABE＝38°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF∠BAC＝19°， ∴∠BOF＝∠BAD+∠ABE＝19°+38°＝57°，∵BF⊥AD，∴∠BFO＝90°， ∴∠EBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣57°＝33°；故选：B． 2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，过B作BE⊥AD于点E，交AC延长线于点F，则下列结论中正确的个数是（　　） ①AD＝BF；②CF＝CD；③AC+CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解】：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°， ∴∠EAF＝∠FBC，∵BC＝AC，∠EAF＝∠FBC，∠BCF＝∠AEF， ∴Rt△ADC≌Rt△BFC（AAS），∴AD＝BF；故①正确； ②∵Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF＝CD，故②正确； ③∵Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF＝CD，AC+CD＝AC+CF＝AF，∵∠CBF＝∠EAF＝22.5°， ∴在Rt△AEF中，∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°，∵∠CAB＝45°， ∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴AF＝AB，即AC+CD＝AB，故③正确； 由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BF＝2BE，故⑤正确； 不能判断BE＝CF，故④不正确，故选：C． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，BE⊥AD，交AC延长线于E，且垂足为D，H是AB边的中点，连接CH与AD相交于点G，则下列结论：①AF＝BE；②AF＝2BD；③AG＝BD；④AC+CF＝AB；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解】：∵AD⊥BE，∴∠FDB＝∠FCA＝90°，∵∠BFD＝∠AFC，∴∠DBF＝∠FAC， ∵∠BCE＝∠ACF＝90°，BC＝AC，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴EC＝CF，AF＝BE，故①正确， ∵∠DAB＝∠DAE，AD＝AD，∠ADB＝∠ADE＝90°，∴△ADB≌△ADE（SAS）， ∴BD＝DE，AB＝AE，∴AF＝2BD，故②正确， 连接BG， ∵CB＝CA，BH＝AH，∴CH⊥AB，∴GA＝GB，∵BG＞BD，∴AG≠BD，故③错误， ∵BC+CF＝AC+EC＝AE＝AB，故④正确，故选：C． 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，DM⊥AC交AC的延长线于点M，连接CD．则下列结论：①∠ADC＝45°；②；③BC+CE＝AB；④AC+AB＝2AM；⑤BD＝CD其中不正确的结论有（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解】：作∠ACN＝∠BCD，EF⊥AB，DH⊥AB，垂足为F、H， 根据等腰直角三角形的性质有：∠ABC＝∠BAC＝45°，∵∠ACN＝∠BCD， ∴∠ACN+∠NCE＝∠BCD+∠NCE，即∠DCN＝∠ECA＝90°，∵AE平分∠BAC， ∴，∵∠ACE＝∠ADB＝90°，∠AEC＝∠BED， ∴∠CAN＝∠CBD，又∵∠ACN＝∠BCD，AC＝BC， ∴△ACN≌△BCD（ASA），∴CN＝CD，AN＝BD，又∵∠DCN＝∠ECA＝90°， ∴△DCN为等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°，①正确； ∵∠CND＝45°，∠CAE＝22.5°，∴∠ACN＝22.5°，∴AN＝CN，∴CN为Rt△ACE的中线， ∴，②正确； ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EC⊥AC，∴EC＝EF，AC＝AF，∵EF⊥AB，∠CBA＝45°， ∴△BEF为等腰直角三角形，∴BF＝EF，∴EC＝BF∴AB＝AF+FB＝AC+CE＝BC+CE，③正确； ∵∠CAE＝∠BAE，∠AMD＝∠AHD，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD（AAS）， ∴AM＝AH，DM＝DH，∵BD＝AN，AN＝CN＝CD，∴DB＝DC，∵∠M＝∠DHB＝90°， ∴在Rt△CMD和Rt△BHD中，∴△CMD≌△BHD（HL），∴CM＝BH，BD＝CD，⑤正确； ∴AC+AB＝AC+BH+AH＝AC+CM+AM＝2AM，④正确；即不正确的为0个，故选：D． 5．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，AD＝18，则AB＝　　． 