几何模型总结专题04：倍长中线模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）
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内容正文：
专题4 “倍长中线”模型
模型:倍长中线
【模型介绍】当一个三角形出现中点或者中线时，或者一组平行线，出现中点时，均可添加辅助线“倍长，或者k倍倍长”，构造平行四边形，此方法美其名曰“倍长中线模型”。
【模型分析】
1．（条件）AD为△ABC的中线;
2.(辅助线)延长AD于E；
3.（结论）①AD＜（AB+AC）
4.（核心点）模型识别：有中点，中线等均可“倍长，或者k倍倍长”；
如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）
证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中
AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD
∴△CDA≌BDE
∴AC=EB
在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE,
BE=AC AE=2AD
2AD< AB+AC
AD＜（AB+AC）
“k倍倍长”+中点+平行线倍长
【模型分层应用—基础】
1．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】B
【解】：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B．
2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D是BC边上的中点，我们可以延长AD到点Q，使AD＝DQ，然后连接BQ（如图），这样，可以帮我们说明很多问题，请判断下列结论①△ADC≌△QDB；②AC＝BQ；③AC∥BQ；④1＜AD＜4，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解】：∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵，
∴△ADC≌△QDB，
∴AC＝BQ，∠CAD＝∠BQD，
∴AC∥BQ
∵AB＝5，AC＝3，
∴BQ＝3，
∵在△ABQ中，AB＝5，BQ＝3，AQ＝2AD，
∴AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，
即：5﹣3＜AQ＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
∴结论①△ADC≌△QDB；②AC＝BQ；③AC∥BQ；④1＜AD＜4都正确．
故选：D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且AE⊥EF，垂足为点E，有如下结论：①DE＝CE，②AF＝CF+AD，③S△AEF＝S△CEF+S△DEA，④AB＝BF，
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解】：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵AE⊥EF，AE平分∠FAD，
∴∠AEM＝∠AEF＝90°，∠MAE＝∠FAE，
在△AEM和△AEF中，
，
∴△AEM≌△AEF（ASA），
∴EM＝EF，AM＝AF，
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
在△MDE和△FCE中，
，
∴△MDE≌△FCE（AAS），
∴DE＝CE，DM＝CF，①正确；
∴AF＝AM＝AD+DM＝CF+AD，②正确；
在线段FA上截取FN＝FC，
∵DM＝CF，
∴FN＝DM＝CF，
∵AM＝AF，
∴AN＝AD，
在△ANE和△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE（SAS），
∴NE＝DE＝CE，
在△EFN和△EFC中，
，
∴△EFN≌△EFC（SSS），
∴S△AEF＝S△EFN+S△ANE＝S△CEF+S△DEA，③正确；
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误．
故选：B．
4．【多选】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且点E是CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AE⊥EF B．AF＝CF+AD C．∠BAF＝2∠FAE D．EC＝FC
【答案】AB
【解】：如图，延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
过点E作ET⊥AM于T，ER⊥AF于R．
∵AE平分∠FAD，
∴ET＝ER，
在Rt△ETM和Rt△ERF中，
，
∴Rt△ETM≌Rt△ERF（HL），
∴∠M＝∠AFM，
∴AM＝AF，
∵EF＝EM，
∴AE⊥EF，故选项A符合题意；
由AF＝AD+DM＝CF+AD，故选项B符合题意；
∵AE平分∠FAD，
∴∠DAF＝2∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AB不一定等于BF，
∴∠BAF不一定等于∠AFB，
∴∠BAF不一定等于2∠DAE，
故选项C不符合题意；
假设EC＝FC，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵△DEM≌△CEF，
∴EF＝EM，∠CFE＝∠M，
∵AM＝AF，
∴∠AFE＝∠M，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CD，
∴假设不成立，故选项D不符合题意，
则结论正确的是A，B，
故选：AB．
5．在△ABC中，边AB＝5，中线AD＝3，则AC边的取值范围是 1＜AC＜11 ．
【答案】1＜AC＜11．
【解】：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE，
在△ABE中，根据三角形的三边关系定理得：AE﹣AB＜BE＜AE+AB，
∵AB＝5，AE＝2AD＝6，
∴1＜BE＜11，
∴1＜AC＜11，
故答案为：1＜AC＜11．
6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ 4 ．
【答案】见下方
【解】：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EFAF＝4，
故答案为：4．
7．小红遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是 SAS ；（2）AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
【答案】（1）SAS；（2）1＜AD＜5．
【解】：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，GE＝5，则FO的长是 4 ．
【答案】见下方
【解】：∵矩形ABCD，AB＝8，AE＝4，
∴∠A＝90°，
∴BE，
∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴EO，
∵G是CD的中点，
∴DG＝GC，
在△EDG与△FCG中，
∴△EDG≌△FCG，
∴EG＝GF＝5，
∴EF＝10，
∴在Rt△EFO中，OF．
故答案为：4
【模型分层应用—综合】
