专题04 二次根式（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题04 二次根式的核心知识点精讲 1.了解二次根式的概念及其有意义的条件． 2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式． 3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算． 【题型1：二次根式有意义的条件】 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型2：二次根式的性质】 【典例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 1．（2023·湖北·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【题型3：二次根式的运算】 【典例3】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 40．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 4．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 6．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．9 C． D．3 8．（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 9.（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023-2024七年级下·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 11．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 13．（2024·湖南·模拟预测）计算： 14．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 2．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 3.（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A．7 B． C． D．5 6．（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 7．（2024·山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 8．（2024·山东东营·二模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 9.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 10．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 5．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 6．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 7．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 8．（2024·青海·中考真题）计算：． 9．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 10．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式的核心知识点精讲 1.了解二次根式的概念及其有意义的条件． 2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式． 3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算． 【题型1：二次根式有意义的条件】 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 3．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 【题型2：二次根式的性质】 【典例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 1．（2023·湖北·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【题型3：二次根式的运算】 【典例3】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 40．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 【详解】A. ，故本选项错误； B. ，故本选项正确； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：B． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：B． 4．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间． 先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：A． 5．（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选C． 6．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 7．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式性质即可得到结果． 【详解】解：， 故选：D． 8．（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴．先根据数轴分析出的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴知， ， ． 故选：A． 9.（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2023-2024七年级下·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ． 故答案为：8． 11．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，列出不等式求解即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 13．（2024·湖南·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数计算，特殊角三角函数值，二次根式化简，绝对值化简，负指数幂等．根据题意先将每项整理计算，再从左到右依次计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 14．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】12 【分析】此题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】原式， 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴在中， ， ∴在中， ， ∴在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为: 故选：A． 2．（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 3.（2024·山东临沂·模拟预测）如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：． 5．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 将代数式化简为，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：D． 6．（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【答案】12 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 7．（2024·山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．把被开方数中的7写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】 故答案为： 8．（2024·山东东营·二模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，由勾股定理可求的长，再由三角形的三边关系可求得在上时，有最大值，从而求得答案． 【详解】如图，取的中点，连接，， 四边形是正方形 ， 是的中点 在中， 当在上时，有最大值，最大值为 故答案为：． 9.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)，5 (2)①直角三角形，见解析；② 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解： ，， ， ． 故答案为：，5； （2）解：①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ②， ． 10．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 5．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 6．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 8．（2024·青海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、零指数幂和绝对值，根据相关运算法则化简后合并即可． 【详解】解： 9．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 10．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$