专题01 相交线与平行线四大压轴模型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题01 相交线与平行线四大压轴模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、猪脚模型 2 类型二、铅笔模型 7 类型三、臭脚模型 14 类型四、骨折模型 23 压轴能力测评（13题） 31 类型一、铅笔模型 【典例1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 【变式1-1】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【变式1-2】（22-23七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， (　　． (　　)． ， 　　(　　)， ， （等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 　　； （3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；（2）；（3）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行选填即可； （2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补可得到； （3）作，如图③，利用平行线的性质得到，，则，所以，从而得到的度数． 【详解】（1）证明：过点作，如图①， （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （作图）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， 即． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等． （2）解：作，如图②，   ， ， ，， ； 故答案为：． （3）解：作，如图③，   ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握性质和判定是做题的关键． 类型二、猪脚模型 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林·期末）（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， （_______________）， （_______________）， （等式的基本性质）， （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；（2）结论：，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的判定和性质证明即可； （2）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：（1）如图①，过点P作． ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等式性质）， ∴． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等； （2）结论：． 理由：由（1）得， ∵平分，平分， ∴， ∴ 【变式2-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)①② (3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）当点P在的左侧时，过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解；当点P在的右侧时，同理可求解； （2）①由（1）知，，即可求解；② ，分别平分和，设：，，即可求解； （3）同理可得，，可得，即可求解； 掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当点P在的左侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 当点P在的右侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 故答案为：， ； （2）解：①由（1）知， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， 故答案为； ②如图3，，分别平分和， 设：， ， 则 ， ， 即：； （3）解：同理可得， ， ， 故：． 【变式2-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)120°； (3)． 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）过B点作，可求得，从而可证，即可证明； （2）过B点作，过F点作，先证明，，再根据平行线的性质即可求解； （3）根据已知条件可导出即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过B点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：； （2）解：如图，过B点作，过F点作， 则， ∴，， ∵，是的角平分线， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 类型三、臭脚模型 【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴ ． 【变式3-1】（22-23八年级上·北京·期末）如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）过点E作直线利用平行线的性质即可解决问题． （3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，过点E作直线． ， ， 又， ． ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点E作直线． ， ， 又， , , ． （3）解：平分， ， 平分， 设， 由（1），得， 由（2），得， 又， ， ， 即． ． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3) ，理由见解析； ． 【分析】（1）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）过点H作根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 此题考查了几何变换综合题，平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 【详解】（1）解： 过点Q作如图： ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 过点Q作如图： ， 即 （3）解：过点H作如图： ， 又∵平分 平分 由（2）可得 ； 理由如下： 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 【详解】（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏南京·期中）我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形． 【基本图形】 （1）如图①，，写出之间的数量关系，并说明理由． 【图形运用】 （2）如图②，，平分平分的反向延长线交于点F．若，求的度数． 【思维拓展】 （3）如图③，，平分平分的反向延长线交于点F．直接写出之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义和平行线的性质得出角的度数解答． （1）延长交于F，根据平行线的性质可得，再由是的外角，可得，从而得出； （2）由角平分线的定义可得，设，则，从而得出，再由，可得，从而得出．最后求解即可； （3）分别延长，相交于点E，由（2）得，再根据平角的定义和三角形内角和求出结论即可． 【详解】（1） 理由：如图①，延长交于F． ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 即； （2）∵平分平分， ∴， 设，则， ∵， ∴由（1）可知，， ∴， 即， ∵， ∴． ∴． ∴． （3） 如图，分别延长，相交于点E， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 即 类型四、骨折模型 【典例4】（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又 ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又 的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，连接，设，，则，，再利用平行线的性质得出，代入计算即可得解． 【详解】解：连接， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴,， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，首先利用平行线的性质定理得到，然后利用同旁内角互补两直线平行得到的度数即可，熟练掌握平行线的性质与判定方法的区别与联系是解决此题的关键． 【详解】解：且， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、正确作出辅助线是解题关键． 过点P作，结合题意可知，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”证得，，然后根据和的度数计算即可． 【详解】解：过点P作，如下图，    ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 6．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的是，第二次拐的是，第三次拐的角是，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的相关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点作，然后根据平行同一直线的两条直线平行，可得，从而得出； 接下来，根据平行线的性质，可得，根据可求出的度数 【详解】过点作， ，， ， ，. ，， ， ； 故选：C 10．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，用到的知识点为：两直线平行内错角相等．先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 12．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作的平行线，过点B作的平行线，由两直线平行，内错角相等可得；再根据两直线平行，同旁内角互补得出，根据图中角的关系求出，即得． 本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”；“两直线平行，内错角相等”．作辅助线．是解题的关键（方法不唯一）． 【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴． 故选：C． 13．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图， ，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． 解：②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线四大压轴模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、猪脚模型 2 类型二、铅笔模型 7 类型三、臭脚模型 14 类型四、骨折模型 23 压轴能力测评（13题） 31 类型一、铅笔模型 【典例1】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【变式1-1】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【变式1-2】（22-23七年级下·甘肃庆阳·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， （已知），（已作）， (　　． (　　)． ， 　　(　　)， ， （等量代换）． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是 　　； （3）解决问题：如图③，，，，请求出的度数． 类型二、猪脚模型 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林·期末）（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， （_______________）， （_______________）， （等式的基本性质）， （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 【变式2-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【变式2-3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出与的数量关系． 类型三、臭脚模型 【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【变式3-1】（22-23八年级上·北京·期末）如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【变式3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏南京·期中）我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形． 【基本图形】 （1）如图①，，写出之间的数量关系，并说明理由． 【图形运用】 （2）如图②，，平分平分的反向延长线交于点F．若，求的度数． 【思维拓展】 （3）如图③，，平分平分的反向延长线交于点F．直接写出之间的数量关系． 类型四、骨折模型 【典例4】（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【变式4-3】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，，若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（   ）时，． A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的是，第二次拐的是，第三次拐的角是，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图， ，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 15．（2024七年级下·全国·专题练习）已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$