专题01 实数（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题01 实数核心知识点精讲 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 考点1：实数的分类 考点2：实数的相关概念 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 7．平方根： （1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 8．立方根： （1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 考点3：实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3）差值比较法： a-b＞0⇔a＞b;a-b=0⇔a=b;a-b＜0⇔a＜b （4）平方比较法： 考点4：实数的运算 1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数. 2．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 3．零次幂;a≠0，则a0=1 4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则. 5.-1的奇偶次幂：； 【题型1：实数的概念】 【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解∶∵零上记作， ∴零下记作， 故选∶ A． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的含义，直接利用数对应的点与原点的距离可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2024·湖南·中考真题）计算： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2024． 【题型2：实数的分类】 【典例2】（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可． 【详解】解：∵，即，，即， 又∵， ∴整数m的值为：3， 故选：B． 【题型3：数轴】 【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 2．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 【题型4：科学计数法】 【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 1．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 2．（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 【题型5：实数的大小比较】 【典例5】（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 正数>0>负数，， ∴ ∴， ∴比小的是． 故选：D． 1．（2024·四川自贡·中考真题）在0，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得： ， ∴在0，，，四个数中，最大的数是， 故选：C． 2．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 3．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 【题型6：平方根、算术平方根和立方根】 【典例6】（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 1．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 【题型7：实数的运算】 【典例7】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2024·浙江·中考真题）计算： 【答案】7 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 3．（2024·湖北·中考真题）计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 1．若，则的值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值，有理数加法和乘法运算法则，理解数轴的性质是解题关键．由数轴可知，，，进而得到，，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， 故选：B． 3．下列各数中，负数的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，正数和负数，先化简再判断正负，小于零的数是负数．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】解： ∴负数共有3个 故选：D． 4．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有，，共2个； 故选：B． 5．8的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，计算即可． 【详解】解：8的算术平方根是； 故选B． 6．下列式子，化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值化简，化简多重符合．根据绝对值定义，和化简多重符合的方法逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 7．若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，以及实数的运算．熟练掌握无理数估算的方法：找到被开方数左右两边相邻的能开方的两个数，是解题的关键． 先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可； 【详解】解：的整数部分用表示， 则， 小数部分用表示， 则， ， 故选：A 8．已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据乘方的逆运算以及绝对值的意义得出符合题意的的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故选：C． 9．下列各组数中结果相同的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、绝对值、相反数，根据乘方的定义、绝对值的性质及相反数的意义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴与结果不相同，该选项不合题意； 、∵， ∴与结果不相同，该选项不合题意； 、∵，， ∴与结果相同，该选项符合题意； 、∵，， ∴与结果不相同，该选项不合题意； 故选：． 10．已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，有理数的加法法则，绝对值的非负性，有理数的乘方，掌握这些知识是解题的关键．根据互为相反数的和为0，结合绝对值的非负性，求出，，再根据乘方的法则求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：8． 11．七年级某班期中考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了 分． 【答案】80 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算． 【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，则，表示得了80分， 故答案为：80． 12．在数轴上点A表示，将点A沿数轴向右移动6个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点左移减，右移加，进行计算即可． 【详解】解：， 则点在数轴上表示数为5， 故答案为：5． 13．比较大小： （填“<”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 14．已知、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值．根据互为相反数的两数之和为，可得，根据互为倒数的两数之积为，可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数， ， 、互为倒数， ． 故答案为： ． 15．立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义即可求解，正确理解立方根，平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：立方根是，的平方根是， 故答案为：，． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．先根据绝对值、乘方、算术平方根和立方根的定义计算，然后进行有理数的加减运算即可． 【详解】解： ． 1．观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，…； 第二行：6，，18，，38，…． 则第二行中的第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律． 由第一行可知，每个数字为完全平方数，即第n个数字为，符号是奇正为负，即，第二行每一个数比第一行对应的数大2，由此得出规律． 【详解】解：解：根据观察的规律， 第一行第n个数是 第二行第n个数是 所以，第二行中的第6个数是； 故答案为：． 2．如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可知，，再根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故选：． 3．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 4．等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，三角形三边关系，同时也考查了方程的应用．通过非负性可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵该三角形是等腰三角形， ∴三边长为7，7，3或3，3，7（不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为． 故选：C． 5．若，则的值可能是（　　） A． B． C．1或5 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除法法则及绝对值化简，根据，得到或，分情况代入化简计算即可． 【详解】解： ， 或， 当时，则， 或，则， 综上，的值为， 故选：B． 6．已知，，且，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，有理数的加法计算，根据绝对值的意义和有理数的加法计算法则确定出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 一、单选题 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据温度零上记为正，则气温零下就记为负解题即可． 【详解】解：某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，则记为． 故选：A． 2．（2024·青海·中考真题）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 3．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 5．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 6．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·广西·中考真题）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．以下记为负数，以上记为正数，温度都小于时，绝对值最大的，温度最低． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 二、解答题 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，零指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可； 【详解】解： ． 10．（2024·西藏·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数核心知识点精讲 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 考点1：实数的分类 考点2：实数的相关概念 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|. 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 7．平方根： （1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 8．立方根： （1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 考点3：实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3）差值比较法： a-b＞0⇔a＞b;a-b=0⇔a=b;a-b＜0⇔a＜b （4）平方比较法： 考点4：实数的运算 1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数. 2．实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 3．零次幂;a≠0，则a0=1 4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则. 5.-1的奇偶次幂：； 【题型1：实数的概念】 【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 3．（2024·湖南·中考真题）计算： ． 【题型2：实数的分类】 【典例2】（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3：数轴】 【典例3】（2024·四川巴中·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 3．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【题型4：科学计数法】 【典例4】（2024·江苏镇江·中考真题）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型5：实数的大小比较】 【典例5】（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 1．（2024·四川自贡·中考真题）在0，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 3．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【题型6：平方根、算术平方根和立方根】 【典例6】（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 1．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（    ） A． B．4 C．2 D． 【题型7：实数的运算】 【典例7】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 2．（2024·浙江·中考真题）计算： 3．（2024·湖北·中考真题）计算： 1．若，则的值是（   ） A．6 B． C． D． 2．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各数中，负数的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．8的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 6．下列式子，化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 9．下列各组数中结果相同的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知与互为相反数，则的值是 ． 11．七年级某班期中考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了 分． 12．在数轴上点A表示，将点A沿数轴向右移动6个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示数为 ． 13．比较大小： （填“<”或“>”）． 14．已知、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ． 15．立方根是 ，的平方根是 ． 16．计算：． 1．观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，…； 第二行：6，，18，，38，…． 则第二行中的第6个数是 ． 2．如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 4．等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 5．若，则的值可能是（　　） A． B． C．1或5 D．或 6．已知，，且，则的值等于 ． 一、单选题 1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海·中考真题）的相反数是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 5．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 7．（2024·广西·中考真题）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 二、解答题 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）计算：． 10．（2024·西藏·中考真题）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$