专题1.5 平移中的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.5 平移中的综合 · 典例分析 【典例1】如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿边所在直线平移至三角形处，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ） A．44 B．48 C．46 D．50 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是 ．（用含的式子表示） 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，将沿直线AB向右平移得到，连接CE，若的周长为13，四边形的周长为21，则平移的距离为 ．    6．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点B、C在数轴上所对应的数分别为3、9．若将向左平移m个单位，向右平移m个单位．当点 E、C为线段的三等分点时，则m的值为 ． 7．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形的面积为__________； （3）连接，直接写出与的位置关系：_________； （4）线段扫过的图形的面积为__________． 9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． （1）如图1，与的数量关系是：________． （2）如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 11．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． （1）__________度； （2）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． （3）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 12．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知三角形的周长为16，，现将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形． （1）连接，若平分，求的大小； （2）连接，若四边形的周长为24，求a的值． 13．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． （1）分别求和的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 14．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． （1）如图，，若，，求的度数； （2）在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； （3）在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 15．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）如图1，已知，点在直线之间． （1）求证：； （2）若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，设，求的度数； ②如图3，若，平分，设，请直接写出的度数． 16．（23-24七年级下·广西防城港·期中）【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 17．（23-24七年级下·广东珠海·期中）已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）在整个平移过程中，当时，求的度数； （3）在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 18．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 19．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     （1）如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； （2）如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 平移中的综合 · 典例分析 【典例1】如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，将三角形沿边所在直线平移至三角形处，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了图形平移的性质，熟练掌握图形的平移性质是解题的关键．根据三角形平移的性质逐一推导即可判断． 【解题过程】 解：∵将三角形沿边所在直线平移至三角形处， ∴，，，，，故②正确； ， ，故①正确； ， ∴， ∵， ，故③正确； 不一定相等， 不一定相等， ， 不一定相等，故④错误； ，不一定相等， 不一定相等，故⑤错误； 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，根据已知可得，，结合，进而根据四边形周长之差即可求解． 【解题过程】 解：∵将三角形沿方向平移得到， ∴， ∴，即， ∵ ∴，， 四边形与四边形周长之差为 ∵ ∴四边形与四边形周长之差为， 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【思路点拨】 此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【解题过程】 解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图， ∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是 ．（用含的式子表示） 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质及判定，角平分线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键。如图，过点作 由平移的性质得 进而得， ，，再根据角平分线的性质即可得解． 【解题过程】 解：如图，过点作 ∵将线段沿线段平移得到线段 ∴ ∴， ∴ ，， ∵和的平分线相交于点． ∴ ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，将沿直线AB向右平移得到，连接CE，若的周长为13，四边形的周长为21，则平移的距离为 ．    【思路点拨】 本题主要考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．由三角形和四边形的周长公式可知，．再根据平移可知，，即可推出，从而可求出，即平移的距离为4． 【解题过程】 解：∵的周长为9， ∴． ∵四边形的周长为21， ∴， ∴． 由平移可知，， ∴，即， ∴， ∴，即平移的距离为4． 故答案为：4． 6．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，完全重合的两个等边、等边的边、都在数轴上，点B、C在数轴上所对应的数分别为3、9．若将向左平移m个单位，向右平移m个单位．当点 E、C为线段的三等分点时，则m的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了平移的性质的应用，数轴上的线段长的分析是解题关键．先由数轴得出，再分两种情况：①当、为线段的三等分点时，即点E在点C左侧，②当、为的三等分点时，即点E在点C右侧，分别 求解即可． 【解题过程】 解：∵点B、C在数轴上所对应的数分别为3、9． ∴ 分两种情况： ①当、为线段的三等分点时，即点E在点C左侧，如图， ，， 由向左平移个单位，向右平移个单位，即， ． ②当、为的三等分点时，即点E在点C右侧，如图， ，，由向左平移个单位，向右平移个单位，即， ， 综上，的值为或6． 故答案为：或6． 7．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【思路点拨】 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【解题过程】 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形的面积为__________； （3）连接，直接写出与的位置关系：_________； （4）线段扫过的图形的面积为__________． 【思路点拨】 （1）根据点和，先找出点的对应点，顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）根据平移的性质进行判断即可； （4）利用割补法求面积即可； 本题考查作图—平移变换及性质，网格中求面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【解题过程】 （1）找出点的对应点，顺次连接， 如图，三角形即为所求， （2）三角形的面积为， 故答案为：； （3）由平移得，与的位置关系是平行， 故答案为：平行； （4）线段扫过的图形的面积为， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【思路点拨】 此题考查作图—平移变换，关键是利用平移的性质解答． 