第12讲 数据分析初步（7大知识点+13大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第12讲 数据分析初步（7大知识点+13大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平均数的概念； 2．掌握中位数、众数的概念； 3．掌握方差、极差、标准差的概念。 知识点01：平均数 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 知识点02：中位数 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 知识点03：众数 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 知识点04：方差 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识点05：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点06：极差 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点07：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 考点一：求一个数据的平均数 例1．已知样本的平均数是2，则的平均数为（    ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了求算数平均数．根据题意可得，再根据算数平均数的算法，即可求解． 【详解】解：∵样本的平均数是2， ∴， ∴． 故选：D 【变式1-1】数据“3，4，5”的平均数为，添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为，若，则添加的数据为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平均数的定义，指的是一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，确定总数量以及与总数量对应的总个数是解题的关键．依据平均数的定义和公式计算添加数据前后的平均数求解即可． 【详解】解：∵数据“3，4，5”的平均数为， ∴， 设添加的数据为， ∴， 解得：， 故选C 【变式1-2】已知一组数，，的平均数为2，则，，的平均数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查计算平均数．掌握平均数的计算公式是解题关键．根据、、的平均数为2可得，再列出计算，，的平均数的代数式，整理即可得出答案． 【详解】解：∵、、的平均数为2， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式1-3】一组数据：3，6，2，7，1，8的平均数是 ； 【答案】 【分析】本题考查平均数的计算，平均数等于这组数据的总和除以数据的个数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】∵一组数据：3，6，2，7，1，8 ∴平均数为． 故答案为：． 【变式1-4】一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查正负数的意义解决实际问题，读懂题意，理解正负数表示的成绩，由有理数计算法则求解即可得到答案． （1）由成绩记录表，得到百米测验，成绩达标的同学人数为人，计算百分比即可得到答案； （2）由成绩记录表中的数据，计算出平均值，再加上达标成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：成绩记录表中第二个、第三个、第六个、第七个男生的成绩均达到或超过17秒， 百米测验，成绩达标的同学人数为人， 这个小组男生的达标率为， 故答案为：； （2）解：这个小组男生的平均成绩为： （秒）， 答：这个小组男生的平均成绩为秒． 考点二：已知平均数求未知数据的值 例2.已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（   ） A．93 B．95 C．94 D．96 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，根据平均数计算公式进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小华的数学成绩为93分， 故选；A． 【变式2-1】某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了平均数的求法，根据平均数的求法列出式子即可求出x的值． 【详解】解：由平均数的计算公式可得， 解得， 故选：D． 【变式2-2】若一组数据6、7、、8的平均数是7，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，根据一组数据6、7、、8的平均数是7，得出，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一组数据6、7、、8的平均数是7， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式2-3】有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平均数，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 故答案为：5． 【变式2-4】某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级6个班每班参赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到平均每班获奖15人，并制作成如图所示不完整的折线统计图 (1)请求出三班获奖人数，并将折线统计图补充完整； (2)若二班获奖人数占班级参赛人数的，求全年级参赛人数是多少？ 【答案】(1)13人；图见解析 (2)300人 【分析】（1）根据平均数求出总数，再利用总数减去其他班级获奖人数之和，即可得解； （2）利用百分比等于频数除以总数，得到二班参赛人数，再乘以6，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得：六个班的总人数为：（人）， 三班获奖人数为：（人）； 补全图形如下： （2）解：二班参赛人数：人， ∵6个班每班参赛人数相同， ∴全年级参赛人数：人． 【点睛】本题考查了折线图，以及平均数．正确的识图，从折线图中获取有效信息，是解题的关键． 考点三：求加权平均数 例3.体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可，解题的关键是明确加权平均数的计算方法． 【详解】解：由题意可得， 小明这学期的体育成绩为分， 故选：． 【变式3-1】某公司招聘英语翻译，小明前去应聘．测试内容包含听、说、读、写四科（其中“听”占总成绩的，“说”占总成绩的，“读”占总成绩的，“写”占总成绩的），四科的满分都为分．小明的测试成绩如下表： 考试成绩 听 说 读 写 小明 95 90 85 85 小明的最终成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了加权平均数．每项得分乘以对应的权重然后求和即可． 【详解】解：由题意可得，（分）， 故选：C 【变式3-2】学校从德、智、体、美、劳五方面对学生评定，按的比例确定最终成绩，小红同学本学期德、智、体、美、劳五方面的成绩分别为10分、8分、9分、9分、10分，则小红的最终得分为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，小红的最终得分为：分． 故答案为：9． 【变式3-3】小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是 分． 【答案】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，结合小明的期末考试成绩，求出小明的数学成绩即可． 