专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题 1．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，记，． (1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； (2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，. （1）求点，点的坐标； （2）求四边形的面积. 3．（23-24高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 4．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 5．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 题型二 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    7．（23-24高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 8．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 9．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 10．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型三 用向量解决几何中的夹角问题 11．（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 12．（23-24高一下·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 14．（23-24高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 15．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 题型四 用向量解决线段的长度问题 16．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角所对的边分别为，. (1)求角的值； (2)若，边上的中点为，求的长度. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 19．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 20．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 题型五 向量与几何最值（范围）问题 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 22．（23-24高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 23．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 24．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 25．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 题型六 向量在物理中的应用 26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 27．（24-25高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    28．（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 29．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 30．（24-25高一·全国·课后作业）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 题型七 向量与解三角形综合 31．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中分别为角所对的边，向量，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 32．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）在中，，，分别是角所对的边，且满足． (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，，求的面积． 33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，其中， (1)求角的大小； (2)若的面积为． ①求的值； ②求的值． 34．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）在中，． (1)证明：为△ABC的重心． (2)设． ①证明：为定值． ②求的最大值，并求此时AB的长． 35．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题 1．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，记，． (1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； (2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 【解题思路】（1）根据投影向量的定义，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解. 【解答过程】（1）设与的夹角为， 则． （2）设点，因为四边形为平行四边形，所以． 又，， 所以，解得． 故． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，. （1）求点，点的坐标； （2）求四边形的面积. 【解题思路】（1）设，根据题中条件，得到，，再由向量的坐标表示，根据，即可求出点的坐标； （2）先用向量的方法，证明四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点， 得到，均为等边三角形，进而可求出四边形面积. 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中，，所以， 又，设， 则，， 所以点； 又，所以， 即点； （2）由（1）可得，，， 所以，即； 又， 所以四边形为等腰梯形； 连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形. . 3．（23-24高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【解题思路】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【解答过程】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即. 4．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【解题思路】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【解答过程】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 5．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【解题思路】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即，当时，， 由 ； （2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话， 所以有，所以 解之：或，又 所以两人约有小时不能通话. 题型二 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【解题思路】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【解答过程】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 7．（23-24高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【解答过程】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 8．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【解题思路】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解答过程】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 9．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【解题思路】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【解答过程】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 10．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型三 用向量解决几何中的夹角问题 11．（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 【解题思路】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，的夹角为， ，则， 又，所以， 故，同理 于是 ， ， ， . 12．（23-24高一下·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【解题思路】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【解答过程】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【解题思路】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，证明的夹角与的夹角相等，从而证得结论。 【解答过程】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系. 设，则，. 设，则. 又因为，，所以， 所以，解得 ，所以. 所以. 又因为， 所以，. 又因为，所以.    14．（23-24高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【解题思路】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      15．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 题型四 用向量解决线段的长度问题 16．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解题思路】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【解答过程】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角所对的边分别为，. (1)求角的值； (2)若，边上的中点为，求的长度. 【解题思路】（1）切化弦后，利用两角和的正弦公式求解； （2）利用平面向量数量积可求出结果. 【解答过程】（1），， ，， ，， . （2）是边上的中线， ， ， . 18．（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得. 【解答过程】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 19．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【解答过程】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 20．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【解题思路】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解答过程】（1）； ， ，故， . （2）， . 题型五 向量与几何最值（范围）问题 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 22．（23-24高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值. 【解答过程】（1）当时，则为的中点， 由于,所以, 所以    （2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系， 则, 取中点为，连接,则, 设 ， ， 故当时，取最小值. 23．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【解题思路】（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案； （2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案. 【解答过程】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 24．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可； （2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可 【解答过程】（1）当时， ，， 故，故C、M、N三点共线，即得证； （2）当时，，，故， 故 ， 故当时，取得最小值，即的最小值为. 25．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【解题思路】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：    因为，所以， 因为，且，所以， 所以，， 所以 ， 所以， 所以. （ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 题型六 向量在物理中的应用 26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【解答过程】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 27．（24-25高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【解题思路】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解． 【解答过程】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    28．（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【解题思路】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，    ，则， 在Rt中，，从而 ，因此， 故游船的实际航程为. 29．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 【解题思路】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功； （2）将（1）中各值累加即可; （3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可. 【解答过程】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.    拉力与位移方向相同， 所以拉力对木块所做的功为. 支持力与位移方向垂直，不做功，所以. 重力对物体所做的功为. （2）物体所受各力对物体做功的代数和为. （3）设物体所受合外力的大小为， 则, 故合外力做功为. 故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 30．（24-25高一·全国·课后作业）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 【解题思路】（1）根据题意可得与的夹角为，则三条有向线段构成一个直角三角形，其中，再根据向量的加法法则即可得解； （2）结合图象，求出即可. 【解答过程】（1）如图，是垂直到达河对岸方向的速度，是与河岸成角的静水中的船速， 则与的夹角为， 由题意知，三条有向线段构成一个直角三角形，其中， 由向量加法的三角形法则知，，即； （2）因为，而， 所以这条河河水的流速为，方向顺着河岸向下． 题型七 向量与解三角形综合 31．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中分别为角所对的边，向量，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【解题思路】（1）根据条件得到，再由余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用面积公式得到，进而求出，即可求解. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 即，得到， 又由余弦定理知，所以，得到， 又，所以. （2）因为，得到， 又，得到，所以，得到， 所以的周长为. 32．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）在中，，，分别是角所对的边，且满足． (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，，求的面积． 【解题思路】（1）由余弦定理即可求得； （2）由向量的数量积等于0列出方程，可求得角，利用三角函数的定义求得边，最后运用三角形面积公式计算即得. 【解答过程】（1）由余弦定理，，因，则； （2）由， 因，则， 因，且，则，故， 因，则， 则的面积为. 33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，其中， (1)求角的大小； (2)若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【解题思路】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出； （2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值. 【解答过程】（1）因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. （2）①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 34．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）在中，． (1)证明：为△ABC的重心． (2)设． ①证明：为定值． ②求的最大值，并求此时AB的长． 【解题思路】（1）作出辅助线，利用得到G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心； （2）①在（1）基础上，求出EG＝2，BE＝CE＝3，设，则，，又余弦定理得到； ②设，，，利用三角恒等变换得到，故时，取得最大值，且最大值为，并求出，此时AB的长． 【解答过程】（1）证明：设BC的中点为E，则， 因为，所以． 设AC的中点为F，AB的中点为H，同理可得，， 所以A，G，E三点共线，B，G，F三点共线，C，G，H三点共线， 从而G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心． （2）①证明：由（1）知，因为，所以． 因为，所以， 设，则，， 由余弦定理，得， ，则，为定值． ②设，，， 所以， 当，即时，取得最大值，且最大值为， 此时，解得， 此时． 35．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【解题思路】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. （2）如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$