1．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： SAS （用字母表示）
（2）AD的取值范围是 1＜AD＜6
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】见下方
【解】：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分别为SAS，1＜AD＜6．
解决问题：如图3中，
解：延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE＝∠M，
在△AEG和△BEM中，
，
∴△AEG≌△BEM（AAS），
∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，
∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．
2．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： SAS ；（用字母表示）
（2）请你帮助小明完成AD取值范围的计算；
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
（3）如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB＝AC．
【答案】（1）SAS；（2）1＜AD＜6；（3）证明见下方．
（1）解：∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDA，DE＝AD，
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS，
故答案为：SAS；
（2）解：∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC，
∴1＜AD＜6；
（3）证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
在△BED和△CAD中，
，
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴∠DAC＝∠DEB，AC＝BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DEB，∴AB＝BE，∴AB＝AC．
3．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．
【答案】见下方
【解】：（1）1＜AD＜5，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，
在△BEF与△AEP中，，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE＝∠F，BF＝PA，
又∵∠BDF＝∠CDP，
∴△BDF∽△CDP，
∴，
∴，
即PA•CD＝PC•BD．
4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．[阅读理解]小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．根据 SAS ，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB＝EC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ACE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围 2＜AD＜8 ．
[模型构建]当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法．
[类比应用]
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，AB＝6，AD＝4，AC＝10，则DC2＝ 52 ．
[拓展提升]
（3）如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）SAS，2＜AD＜8；（2）52；（3）见下方．
【解】（1）解：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB＝EC＝10，
在△ACE中，10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜2AD＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：SAS，2＜AD＜8；
（2）如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，
根据（1）的方法可证△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE＝AB＝6，∠BAD＝∠CED，ED＝AD＝4，
∴AE＝8，
∵AC＝10，
∴AE2+CE2＝82+62＝102＝AC2，
∴∠CED＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴DC2＝BD2＝AB2+AD2＝62+42＝52．
故答案为：52；
（3）证明：如图3所示：延长FD至点H，使DH＝DF，连接BH、EH，
在△BDH和△CDF中，
，
∴△BDH≌△CDF（SAS），
∴BH＝CF，
∵DE⊥DF，DH＝DF，
∴EH＝EF，
在△BHE中，由三角形的三边关系得：BE+BH＞EH，
∴BE+CF＞EF．
5．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，第三边上的中线AD＝x，则x的取值范围是多少．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长AD至点A'，使得DA'＝AD，连结A'C，根据“SAS”可以判定△ABD≌ △A'DC ，得出A'C＝AB＝6．在△AA'C中，A'C＝6，AC＝8，AA′＝2x，故中线AD的长x的取值范围是 1＜x＜7 ．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAE+∠CAD＝180°，连结BE和CD，点F是CD的中点，连结AF．求证：BE＝2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A'，使FA'＝AF，连结A′D，通过证明△ABE≌△DA′A，可推得BE＝AA′＝2AF．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长AF至点A'，使FA′＝AF，连结A′D，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF．
∵AF＝A′F，∠AFC＝∠A′FD，
∴△ACF≌△A′DF（SAS），
∴A′D＝AC，∠A′DF＝∠ACF，
∴A′D∥AC，∠A'DA+∠CAD＝180°．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAC+∠EAF＝180°，点M，N分别是BC和EF的中点．若 BC＝4，EF＝6，则MN的取值范围是 1≤MN≤5 ．
【答案】（1）△A'DC，1＜x＜7；（2）见下方；（3）1≤MN≤5．
【解】（1）解：如图②，∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵AD＝A'D，∠ADB＝∠A'DC，
∴△ABD≌△A'DC（SAS），
∴A'C＝AB＝6，
在△AA'C中，A'C＝6，AC＝8，AA′＝2x，
