专题6.6 解三角形【十大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.6 解三角形【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 4 【题型2 余弦定理解三角形】 4 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 5 【题型4 正弦定理解三角形】 5 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 6 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 6 【题型7 三角形面积公式的应用】 7 【题型8 正、余弦定理在几何图形中的应用】 7 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 9 【题型10 距离、高度、角度测量问题】 11 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔西·期中）在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 余弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 【例3】（23-24高一下·青海海东·期中）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（23-24高一下·吉林长春·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，若则（    ） A． B． C． D． 【题型4 正弦定理解三角形】 【例4】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4-3】（23-24高一下·山西大同·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式5-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·湖北·期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式6-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【变式7-2】（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·海南海口·期末）中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【题型8 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【例8】（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【变式8-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【变式8-2】（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【变式8-3】（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例9】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【变式9-3】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【知识点2 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型10 距离、高度、角度测量问题】 【例10】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一下·河北·期中）武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 解三角形【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 4 【题型2 余弦定理解三角形】 5 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 7 【题型4 正弦定理解三角形】 8 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 10 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 12 【题型7 三角形面积公式的应用】 14 【题型8 正、余弦定理在几何图形中的应用】 16 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 19 【题型10 距离、高度、角度测量问题】 24 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理边角互化即可求解. 【解答过程】由得, 由于，所以，故， 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔西·期中）在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【解题思路】根据题意结合余弦定理运算求解. 【解答过程】因为，整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由锐角三角形及余弦定理列不等式组，结合三角形三边关系即可结果. 【解答过程】由题意，即，则， 同理，即，则，又， 综上，， 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用三角形内角和结合条件求得，然后利用余弦定理及钝角三角形得，即可求解. 【解答过程】设三角形的三边从小到大依次为，，， 因为，则，故可得， 根据余弦定理得：，于是， 因为为钝角三角形，故，于是，即， 则，即. 故选：B. 【题型2 余弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理即可求解. 【解答过程】由余弦定理可得, ，即， 故选：D. 【变式2-1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意由边长比例关系可求得再由余弦定理可得，即可得出结论. 【解答过程】根据题意不妨设，；解得 所以可得此三角形的最大角与最小角分别为和； 由余弦定理可得，又， 可得； 所以. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】先根据求出C，然后利用余弦定理求出b. 【解答过程】由 得 , , , , 又, 所以 所以， , ,解得, 故选：B. 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 【例3】（23-24高一下·青海海东·期中）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用正弦定理可得，即可得结果. 【解答过程】因为，则， 可得，且，所以． 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可. 【解答过程】若，则，由正弦定理可知， 则， 则，则可得“”是“”的充分条件， 再由，由正弦定理得，则，则， 则“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·吉林长春·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，故，， 由正弦定理，. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）在中，若则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由同角的三角函数关系求出，再根据正弦定理边化角，即可求得答案. 【解答过程】根据正弦定理边角互化可知， 所以. 故选：A. 【题型4 正弦定理解三角形】 【例4】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【解答过程】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理可得，从而得，即有，再结合及，求解即可. 【解答过程】解：因为，所以， 所以， 从而得， 即， 又， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】由题意求出，再根据两角和的正弦公式求得，利用正弦定理即可求得答案. 【解答过程】由题意知：在△ABC中，，则为锐角， 所以，因为，且，所以为锐角或钝角， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得 ， 当，则， 于是 ， 又由 ，， 可得， 故选：D. 【变式4-3】（23-24高一下·山西大同·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理求出，即可求出． 【解答过程】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【解题思路】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【解答过程】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解. 【解答过程】三角形中，，如图， 当有两解时，， 即，即. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一下·湖北·期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可. 【解答过程】A项是角角边类型的三角形，有唯一解； B项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解； C项是两边一对角类型的三角形，角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是，故该三角形无解； D项是两边一对角类型的三角形，，有两个解，此三角形有两解. 故选：D. 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据特殊角的三角函数值可得，即可结合正弦定理求解． 【解答过程】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 【变式6-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【解答过程】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【解答过程】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由结合题意先求出，再由余弦定理求出的值即可由面积公式得解. 【解答过程】因为， 所以由得， 所以，因为，又，则B为锐角，所以， 所以，即， 化简为或， 所以或， 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【解题思路】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可. 【解答过程】若，则， 由余弦定理得， 因为，所以， 则的面积是. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【解答过程】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 【变式7-3】（23-24高一下·海南海口·期末）中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积． 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，可得， 而，可得， 由余弦定理可得， 即，① 因为边上的中线为，设中线为， 则， 两边平方可得， 即，② ②①可得，即， 所以． 故选：A． 【题型8 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【例8】（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【解题思路】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【解答过程】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 【变式8-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【解题思路】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【变式8-2】（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【解题思路】（1）由三角形面积公式求出的长，再由余弦定理可求出. （2）根据已知条件可由正弦定理优先求出，进而可由内角和为,以及诱导、三角恒等变换公式可求出. 【解答过程】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 【变式8-3】（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【解题思路】（1）由已知条件得，在中，由余弦定理得即可； （2）设，，在和中都由正弦定理得，，即，最后化简即可. 【解答过程】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得，即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例9】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 【变式9-1】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可. 【解答过程】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【解题思路】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 【变式9-3】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 【知识点2 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型10 距离、高度、角度测量问题】 【例10】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，再利用正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，, 所以， 在中，由正弦定理得, 即，解得. 所以A，B两点的距离为m. 故选：A. 【变式10-1】（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【解答过程】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 【变式10-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【解答过程】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C. 【变式10-3】（23-24高一下·河北·期中）武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以， 所以． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$