【答案】6． 【解】：∵E是边BC的中点，∴BE＝CE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE， 如图，在AD边上截取AF＝AB，连接EF， 在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴BE＝FE， ∴BE＝FE＝CE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEF＝∠DEC，在△DEF和△DEC中，， ∴△DEF≌△DEC（SAS），∴DF＝DC，∵CD＝2AB，AD＝18， ∴AD＝DF+AF＝2AB+AB＝3AB＝18，∴AB＝6．故答案为：6． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为边作正方形ADEF，过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G，连接FB交DE于点H，下列结论： ①∠BAF＝∠GAF；②四边形CBFG是矩形；③AB＝FH；④AF2＝FH•BC 其中正确的结论有　①②④　（把所有正确结论的序号都写在横线上） 【答案】见下方 【解】：∵四边形AFED是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∴FG⊥CG， ∴∠G＝∠C＝90°， ∴∠CAD+∠GAF＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°， ∴∠CAD＝∠AFG， ∴△AFG≌△DAC， ∴FG＝AC＝BC，∠ADC＝∠FAG， ∴∠G+∠C＝180°， ∴FG∥BC， ∴四边形BCGF是平行四边形， ∵∠G＝90°， ∴四边形BCGF是矩形，故②正确， ∴CG∥BF， ∴∠GAF＝∠AFB， ∵∠DAH+∠BAF＝90°，∠DAB＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠GAF， ∴∠BAF＝∠AFB，故①正确， ∴BA＝BF，易知FH＜BF，故③错误， ∵∠GFB＝∠AFE＝90°， ∴∠GFA＝∠BFE，∵∠G＝∠E＝90°， ∴△GFA∽△EFH， ∴， ∵EF＝AF，GF＝AC， ∴AF2＝FH•AC． 故答案为①②④． 【模型分层应用—综合】 1．已知，如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC＝90°，求证：CE＝2BD． 【答案】见下方容 证明：如图， 延长BD交CA的延长线于F， ∵∠BAC＝90° ∴∠BAF＝∠BAC＝90°，∠ACE+∠AEC＝90°， ∵∠BDC＝90° ∴∠BDC＝∠FDC＝90° ∴∠ABF+∠BED＝90° ∵∠AEC＝∠BED ∴∠ACE＝∠ABF ∵AB＝AC ∴△ACE≌△ABF（ASA） ∴CE＝BF ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝∠BCD ∵CD＝CD ∴△CBD≌△CFD（ASA） ∴BD＝FDBF ∴BDCE ∴CE＝2BD． 2．如图，∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DE相交于点E，过点E作直线AB，DC的垂线，垂足分别为B，C．（1）求得∠AED的度数为 　90°　；（2）求证：E为线段BC的中点；（3）若S△ADE＝8，S△DCE＝2，求△ABE的面积． 【答案】（1）90°；（2）见下方；（3）6． 【解】（1）：∵∠BAD，∠ADC的平分线AE，DE相交于点E， ∴，， ∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴， ∴∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠EAD）＝90°； 故答案为：90°； （2）证明：如图所示，延长DE，AB交于点F， ∵AE平分BAD， ∴∠EAD＝∠EAF， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEF＝∠AED＝90°， 又∵AE＝AE， ∴△AED≌△AEF（ASA）， ∴DE＝FE， ∵BC⊥CD，BC⊥AB， ∴∠C＝∠CBF＝90°， 又∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DEC≌△FEB（AAS）， ∴EC＝BE， ∴E为线段BC的中点； （3）解：由（2）可得，△AED≌△AEF（ASA），△DEC≌△FEB（AAS）， ∴S△AEF＝S△ADE＝8，S△FEB＝S△DCE＝2， ∴△ABE的面积S△AEF﹣S△FEB＝8﹣2＝6． 3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，AD平分∠CAB，交BC于点D，点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F，过点B作BH⊥AD于H． （1）补全图形；（2）直接写出AB、BD、AC之间的相等关系：　AB+BD＝2AC　；（3）求证：2BH＝AD． 【答案】（1）见下方；（2）AB+BD＝2AC．证明见下方；（3）见下方． 