专题1.1 二次根式的性质与化简（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.1 二次根式的性质与化简 · 典例分析 【典例1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ①； ②； ③． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到 ，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【解题过程】 （1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 9．（2024八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 12．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数，，满足关系式，则的值为 13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 . 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： （1）具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； （2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； （3）证明你的猜想． 15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． （1）写出第4个式子______； （2）写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． （3）计算． 16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： （1） ， ； （2）根据上述方法求值：． 17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 18．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： （1）文中的________． （2）化简：________． （3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． （4）化简：________ ．（直接写出答案） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次根式的性质与化简 · 典例分析 【典例1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ①； ②； ③． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到 ，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【解题过程】 （1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【解题过程】 解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【思路点拨】 本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【解题过程】 解：， ， ，即，解得， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ； 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【解题过程】 解：原式 ， 故选：D． 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【解题过程】 解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 8．（23-24八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【思路点拨】 先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【解题过程】 解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 9．（2024八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【解题过程】 解：将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，分式的化简求值，化简得到是解题的关键． 对已知进行化简得到，推出，，据此求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数，，满足关系式，则的值为 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【解题过程】 解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【解题过程】 解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： （1）具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； （2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； （3）证明你的猜想． 【思路点拨】 本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． （1）写出第4个式子______； （2）写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． （3）计算． 【思路点拨】 本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【解题过程】 （1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： （1） ， ； （2）根据上述方法求值：． 【思路点拨】 本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【解题过程】 （1）， 故答案为： ； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 18．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有， ，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： （1）文中的________． （2）化简：________． （3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． （4）化简：________ ．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$