∴8﹣6＜2x＜8+6，
∴1＜x＜7，
故答案为：△A'DC，1＜x＜7；
（2）证明：如图④，延长AF至点A'，使FA′＝AF，连结A′D，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF．
∵AF＝A′F，∠AFC＝∠A′FD，
∴△ACF≌△A′DF（SAS），
∴A′D＝AC，∠A′DF＝∠ACF，
∴A′D∥AC，
∴∠A'DA+∠CAD＝180°，
∵∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝∠A'DA，
又∵AB＝AC，AD＝AE＝A'D，
∴△AA'D≌△EBA（SAS），
∴BE＝AA'，
∴BE＝2AF；
（3）如图⑤，连接AM，AN，
由（2）可知：BC＝2AN，EF＝2AM，
∵BC＝4，EF＝6，
∴AN＝2，AM＝3，
∴AM﹣AN≤MN≤AM+AN，
∴1≤MN≤5，
故答案为：1≤MN≤5．
6．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 （请直接写出答案）．
【实践应用】
（2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长．
【拓展探究】
（3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由．
【答案】见下方
【解】：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，
∵AB＝6，AC＝10，
∴BE＝AC＝10，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜AE＜16，
∵DE＝AD，
∴AE＝2AD，
∵4＜2AD＜16，
∴中线AD的取值范围是：2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
（2）延长ED交AB的延长线于H，如图2所示：
根据题意得：AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠HBD＝∠ECD＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDE中，
，
∴△BDH≌△CDE（ASA），
∴BH＝CE＝20.2m，DH＝DE，
∴AH＝AB+BH＝10.8+20.2＝31（m），
∵∠ADE＝90°，
∴AD⊥EH，
又∵DH＝DE，
∴AD为线段EH的垂直平分线，
∴AE＝AH＝31m；
（3）DE＝2AF，DE⊥AF，理由如下：
延长AF到P，使FP＝FA，连接BP，如图3所示：
则AP＝2AF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BFP和△CFA中，
，
∴△BFP≌△CFA（SAS），
∴∠P＝∠CAF，BP＝AC，
∴BP∥AC，
∴∠ABP+∠BAC＝180°，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，
∴∠BAD+∠CAE＝180°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABP＝∠DAE，
∵BP＝AC，AC＝AE，
∴BP＝AE，
在△ABP和△DAE中，
，
∴△ABP≌△DAE（SAS），
∴AP＝DE，∠BAP＝∠ADE，
∵AP＝2AF，
∴DE＝2AF，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAP+∠DAG＝90°，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣（∠ADE+∠DAG）＝90°，
∴AG⊥DE，
即AF⊥DE．
7．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E．使ED＝AD．连接BE．
可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；
【问题解决】
（2）如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB
直接写出所有正确选项的序号是 BC ．
【问题拓展】
（3）如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OEAC．
【答案】（1）1＜AD＜4；（2）B、C；（3）证明见下方．
【解】（1）：如图①中，延长AD至点E，使ED＝AD．在△ADC和△EDB中，
，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，
∵AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）解：如图②中，延长CD至F，使DF＝CD，
由（1）得BF＝AC，∠FBA＝∠A，
∵AC＝AB，
∴BF＝AB，∠ACB＝∠ABC，
∵点B为AE的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝BF，
∵∠CBE＝∠ACB+∠A，
∠CBF＝∠CBA+∠ABF，
∴∠CBE＝∠CBF，
又∵CB＝CB，
∴△CBE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF＝2CD，∠BCE＝∠BCD，
故B、C正确．
故答案为：B、C；
（2）证明：如图③中，延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ．
同法可证△BEO≌△DEJ，
∴∠BOE＝∠J，OB＝DJ，
∴OB∥DJ，
∴∠ODJ+∠BOD＝180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠BOD+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝∠ODJ，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴OA＝DJ，
在△AOC和△JDO中，
，
∴△AOC≌△JDO（SAS），
∴AC＝OJ，
∴AC＝2OE，即OEAC．
8．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 A ．
A．SAS；B．SSS；C．AAS；D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 3＜AD＜9 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（3）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（4）【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A；（2）3＜AD＜9；（3）BF＝7；（4）BE2+CF2＝EF2．
【解】：（1）在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：A；
（2）由（1）得：△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝6，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即12﹣6＜2AD＜12+6，
∴3＜AD＜9，
故答案为：3＜AD＜9；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②所示：
∵AE＝EF，EF＝4，