【解答】（1）解：补全图形如图： （2）解：AB+BD＝2AC，理由如下： 如图，过点D作DK⊥AB于点K， ∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DK⊥AB， ∴CD＝DK，AC＝AK， ∵AC＝BC，∠ACB＝90， ∴∠DBK＝45°， ∴BK＝DK， ∴AB+BD＝（AC+CD）+BD＝AC+AC＝2AC， 即：AB+BD＝2AC． 故答案为：AB+BD＝2AC． （3）证明：如图，延长BH交AE于点M，连接ED， ∵点A与点E关于直线BC对称， ∴AD＝DE，∠CED＝∠CAD∠BAC＝22.5°， ∵∠FDB＝∠BAD+∠ABC＝22.5°+45°＝67.5°，∠DBF＝45°， ∴∠BDF＝∠DFB＝67.5°， ∴BD＝BF， ∵BH⊥DF， ∴∠CBM， ∴∠CBM＝∠CED＝22.5°， 在△ECD和△BCM中， ， ∴△ECD和△BCM（ASA）， ∴DE＝BM， 在△ABM中， ∵∠MAB＝45°，∠ABM＝67.5°， ∴∠AMB＝67.5°， ∴AM＝AB， ∵AD平分∠CAB， ∴BH（三线合一）， ∴BHAD，即2BH＝AD． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD与BC相交于点D，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．分别延长BE，AC相交于点F． （1）试说明△ACD≌△BCF；（2）判断BE与AD的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明过程见下方；（2）BEAD．理由见下方． （1）证明：∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AEB＝∠ACB， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAD＝∠CBF， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（ASA）． （2）解：BEAD． 理由：由（1）△ACD≌△BCF得：BF＝AD， ∵AD平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△BAE和△FAE中， ， ∴△BAE≌△FAE（ASA）， ∴BE＝EF， ∴BEBFAD． 5．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BEAD，理由见下方；（2）△BEG是等腰直角三角形，理由见下方． 【解】：（1）如图，BEAD，理由如下：延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HEBH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BEAD． （2）△BEG是等腰直角三角形， 理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，与BC相交于点F，过点B作BE⊥AD于点D，交AC延长线于点E，过点C作CH⊥AB于点H，交AF于点G， （1）求证：①AF＝BE；②DG＝DE；③BC+CG＝AB． （2）若AC＝BC＝4，，求S△ACG． 【答案】（1）①见下方；②见下方；③见下方；（2）8﹣4． （1）证明：①∵AD⊥BE， ∴∠FDB＝∠FCA＝90°， ∵∠BFD＝∠AFC， ∴∠DBF＝∠FAC， ∵∠BCE＝∠ACF＝90°，BC＝AC， ∴△BCE≌△ACF（ASA）， ∴AF＝BE； ②∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAE， 又AD＝AD，∠ADB＝∠ADE＝90°， ∴△ADB≌△ADE（ASA）， ∴BD＝DE， 连接BG， ∵CB＝CA，CH⊥AB， ∴BH＝AH， ∴GA＝GB， ∴∠GAB＝∠GBA∠CAB＝22.5°， ∴∠BGD＝∠GAB+∠GBA＝2∠GAB＝∠CAB＝45°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠DBG＝∠DGB＝45°， ∴BD＝DG， ∴DG＝DE； ③由①知，△BCE≌△ACF， ∴CE＝CF， ∵∠GAB∠CAB＝22.5°，∠GHA＝90°， ∴∠AGH＝90°﹣22.5°＝67.5°＝∠CGF， ∵∠BCG＝45°， ∴∠CFG＝180°﹣∠BCG﹣∠CGF＝67.5°， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CE＝CF＝CG， ∴BC+CG＝BC+EC＝AC+CE＝AE＝AB， （2）解：过点G作GM⊥AC于点M，如图， ∴GM＝GH， ∵AC＝BC＝4，AB＝4．CH⊥AB， ∴AH＝CH＝2， 而，， ∴， 又GH+CG＝2， ∴HG＝GM＝4﹣2， ∴S△ACGAC×GM4×（4﹣2）＝8﹣4． 7．