【详解】解：小明的数学成绩是（分）． 故答案为：． 【变式3-4】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数，分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案． 【详解】甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ， 被录用的是甲， 故答案为：甲． 考点四：利用平均数做决策 例4.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的计算．利用加权平均数计算总成绩，比较判断即可． 【详解】解：根据题意，得： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：； 故选：B． 【变式4-1】厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：甲的综合分：（分）， 乙的综合分：（分）， 丙的综合分：（分）， 丁的综合分：（分）， 则最终录用的应聘者是是乙， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 【变式4-2】某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数的知识．根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， （分）； 甲将被录用． 故答案为：甲． 【变式4-3】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为 同学将被录取． 【答案】乙 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：甲的总成绩为， 乙的总成绩为， ∵， ∴乙同学被录取， 故答案为：乙． 【变式4-4】某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图． (1)分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用； (2)若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用． 【答案】(1)甲 (2)7，8，乙 【分析】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析． （1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可； （2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲三项成绩之和为：（分）， 乙三项成绩之和为：（分）， ∵， ∴会录用甲． 故答案为：甲； （2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为： （分）， 乙三项成绩之加权平均数为： （分）， ∵， ∴乙被录用． 故答案为：7，8，乙． 考点五：中位数和众数 例5.一组数据：0，10，3，5，3，5，2，1的中位数是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数． 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，， 最中间两个数的平均数是：， 则中位数是， 故选B． 【变式5-1】某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查中位数和众数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 根据中位数、众数的定义进行求解即可． 【详解】解：这名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个，第个数据的平均数即， 这名学生成绩中出现的次数最多，共出现次，即众数为， 故选：C． 【变式5-2】某校组织“欢度国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的中位数为 ． 【答案】58 【分析】本题主要查了求中位数．根据中位数的定义解答，即可求解． 【详解】解：把这一组数从大到小排列为60，58， 58，56，位于正中间的两个数分别为58， 58， ∴这组数据的中位数为． 故答案为：58 【变式5-3】某公司销售部有销售人员27人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这27人某月的销售情况如下表： 销售量/件 500 450 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 5 该公司销售人员这个月销售量的众数是 件，中位数是 件． 【答案】 300 350 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数及众数．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而做错．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据数据是奇数个还是偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可求众数；根据中位数的定义求解，有27个数据，第14个数就是中位数． 【详解】解：销售300件的有7人，最多，故众数为300． 27个数据的中位数应是这组数据从小到大依次排列后的第14个数，应是350件． 故答案为：300；350． 【变式5-4】某区为调查学生安全知识水平，对某一所学校选取了20人进行了测试．成绩分别为图表所示． 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 3 2 1 3 2 1 (1)已知统计图属于______图，易于显示______的差别． (2)表格中的值为______，若设测评成绩及其中位数为，．若为成绩合格，为成绩良好，为成绩优秀．请求出图中，以及的值． 【答案】(1)扇形统计，各部分占总体的百分比的大小 (2)5，，， 【分析】本题考查统计表和扇形统计图、中位数，理解扇形统计图的特点是解答的关键． （1）根据扇形统计图的特点解答即可； （2）由抽样调查人数减去其它已知人数可求得a值；再根据对应人数除以抽样调查总人数可求解m、n值，然后利用中位数的定义求解k值即可． 【详解】（1）解：由题意，已知统计图属于扇形统计图，易于显示各部分占总体的百分比的大小， 故答案为：扇形统计，各部分占总体的百分比的大小； （2）解：由题意，， 成绩合格人数为（人），则， 成绩优秀人数为（人），， ∴，， ∵20个数据从小到大排列，处于第10个和第11个数据都是91， ∴中位数． 故答案为：． 考点六：利用中位数做决策 例6.某班数学考试后，同学们很关心自己的成绩水平，为了让学生估计自己的成绩水平，老师应该公布成绩的哪些统计量（    ） A．中位数和平均数 B．众数和中位数 C．方差 D．众数和平均数 【答案】A 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．根据同学们应了解全班的成绩平均数以及全部成绩的中位数即可求解． 【详解】解：某班数学考试后，同学们很关心自己的成绩水平，为了让学生估计自己的成绩水平，老师应该公布成绩的中位数和平均数． 故选：A． 【变式6-1】某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 【答案】A 【分析】本题考查了统计量的选择的知识，根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项，解题的关键是了解有关统计量的意义． 【详解】解：∵数据的极差较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数和众数， 故选：． 