实践与操作：根据平移变换的定义画图可得． 推理与证明：（1）根据平移变换的性质可得答案； （2）根据平移的性质得，推出即由可得结论 【解题过程】 解：实践与操作： 如图所示，即为所求， 推理与证明： （1）由平移可知，且． 其依据是：对应点连线平行且相等； 故答案为：对应点连线平行且相等； （2）证明：由， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴． 10．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． （1）如图1，与的数量关系是：________． （2）如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【解题过程】 （1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ② ， ， ， ， ． 11．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． （1）__________度； （2）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． （3）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【思路点拨】 本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 12．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知三角形的周长为16，，现将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形． （1）连接，若平分，求的大小； （2）连接，若四边形的周长为24，求a的值． 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，角平分线定义，解题的关键是： （1）利用平移的性质得出，利用平行线的性质得出，，然后结合角平分线的定义求解即可； （2）利用平移的性质得出，，然后结合和四边形的周长可得出关于a的方程，然后解方程即可求解。 【解题过程】 （1）解：∵将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， ∵将三角形沿直线向右平移a个单位长度得到三角形， ∴，， ∵四边形的周长为24， ∴， 即， ∵三角形的周长为16，即， ∴， 解得. 13．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． （1）分别求和的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【思路点拨】 此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数； （2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积； （3）依题意得，，即，由此得，再根据平移的性质得，据此可得的长． 【解题过程】 （1）由平移性质得：，，，，， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ； （3）的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即， ， ， 由平移的性质得：， ， ， 即的长度为6． 14．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． （1）如图，，若，，求的度数； （2）在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； （3）在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【思路点拨】 此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）如图1，已知，点在直线之间． （1）求证：； （2）若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，设，求的度数； ②如图3，若，平分，设，请直接写出的度数． 【思路点拨】 此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平移的性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键． （1）过点E作直线，得到，根据两直线平行内错角相等推出，即可； （2）①根据平分，得出，根据，得出，得出，根据求出结果即可． ②过点H作，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，根据解析（1）得出，最后求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：如图①，过点E作直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵将线段沿平移至， ∴， ∴， 又，， ∴， 如图②，过点H作，由（1）可得：． ②过点H作，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵将线段沿平移至， ∴， ∴， 又，， ∴， 根据解析（1）可知， ． 16．（23-24七年级下·广西防城港·期中）【探究】 图1                                                        图2                                            图3 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________； 【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，． （2）求的度数； （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【思路点拨】 （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【解题过程】 解∶（1）如图1中，作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴， ． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如图2，过点E作， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 17．（23-24七年级下·广东珠海·期中）已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D与A为对应点且点D不与重合），连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）在整个平移过程中，当时，求的度数； （3）在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，平移的性质： （1）作，由平移得，可得，由，即可求得； （2）当平移到点A和C之间时，当平移到点A上方时，两种情况进行讨论即可； （3）由（1）（2）可以得到当平移到点A上方时，当平移到点A和C之间时，当平移到点C下方时，三种情况进行讨论. 【解题过程】 （1）解：如图，作，由平移得， ∴ ∴ 又∵ ∴，即， ∴                  ∴ （2）由（1）可知，当平移到点C下方时，，不存在； ①当平移到点A和C之间时，     如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴     又∵ ∴ ∴      ∴x=，=       ②当平移到点A上方时， 如图，作，由题意， 设，则 ∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，∠E的度数为 （3）解：由（2）得： 当平移到点A上方时，；    当平移到点A和C之间时，； 由（1）得：当平移到点C下方时， 18．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【思路点拨】 本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 19．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     （1）如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； （2）如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据，得，又故有，从而求解； （2）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ，理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【解题过程】 （1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，    ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为； ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$