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点． （1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD； （2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】见下方 （1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0， ∴a＝b＝4t， ∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t）， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵点M是AB的中点， ∴OM⊥AB， ∴∠MOA＝45°， ∵直线BD平分∠OBA， ∴∠ABD∠ABO＝22.5°， ∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠OND＝∠ODB， ∴ON＝OD（等角对等边）； （2）答：BD＝2AE． 理由如下：延长AE交BO于C， ∵BD平分∠OBA， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AE⊥BD于点E， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在△ABE≌△CBE中，， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE， ∴AC＝2AE， ∵AE⊥BD， ∴∠OAC+∠ADE＝90°， 又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等）， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAC与△OBD中，， ∴△OAC≌△OBD（ASA）， ∴BD＝AC， ∴BD＝2AE； （3）OG的长不变，且OG＝4t． 过F作FH⊥OP，垂足为H， ∴∠FPH+∠PFH＝90°， ∵∠BPF＝90°， ∴∠BPO+∠FPH＝90°， ∴∠FPH＝∠BPO， ∵△BPF是等腰直角三角形， ∴BP＝FP， 在△OBP与△HPF中，， ∴△OBP≌△HPF（AAS）， ∴FH＝OP，PH＝OB＝4t， ∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB， ∴AH＝OA+AP＝OP， ∴FH＝AH， ∴∠GAO＝∠FAH＝45°， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴OG＝OA＝4t． 8．问题初探：（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图①，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD，试说明FC，AB有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD，从而得出FC＝AB． 小明证明△ABD≌△FCD的依据可能是 　②　（填序号）． 1 SSS；②ASA；③HL；④SAS 引导发现：（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上． ①填空：∠ABE＝　22.5　°； ②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程． 拓展延伸 （3）△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，如图③，点D在线段BC上，BE⊥ED于点E，DE交AB于点F，且∠ABE＝∠EDB，请直接写出BE和FD的数量关系． 【答案】（1）ASA；（2）①22.5°；②CD＝2BE，理由见下方；（3）BEDF．理由见下方． （1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴AB＝CF， 故答案为：②； （2）①延长BE交CA延长线于F， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE＝22.5°， ∵∠DAC＝∠CEF＝∠BAF＝90°， ∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°， ∴∠ACD＝∠ABE， ∴∠ABE＝22.5°， 故答案为：22.5； ②CD＝2BE，理由如下： 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（ASA）， ∴FE＝BEBF， ∵∠DAC＝∠CEF＝∠BAF＝90°， ∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°， ∴∠ACD＝∠ABF， 在△ACD和△ABF中， ， ∴△ACD≌△ABF（ASA）， ∴CD＝BF， ∴CD＝2BE． （3）结论：BEDF．理由如下： 过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H， ∵DG∥AC， ∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°， ∵∠ABE＝∠EDG，∠ABE＝∠EDB ∴∠EDB＝∠EDG∠C， ∵BE⊥ED， ∴∠BED＝90°， ∴∠BED＝∠BHD， ∵∠EFB＝∠HFD， ∴∠EBF＝∠HDF， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠C＝∠ABC＝45°， ∵DG∥AC， ∴∠GDB＝∠C＝45°， ∴∠GDB＝∠ABC＝45°， ∴BH＝DH， 在△BGH和△DFH中， ， ∴△BGH≌△DFH（ASA）， ∴BG＝DF， 在△BDE和△GDE中， ， ∴△BDE≌△GE（ASA）， ∴BE＝EG， ∴BEBGDF． 