∴AC＝AE+EC＝4+3＝7，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC＝7；
（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2．理由如下：
延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF，GC，如图③所示：
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE＝CG，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∵△DBE≌△DCG，EF＝GF，
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
9．【知识回顾】
（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝4，AC＝3，求AD的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在△ABC中，已知两边AB和AC的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线AD的取值范围，只有将中线AD转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，这样就构造了△ACE，将求AD的取值范围，转化为求△ACE的边AE的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作CF∥AD交BA延长线于点F，于是得到△ACF．进而将求AD的取值范围，转化为求CF的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在△ABC中，D是BC边的中点，点E在AC边上，CE＝2AE，AB＝8，AC＝6，求DE的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，AB＝3，点G在BC边上，E为平面内一点且BE＝BG＝1，以AE为斜边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF，连接GF，求GF的取值范围．
【答案】（1）证明见下方；（2）3＜DE＜5；（3）．
【解】：（1）①小明的解法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，
∵AD是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴EC＝AB＝4，
在△ACE中，AC＝3，EC＝4，
∴CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即1＜AE＜7，
∴1＜2AD＜7．
∴；
小刚同学的解法：过点C作CF∥AD交BA延长线于点F，
∴，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝AB＝4，
∴AD是△BCF的中位线，
∴CF＝2AD，
在△ACF中，AC＝3，AF＝4，
∴AF﹣AC＜CF＜AF+AC，
即1＜CF＜7．
∴1＜2AD＜7，
∴；
（2）方法一：如图，过点B作BF∥DE交CA延长线于点F，则，
∵AD是BC边中线，
∴BD＝CD，
∴EF＝EC，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE．
∵CE＝2AE，AC＝CE+AE，
∴． ，
∴EF＝EC＝4，
∴AF＝EF﹣AE＝2，
在△ABF中，AB＝8，AF＝2，
∴AB﹣AF＜BF＜AB+AF，
即6＜BF＜10，
∴6＜2DE＜10，
∴3＜DE＜5；
方法二：如图，取AC中点F，连接DF，
∵D，F分别为BC，AC的中点，AC＝6，
∴DF是△ABC的中位线，
∴．
∵AB＝8，
∴DFAB＝4，
∵AC＝6，CE＝2AE，AC＝CE+AE，
∴AEAC＝2，
∴EF＝AF﹣AE＝1，
在△DEF中，DF﹣EF＜DE＜DF+EF，
∴3＜DE＜5；
方法三：如图，延长AD到点F，使 DF＝AD，取CE的中点G，连接CF，FG，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD．
又∵∠ADB＝∠FDC，AD＝FD，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴CF＝AB＝8，
∵CE＝2AE，AC＝CE+AE，
∴，，
又∵G为CE中点，
∴EG＝CGCE＝2，
∴AE＝EG，
∵AD＝DF，
∴DE是△AFG 的中位线，
∴，
在△CFG中，CF﹣CG＜FG＜CF+CG，
∴6＜FG＜10，
∴3＜DE＜5；
（3）如图，过点O作OH⊥BC于点H，连接OF，OG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∴，∠BAC＝45°，
∴，
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AF＝EF，
∴，∠EAF＝45°，
∴，
∵∠BAC＝∠EAF＝45°，
∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EAF﹣∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAO，
∴△EAB∽△FAO，
∴，
∴，
在Rt△OHG中，∠OHG＝90°，GH＝BH﹣BE，，
∴OG，
在△OFG 中，OG﹣OF＜FG＜OG+OF，
而当点O，F，G共线时，FG仍存在，
此时FG＝OG﹣OF或FG＝OG+OF，
∴．
10．感知：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，易证AB＝CE（不要求证明）；
探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD＝14，∠D＝45°，点E是BC的中点，连接AE，且AE⊥AD，求四边形ABCD的面积；
应用：如图③，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边BC上、∠DAE＝∠FAE，若AD，CF，EF，则sin∠DAE＝ ．
【答案】见下方
【解】：感知：过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，
∴∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
∵，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE；
探究：如图1，延长AE、DC交于F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∵，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∵AB+CD＝CF+CD＝DF＝14，
∵AD⊥AE，
∴∠DAF＝90°，
∵∠D＝45°，
∴AD＝AF，
∴S四边形ABCD＝S△ABE+S四边形AECD＝S△ADF49；
应用：如图2，延长AE、BC交于点G，
同理得△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE＝EG，CG＝AD，
∵CF，
∴FG＝CF+CG3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AD∥BG，
∴∠DAE＝∠G，
