专题02 相交线与平行线压轴汇编-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题02 相交线与平行线压轴汇编 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（   ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图， ，点B在上，点F在上，连结，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 11．（23-24七年级下·浙江·期中）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 14．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 17．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 三、解答题 18．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是A：6元；B：7元；C：8元；D：10元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； (2)被抽查学生购买午餐费用的众数为__________元，中位数为____________元； (3)若该校参加“午餐托管”的学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？ 19．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 20．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 22．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 27．（24-25八年级上·江西·开学考试）已知，三角形是一个含角的直角三角形，，，，将顶点M放在直线上，点O在上移动，．     (1)如图1，当点O在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，在点O移动过程中，若．求的度数； (3)当点O在直线上移动（的情形除外）的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 29．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 30．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 31．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 34．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，E、F分别是直线和上的点，，G、H在两条直线之间，且． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，将一角如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，若，，判断，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（n为大于1的整数）如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，连接，若，则 ． 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 37．（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 38．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 39．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 40．（23-24七年级下·全国·期末）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 42．（23-24七年级下·全国·期中）某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、 (1)如图，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请求出的度数． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 45．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，点在上，点为上两点，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)射线绕点每秒的速度顺时针旋转t秒（），当转动至射线后立即以相同速度回转，当第一次与互相平行或垂直时，求t的值； (3)当射线绕点每秒的速度顺时针转动的同时，射线绕点每秒的速度逆时针旋转，当转动至射线时，同时停止转动，请直接写出与互相平行或垂直时t的值． 46．（22-23七年级下·重庆江津·期末）如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 47．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 48．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 49．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 50．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线压轴汇编 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图，当直线b与直线c平行时，直线b与直线夹角锐角是， ， 的邻补角为， 当直线b与直线c平行时，， 直线b绕点A逆时针旋转． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（   ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 【答案】B 【分析】此题考查了角度计算，平行线的性质，一元一次方程的解法．解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补及方程思想的应用； 首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为，由其中一个角的比另一个角少，得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案． 【详解】解：设其中一角为， ∵其中一个角的比另一个角少， ∴另一个角为， ∵两个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补． ①若这两个角相等，如下图，    则， 解得：， ∴这两个角的度数是和； ②若这两个角互补， 如下图，    则， 解得：， ∴这两个角的度数是和． ∴这两个角的度数是、或、． 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是含有角的三角板， ∴，，， ∵是含有的三角板， ∴，， ∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行， ∴有以下三种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为的平分线，即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作交于点Q，根据平分，平分，可得，，即可得．则有．进而可得．则有，即，代入即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点Q， ∵，， ∴，， ∴ 又平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴， 即， ∵， ∴． 故选：A． 7．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，，，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，用到的知识点为：两直线平行内错角相等．先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题 8．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故①、⑤正确； 根据题意得不到， 故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， 故③正确； ∵不一定等于， 故证明不出， 则不一定等于， 故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图， ，点B在上，点F在上，连结，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的数量关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， 平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据条件无法得到，故③错误． 故答案为：①②④ 11．（23-24七年级下·浙江·期中）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：①， ， ，故①正确; ②， ，故②正确； ③， ， ，故③正确； ④， ， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确； 故答案为：①②③④ 12．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 【答案】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；         （2）过点作直线，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 【详解】（1） 过点作,则 而          ∴满足的数量关系是 故答案为： （2） 过点作直线， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以； 因为平分平分， 所以 ． 只同理可证． 以此类推：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的思想解决． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 17．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 18．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是A：6元；B：7元；C：8元；D：10元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； (2)被抽查学生购买午餐费用的众数为__________元，中位数为____________元； (3)若该校参加“午餐托管”的学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？ 【答案】(1)50人，补全条形统计图见详解 (2)8，8 (3)280 【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分比，求出7元的人数，从而补全统计图； （2）根据众数和中位数的定义即可得出答案； （3）用该校的总人数乘以购买10元午餐的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：被抽查的学生人数有：（人， 7元的人数有：（人， 补全统计图如下： （2）出现了19次，出现的次数最多， 众数是8元； 共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数， 中位数是：（元； 故答案为：8，8； （3）根据题意得： （人， 答：估计购买10元午餐的学生有280人． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得 ，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 20．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度 (2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 22．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键． 对于（1），先由材料中的结论得，再根据平行线的定义得，然后根据平行线的性质得，最后代入整理可得结论； 对于（2），作，可得，由上述可得，及，再根据平行线的性质得，即可得，进而得出，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图3，过点作， ∵， ∴， 由结论可得， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 27．（24-25八年级上·江西·开学考试）已知，三角形是一个含角的直角三角形，，，，将顶点M放在直线上，点O在上移动，．     (1)如图1，当点O在直线上移动到某处，测得．求的度数； (2)如图2，在点O移动过程中，若．