9．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可证得△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC． 【问题提出】 （1）如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地△ABC，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD；②再过点A作AD⊥CD交CD于点D．已知BC＝13米，AC＝10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积． 【答案】（1）26°；（2）BECD，理由见下方；（3）． 【解】：（1）如图2，延长AE交BC于点F， 由已知可知，AC＝FC， ∴∠EFC＝∠EAC＝63°， ∵∠EFC＝∠B+∠DAE， ∴∠DAE＝∠EFC﹣∠B＝63°﹣37°＝26°； （2）BECD，证明如下： 如图3，延长BE、CA交于点F， 则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC， ∴∠ABF＝∠ACD， 又∵AB＝AC， ∴△ABF≌△ACD（ASA）， ∴BF＝CD， 由已知可知，BE＝FEBF， ∴BECD； （3）如图4，延长AD交BC于E， 由已知可知，AD＝ED，EC＝AC＝10， ∴S△ACD＝S△ECD， ∵S△ABC＝20， ∴S△ACES△ABC20， ∴S△ACDS△ACE， 答：△ACD的面积是． 10．（1）如图1，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，求证：BECD； （2）如图2所示，已知：△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过边AC上一点E作EF∥CD交AB于点F，AG是△AEF的高，探究高AG与边EF的数量关系； （3）如图3，若∠ABC＝90°，BA＝BC，点E是射线BC上的一个动点，作AF⊥AE且AF＝AE，连接CF交直线AB于点G，若，则　或　．（直接写出结果） 【答案】（1）见下方；（2）AGEF，理由见下方；（3）或． （1）证明：如图1，延长BE交CA的延长线于点F， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠FCE， ∵CE⊥BF， ∴∠BEC＝∠FEC， 在△BEC和△FEC中， ， ∴△BEC≌△FEC（ASA）， ∴BE＝FE， ∴BEBF， ∵∠CAD＝90°，∠CEF＝90°， ∴∠CDA+∠ACD＝90°，∠CFE+∠ACD＝90°， ∴∠CDA＝∠CFE， 即∠CDA＝∠BFA， 在△CAD和△BAF中， ， ∴△CAD≌△BAF（AAS）， ∴CD＝BF， ∴BECD； （2）解：AGEF，理由如下： ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD∠ACB， ∵EF∥CD， ∴∠AEG＝∠ACD∠ACB， 过点E作EK∥BC，交AG延长线于K、交AB于T，如图2所示： 则∠AET＝∠ACB＝∠BAC＝45°，∠ATE＝∠ABC＝90°， ∴AT＝ET，∠AEF＝∠KEF， ∵AG是△AEF的高， ∴EG⊥AK， ∴AG＝KGAK， ∵∠AGE＝∠ATE＝90°，∠AFG＝∠EFT， ∴∠KAT＝∠FET， 在△KAT和△FET中， ， ∴△KAT≌△FET（ASA）， ∴AK＝EF， ∵AGAK， ∴AGEF； （3）①当点E在线段BC上时，过点F作FH⊥AB于H，如图3所示： 则∠FHA＝∠FHG＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠FAH+∠BAE＝90°， ∵∠FAH+∠HFA＝90°， ∴∠HFA＝∠BAE， 在△HFA和△BAE中， ， ∴△HFA≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE，FH＝AB＝CB， 在△FHG和△CBG中， ， ∴△FHG≌△CBG（AAS）， ∴HG＝BG， ∵， ∴设BC＝5a， 则CE＝3a，BE＝2a， ∴AH＝2a，HG＝BG（5a﹣2a）a， ∴； ②当点E在线段BC延长线上时，过点F作FH⊥AB于H，如图4所示： 同理可证：△HFA≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE，FH＝AB＝CB， 同理可证：△FHG≌△CBG（AAS）， ∴HG＝BG， ∵， ∴设BC＝5a， 则CE＝3a，BE＝8a， ∴AH＝8a，HG＝BG（8a﹣3a）a， ∴， 综上所述，等于或 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$