∵∠DAE＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠G，
∴AF＝FG，
∵AE＝EG，
∴EF⊥AG，
Rt△EFG中，sin∠DAE＝sin∠G；
故答案为：．
11．【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝CD，∠ACD+∠BAC＝180°，CE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2CE．
①如图2，小涵同学从∠ACD+∠BAC＝180°，这个条件出发，给出如下解题思路：得出∠BAC＝2∠CAD，作AF平分∠BAC交BC于点F，将∠ACD+∠BAC＝180°转化为∠CAF与∠CAD之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长CE至点G，使CE＝EG，连接AG，将线段CE与BC之间的数量关系转化为线段CG与BC之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，在BE上截取EF＝CE，连接AF交CD于点G．求证：BF＝2EG．
【学以致用】：
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，，D是BC中点，点E在线段BD上，连接AE，延长AC至点F，使CF＝BE，连接DF，若∠CDF＝∠BAE．求的值．
【答案】（1）证明见下方；（2）证明见下方；（3）．
【解】（1）证明：选择小涵同学的解题思路：
作AF平分∠BAC交BC于点F，如图，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴∠ACD+2∠CAD＝180°．
又∵∠ACD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝2∠CAD．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAF，
∴∠CAF＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2CF，AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
又∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴CF＝CE，
∴BC＝2CE；
选择小慧同学的解题思路：
延长CE至G，使CE＝EG，连接AG，如图，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴∠ACD+2∠CAD＝180°，
又∵∠ACD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵AE⊥CG，CE＝GE，
∴AE为线段CG的垂直平分线，
∴AG＝AC，∠CAE＝∠EAG，
∴∠CAG＝2∠CAD，
∴∠CAG＝∠BAC．
又∵AB＝AC，
∴AB＝AG，
在△ABC和△AGC中，
，
∴△ABC≌△AGC（SAS），
∴BC＝CG，
∵CG＝2CE，
∴BC＝2CE．
（2）证明：方法一：过A作AM⊥CD交CD延长线于点M，如图，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD．
在△CBE和△ACM中，
，
∴△CBE≌△ACM（AAS），
∴CE＝AM，
∴BE＝CM．
∵CE＝EF，
∴EF＝AM．
在△EFG和△MAG中，
，
∴△EFG≌△MAG（AAS），
∴EG＝MG，
∴EM＝2EG．
∵BE＝CM，CE＝EF，
∴BE﹣EF＝CM﹣CE，
即 BF＝EM，
∴BF＝2EG；
方法二：连接CF，延长FE至点N，使EN＝EF，连接CN，AN，如图，
∵CE＝EF，EN＝EF，∠CEF＝∠CEN＝90°，
∴△CEF与△CEN均为等腰直角三角形，
∴∠CFN＝∠CNF＝45°，
∴∠CFB＝135°，∠NCF＝90°，CN＝CF，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝∠ACF+∠ACN＝90°，
∴∠BCF＝∠ACN．
在△BCF和△ACN中，
，
∴△BCF≌△ACN（SAS），
∴BF＝AN，∠BFC＝∠ANC．
∴∠ANC＝135°，
∴∠ANB＝∠ANC﹣∠CNF＝135°﹣45°＝90°，
∵∠FEG＝90°，
∴∠ANB＝∠FEG，
∴EG∥AN，
∴△FEG∽△FNA，
∴，
∴AN＝2EG，
∴BF＝2EG；
（3）解：连接AD，过F作FM∥AB交BC的延长线于点M，如图，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，
∵，
设AD＝4a，AB＝5a，
根据勾股定理得：，
∴CD＝BD＝3a，BC＝2BD＝6a．
∵FM∥AB，
∴∠B＝∠M，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠FCM，
∴∠FCM＝∠M，
∴FC＝FM．
∵CF＝BE，
∴BE＝FM．
在△BAE和△FDM中，
，
∴△BAE≌△FDM（AAS），
∴AB＝DM＝5a，
∴CM＝DM﹣DC＝2a．
∵FM∥AB，
∴△CAB∽△CFM，
∴3，
∴FMa，
∴BE＝FMa，
∴DE＝BD﹣BE＝3aaa，
∴．
12．【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
【答案】（1）如下方；（2）如下方；（3）CN﹣AEBC，理由如下方．
【解】（1）证明：①∵ED＝DF，DM＝BD，∠BDE＝∠MDF，
∴△BDE≌△MDF（SAS），
∴BE＝MF，∠DBE＝∠DMF，
∴180°﹣∠DBE＝180°﹣∠DMF，
即∠ABC＝∠FMC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠FMC＝∠ACB，
∴MF＝CF，
∵BE＝MF，
∴BE＝CF；
②∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACB，
∵∠MDE＝∠CDF，ED＝DF，
∴△DEM≌△DFC（AAS），
∴ME＝CF，
∵AB＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠EMD＝∠ACB，∠MBE＝∠ABC，
∴∠EMD＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∴BE＝CF；
（2）证明：延长AD，使得AD＝DM，连接CM，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵AD＝DM，∠ADB＝∠MDC，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，
∵∠EAD+∠ANC＝180°，∠ANE+∠ANC＝180°，
∴∠EAD＝∠ANE，
∵∠ANE＝∠CNM，∠EAD＝∠CMN，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝MC，
∵AB＝MC，
∴AB＝CN；
（3）解：CN﹣AEBC，理由如下：
延长ED，使得DM＝ED，连接CM，
∵BD＝CD，∠CDM＝∠BDE，DM＝ED，
∴△CDM≌△BDE（SAS），
∴CM＝BE，∠M＝∠BED，
∴CM∥BE，
∴∠ACM＝180°﹣∠BAC＝90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF∠BAC＝45°，
∵ED∥AF，
∴∠CNM＝∠CAF＝45°，
∴∠M＝180°﹣∠CNM﹣∠ACM＝45°，
∴∠CNM＝∠M，
∴CN＝CM，
∴CN＝BE，
∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，
∴ABBC，
∵BE﹣AE＝ABBC，
∴CN﹣AEBC．
13．问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE，点F是线段AE上一点，连接BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求的值．
（1）尝试探究：如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此 2 ．
（2）类比延伸：在原题的条件下，若把“AF：EF＝4：1”改为“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）
（3）拓展迁移：如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则 ab ．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）
【答案】见下方
【解】：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴4，
∴AB＝4EH．
∵▱ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG＝2EH．2．
故答案为：2．
（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴n，
∴AB＝nEH．
∵AB＝CD，
∴CD＝nEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．∴2，∴CG＝2EH．∴．
（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴b，∴CD＝bEH．又a，∴AB＝aCD＝abEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴ab，故答案为：ab．
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专题4 “倍长中线”模型
模型:倍长中线
【模型介绍】当一个三角形出现中点或者中线时，或者一组平行线，出现中点时，均可添加辅助线“倍长，或者k倍倍长”，构造平行四边形，此方法美其名曰“倍长中线模型”。
【模型分析】
1．（条件）AD为△ABC的中线;
2.(辅助线)延长AD于E；
3.（结论）①AD＜（AB+AC）
4.（核心点）模型识别：有中点，中线等均可“倍长，或者k倍倍长”；
如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）
证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中
AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD
∴△CDA≌BDE
∴AC=EB
在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE,
BE=AC AE=2AD
2AD< AB+AC
AD＜（AB+AC）
“k倍倍长”----中点+平行线倍长
【模型分层应用—基础】
1．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D是BC边上的中点，我们可以延长AD到点Q，使AD＝DQ，然后连接BQ（如图），这样，可以帮我们说明很多问题，请判断下列结论①△ADC≌△QDB；②AC＝BQ；③AC∥BQ；④1＜AD＜4，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且AE⊥EF，垂足为点E，有如下结论：①DE＝CE，②AF＝CF+AD，③S△AEF＝S△CEF+S△DEA，④AB＝BF，
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．【多选】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD并交CD于点E，且点E是CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AE⊥EF B．AF＝CF+AD C．∠BAF＝2∠FAE D．EC＝FC
5．在△ABC中，边AB＝5，中线AD＝3，则AC边的取值范围是 ．
6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
7．小红遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是 ；（2）AD的取值范围是 ．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，GE＝5，则FO的长是 ．
【模型分层应用—综合】
1．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： （用字母表示）
（2）AD的取值范围是
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
2．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： SAS ；（用字母表示）
（2）请你帮助小明完成AD取值范围的计算；
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
（3）如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB＝AC．
3．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：AD的取值范围是 ．
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．
4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．[阅读理解]小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．根据 ，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB＝EC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ACE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围 ．
[模型构建]当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法．
[类比应用]
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，AB＝6，AD＝4，AC＝10，则DC2＝ ．
[拓展提升]
（3）如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