求的度数； (3)当点O在直线上移动（的情形除外）的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】不同主要考查了平行线的性质： （1）先求出，再由平行线的性质求出的度数，据此可求出答案； （2）先求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补建立方程求解即可； （3）分当在下方时，当在上方时，两种情况根据平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，   ∴， ∵，    ∴， ∵，，   ∴， 解得：． （3）解：①当在下方时， ∵，    ∴， ∵，，， ∴； ②当在上方时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 整理得：， 综上：或． 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案； （3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 29．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 30．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 31．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点E放在直线上，把三角尺的直角顶点H放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【拓展探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点F时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，特殊三角形的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）利用角之间的和差关系求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）猜想：． 理由：如图③中， 由（2）可知，， ， ， ， ． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 33．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 34．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，E、F分别是直线和上的点，，G、H在两条直线之间，且． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，将一角如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，若，，判断，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（n为大于1的整数）如图放置，交于E，交于F，设K为上一点，连接，若，则 ． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和角度和差倍积关系． （1）作直线交直线于点M，交直线于点Q，则，那么，； （2）延长交直线于点M，则，设，则，，，即有，故； （3）作，则，，即，且，即，进一步得，那么，，则有． 【详解】（1）解：作直线交直线于点M，交直线于点Q，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 延长交直线于点M，如图2， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即； （3）解：作，如图3， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；③ 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）对顶角得到，，则，进而可得结果； （2）①根据解题过程进行作答即可；②如图3，过点P作，求解过程同①；③如图4，过点P作，求解过程同①． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：平行； （2）①解：如图2、过点P作， 则（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），（作图）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴． ∴（等式的性质）． 即； 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质； ②解：； 如图3，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴； ③解：， 如图4，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴， ． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 37．（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 38．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 39．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 40．（23-24七年级下·全国·期末）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图1，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图2，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图3，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）①； 理由如下： ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图①，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 过点F作，同理可得，； （2）如图②，过点作， 设， ， 平分， ， ， ∵，， ∴， ， 平分， ， 过点F作，同理可得，． 42．（23-24七年级下·全国·期中）某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)， (2)15秒或秒 (3)不变， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差、非负数的性质等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0成为解题的关键． （1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此求解即可； （2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解即可； （3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出和，然后求出其比值即可解得． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴． （2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，解得：； ②当时，解得：； ③当时，解得：，则舍去. 综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平． （3）解：不变， 设灯A转动t秒， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、 (1)如图，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，余角、补角的定义以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先过点作，由平行线的性质可得，又由，即可证得，则，继而证得结论； （2）过点作，可得，由（1）得，根据平行公理可以得到，根据平行线的性质可以得到，由，，、分别平分、可以得出，，由可以得出答案； （3）首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， 由（1）得 ， ， ， ， 、分别平分、， ，， ，， ，， ； （3）解：设，， ，与的平分线交于点， ，，，， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，， 的余角等于的补角， ， 解得：， ． 45．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，点在上，点为上两点，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)射线绕点每秒的速度顺时针旋转t秒（），当转动至射线后立即以相同速度回转，当第一次与互相平行或垂直时，求t的值； (3)当射线绕点每秒的速度顺时针转动的同时，射线绕点每秒的速度逆时针旋转，当转动至射线时，同时停止转动，请直接写出与互相平行或垂直时t的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，6，，15或或24． 【分析】（1）由知再利用即可求解； （2）当时，可求出既而得出可求值； （3）设与互相平行或垂直时间为t秒，分情况解答即可． 本题主要考查了平行线的性质和判定，利用了垂直的定义和角平分线的定义，关键在于分情况讨论求值． 【详解】（1）解： ∵ ， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，此时时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，此时， ∵，， ∴， 解得：； （3）解：设与互相平行或垂直时间为t秒，射线绕B点每秒的速度顺时针转动， 同时，射线绕A点每秒的速度逆时针旋转， 第一次时，如图1， ∴， 解得：； 第一次时，如图2， ∴， 解得：； 第二次时，如图3， ∴，   解得：； 第二次时，如图4， ∴， 解得：， 第三次时，如图5， ∴， 解得：， 第三次时，如图6， ∴ 解得： 当时，运动回到起点，运动到， 和此时平行； 故t的值可能是：，6，，15或或24． 46．（22-23七年级下·重庆江津·期末）如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题关键是两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行． （1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出，再根据，即可得到，进而得到； （2）①先设，则，，根据平分，可得，再根据，可得方程，进而解得．②设，，则，根据即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ，分别是与的平分线， ，， ， 即， 又， ， ； （2）①设， 则，， 平分， ， 又， ， 解得． ②猜想：， 设，， ，， 则， ， ， 是的平分线， ∴， ∴， ． 47．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的值随的变化而变化；的度数为不变 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． （1）过B作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）首先设，过点B作，过点F作，根据平行线的性质，可得，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． （3）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据，列式表示出，从而判定②正确． 【详解】（1）解：， 理由：过B作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵与的平分线交于点F， ∴， 过点B作，过点F作，    ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵的余角等于的补角， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵点P是上一点， ∴， ∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 48．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合题意得出，即可得出结论； （2）①由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而求出，再由平行线的性质即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②如图，当点在点的左侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 综上所述，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，． 49．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究]；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 50．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论； （2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论； （3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：分别过点作的平行线， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点P作，过点H作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$