专题02 整式与因式分解（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题02 整式与因式分解的核心知识点精讲 1.能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算． 2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算． 3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解． 4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值． 5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 考点1：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 考点2：整式的相关概念 考点3：整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 考点4：幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点5：整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点6：因式分解 【题型1：代数式及其求值】 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 1．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 【题型2：整式的相关概念及加减】 【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【典例3】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 1．（2024·青海·中考真题）计算的结果是（    ） A．8x B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 3．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 【题型3：幂运算】 【典例4】（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 1.（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键． 3.（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4：整式的乘除及化简求值】 【典例5】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 1．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 2．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型5：因式分解】 【典例5】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．没有系数 B．是单项式 C．是单项式 D．不是单项式 【答案】C 【分析】本题考查了整式，单项式的相关概念，熟练掌握基本概念是解题的关键．根据整式，单项式的相关概念判断即可． 【详解】解：A．的系数是1，故原说法错误，不符合题意； B．是多项式，故原说法错误，不符合题意； C．是单项式，故原说法正确，符合题意； D． 是单项式，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式，熟记各运算法则和公式是解题关键． 根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的概念，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，用和减去其中一个加数进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得这个多项式为． 故选B． 5．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法可得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）有16m长的木料（宽度不计），要做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为xm，那么窗框的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，正确理解题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 由窗框横档的长度得到窗框的高长度，利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：结合图形， ∵窗框横档的长度， ∴窗框的高为， ∴窗框的面积是， 故选：D． 8.（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可． 本题考查平方差公式，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解：C选项是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式， A、B、D选项变形后为完全平方式，不能使用平方差公式； 故选：C． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如果多项式中不含项，则的值为（   ） A． B．7 C．0 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，当多项式中不含某项时，该项系数为零；合并多项式中的二次项，由题意得二次项系数为0，即可求得k的值． 【详解】解：， 由题意得：， ∴， 故选：D． 10．（八年级上·吉林白城·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题关键．将代数式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：4． 12．（24-25七年级上·天津北辰·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查代数式求值，涉及绝对值的非负性、平方的非负性等知识，掌握相关知识是解题关键．根据绝对值的非负性、平方的非负性解得的值，再求值即可． 【详解】已知， ， ， 解得， ， ， 故答案为：1． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如果是一个六次单项式，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了单项式，根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得，再解即可． 【详解】解：∵是一个六次单项式， ∴， 解得：， 故答案为：2． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为，因式分解得到，即可得出结果． 【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形， 这个大正方形的面积是， ∵， ∴这个大正方形的边长为： 故答案为：． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）合并同类项． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若关于，的多项式中不含项，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题．根据不含某一项，将多项式合并同类项后，该项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵该多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C 3．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键． 根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可． 【详解】解：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数．例如系数为第1行的1；系数为第2行的1、1；系数为第3行的1、2、1等等．每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）； 根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）； 同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）．在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6． 故选D． 4．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的减法，作差后，利用非负数的性质即可比较大小． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴, 故选：A． 5．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（    ） A．135 B．170 C．209 D．252 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律．观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给表格可知， ， ， ， ， 所以． 又因为左下方的数比左上方的数大1， 则 又因为， ， ， ， 所以． 故选：C． 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 7．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的值与提公因式． 根据提公因式可进行求解，再将已知条件整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值的方法和技巧是解题的关键：完全平方公式的变形在解题中的应用——首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． （1）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （2）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （3）由正方形的边长为x可得，进而可得，，设，，则可得，由长方形的面积是可得，由四边形与都是正方形可得：阴影部分的面积之和，然后将和的值代入即可求出阴影部分的面积之和． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ； （2）解：设，， 则， ， ； （3）解：正方形的边长为x， ， ，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， 四边形与都是正方形， 阴影部分的面积之和． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边的关系，通过完全平方公式把等式左边配方成两个完全式，等式右边为0的等式是解题的关键． （1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案； （2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边， ∴，即， ∴． 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·贵州·中考真题）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（2024·四川·中考真题）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，严格按照法则进行计算是解决本题的关键．根据幂的乘方法则进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则； 根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A．，故选项不符合题意； B． ，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项符合题意； 故选：D． 5．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 6．（2023·江苏·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂的除法进行解题即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查同底数的幂的除法，掌握运算法则是解题的关键． 7．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 8．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 9．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为． 10．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 11．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 12．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13．（2024·青海·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 14．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据已知得到，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3. 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键． 15．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 【详解】解： 故答案为：1 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 17．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 三、解答题 18．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，45 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可． 【详解】原式 ． 当，时 原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式与因式分解的核心知识点精讲 1.能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算． 2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算． 3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解． 4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值． 5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 考点1：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 考点2：整式的相关概念 考点3：整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 考点4：幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点5：整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点6：因式分解 【题型1：代数式及其求值】 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 1．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【题型2：整式的相关概念及加减】 【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【典例3】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 1．（2024·青海·中考真题）计算的结果是（    ） A．8x B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【题型3：幂运算】 【典例4】（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 1.（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 3.（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【题型4：整式的乘除及化简求值】 【典例5】（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 1．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 2．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型5：因式分解】 【典例5】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 1．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ． 2．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．没有系数 B．是单项式 C．是单项式 D．不是单项式 2．（24-25八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A．9 B． C．18 D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 7．（2024七年级上·全国·专题练习）有16m长的木料（宽度不计），要做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为xm，那么窗框的面积是（   ） A． B． C． D． 8.（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如果多项式中不含项，则的值为（   ） A． B．7 C．0 D．4 10．（八年级上·吉林白城·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 12．（24-25七年级上·天津北辰·期中）已知，则的值为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如果是一个六次单项式，那么的值是 ． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 16．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）合并同类项． (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若关于，的多项式中不含项，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 4．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（    ） A．135 B．170 C．209 D．252 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为 9．（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·中考真题）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·中考真题）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 6．（2023·江苏·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 8．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 9．（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（    ） A． B． C．5 D． 10．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 11．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 13．（2024·青海·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 14．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是 ． 15．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    16．（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ． 17．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 三、解答题 18．（2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 19．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$