5．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，第三边上的中线AD＝x，则x的取值范围是多少．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长AD至点A'，使得DA'＝AD，连结A'C，根据“SAS”可以判定△ABD≌ ，得出A'C＝AB＝6．在△AA'C中，A'C＝6，AC＝8，AA′＝2x，故中线AD的长x的取值范围是 ．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAE+∠CAD＝180°，连结BE和CD，点F是CD的中点，连结AF．求证：BE＝2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A'，使FA'＝AF，连结A′D，通过证明△ABE≌△DA′A，可推得BE＝AA′＝2AF．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长AF至点A'，使FA′＝AF，连结A′D，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF．
∵AF＝A′F，∠AFC＝∠A′FD，
∴△ACF≌△A′DF（SAS），
∴A′D＝AC，∠A′DF＝∠ACF，
∴A′D∥AC，∠A'DA+∠CAD＝180°．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAC+∠EAF＝180°，点M，N分别是BC和EF的中点．若 BC＝4，EF＝6，则MN的取值范围是 ．
6．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，从而得到AC＝EB＝10．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求出中线AD的取值范围是 （请直接写出答案）．
【实践应用】
（2）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，用测角仪测得此时∠ADE＝90°，测得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，求AE的长．
【拓展探究】
（3）如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE，BC，点F是BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G．试探究：DE和AF的数量关系和位置关系并说明理由．
7．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E．使ED＝AD．连接BE．
可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；
【问题解决】
（2）如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB
直接写出所有正确选项的序号是 ．
【问题拓展】
（3）如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OEAC．
8．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B．SSS；C．AAS；D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（3）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（4）【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
9．【知识回顾】
（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝4，AC＝3，求AD的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在△ABC中，已知两边AB和AC的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线AD的取值范围，只有将中线AD转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，这样就构造了△ACE，将求AD的取值范围，转化为求△ACE的边AE的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作CF∥AD交BA延长线于点F，于是得到△ACF．进而将求AD的取值范围，转化为求CF的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在△ABC中，D是BC边的中点，点E在AC边上，CE＝2AE，AB＝8，AC＝6，求DE的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，AB＝3，点G在BC边上，E为平面内一点且BE＝BG＝1，以AE为斜边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF，连接GF，求GF的取值范围．
10．感知：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，易证AB＝CE（不要求证明）；
探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD＝14，∠D＝45°，点E是BC的中点，连接AE，且AE⊥AD，求四边形ABCD的面积；
应用：如图③，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边BC上、∠DAE＝∠FAE，若AD，CF，EF，则sin∠DAE＝ ．
11．【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝CD，∠ACD+∠BAC＝180°，CE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2CE．
①如图2，小涵同学从∠ACD+∠BAC＝180°，这个条件出发，给出如下解题思路：得出∠BAC＝2∠CAD，作AF平分∠BAC交BC于点F，将∠ACD+∠BAC＝180°转化为∠CAF与∠CAD之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长CE至点G，使CE＝EG，连接AG，将线段CE与BC之间的数量关系转化为线段CG与BC之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，在BE上截取EF＝CE，连接AF交CD于点G．求证：BF＝2EG．
【学以致用】：
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，，D是BC中点，点E在线段BD上，连接AE，延长AC至点F，使CF＝BE，连接DF，若∠CDF＝∠BAE．求的值．
12．【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
13．问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE，点F是线段AE上一点，连接BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求的值．
（1）尝试探究：如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此 ．
（2）类比延伸：在原题的条件下，若把“AF：EF＝4：1”改为“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）
（3）拓展迁移：如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则 ．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）
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