【变式6-2】已知某次测验的最高分、最低分、平均分、中位数、众数，同学甲要知道自己的成绩，属于班级中较高的一半还是较低的一半，应该利用上述数值中的 ． 【答案】中位数 【分析】此题主要考查中位数的意义，反映数据集中程度．根据中位数的意义：即最中间的数据；由题意可得：同学甲要知道自己的成绩，属于班级中较高的一半还是较低的一半，只需知道中位数即可． 【详解】解：由于中位数是数据中最中间的数，故要知道自己的成绩，属于班级中较高的一半还是较低的一半，应该利用数据的中位数来判断． 故答案为：中位数． 【变式6-3】某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 ．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【答案】中位数 【分析】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故答案为：中位数． 【变式6-4】某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______； (3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 【答案】(1)23 (2)77.5 (3)甲 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义． （1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案． 【详解】（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人； 故答案为：23； （2）解：七年级学生成绩的中位数（分； 故答案为：77.5； （3）解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数； 故答案为：甲． 考点七：利用众数做决策 例7.某商店销售5种领口大小（单位：）分别为38，39，40，41，42的衬衫． 为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图的扇形统计图． 你认为该商店应多购进的衬衫的领口大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查扇形统计图的应用，根据扇形统计图中的数据，可知占比例最大是众数，即可得答案． 【详解】解：根据扇形统计图中的数据，所占比例最大， 所以众数为, ∴该商店应多进领口大小的衬衫． 故选：C． 【变式7-1】某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】进货量最多的应该是销量最多的，故求出众数即可． 【详解】解：由题意可知，销量最多的是， 建议下次进货量最多的女鞋尺码是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了条形统计图以及众数，熟练掌握众数的定义是解答本题的关键． 【变式7-2】名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标 是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【答案】众数 【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即可求解，掌握众数的意义是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数， 故答案为：众数． 【变式7-3】某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的 ．（填描述数据集中程度的词） 【答案】众数 【分析】本题考查了众数，根据众数说明的是数据中的多数情况即可得出答案． 【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，故应该关注该校女生身高的众数， 故答案为：众数． 【变式7-4】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 (1)学生成绩统计表中______，______； (2)求七年级学生成绩的平均数m； (3)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 【答案】(1)8， (2) (3)七年级；理由见解析 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【详解】（1）解：观察扇形统计图得：得8分的人数最多， ∴； 根据题意得：位于第10位，11位的分别为7分，8分， ∴； 故答案为：8；7.5 （2）解：七年级学生成绩的平均数； （3）解：七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好． 考点八：求方差 例8.已知一个样本，，，，，平均数为，则这个样本的方差是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平均数以及方差的定义，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解． 【详解】解：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差． 故选：D． 【变式8-1】小明计算出一组数据的方差为，小丽将这组数据中每个数据都除以，所得新数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方差的计算，设个数据，，，…，的平均数为，则方差，进行计算比较即可，解题的关键是熟记方差计算公式． 【详解】解：设，，，…，的平均数为，则方差， 由于小丽将这组数据中每个数据都除以， ∴ ， 故选：． 【变式8-2】已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．根据方差的计算方法进行即可求解． 【详解】解：数据的方差是4，设数据的平均数为， ∴， ∴， 设一组新数据，，…，的平均数为， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【变式8-3】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据，，……，的方差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了方差的定义．根据方差的特点：若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据、、……、的方差是； 故答案为：8． 【变式8-4】一组数据1，3，2，的众数为2， (1)求； (2)请计算这组数据的方差． 【答案】(1)2； (2)． 【分析】本题考查了众数的定义，求平均数，求方差，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）出现的次数最多的数就是众数，据此即可作答． （2）先求出平均数是，再结合方差公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵数据1，3，2，x的众数是2， ∴； （2）解：这组数据的平均数是． ∴． 考点九：根据方差判断稳定性 例9.甲、乙两块地块各种植相同长度的10行小麦，下列关于每块地的每一行的小麦的平均收成和收成的方差的描述中，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．根据平均数、方差的定义，平均数越高收成越好，方差越小越稳定解答即可． 【详解】解：根据平均数越高收成越好，方差越小越稳定，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是且， 故选：． 【变式9-1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，算术平均数，根据方差越小越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故选：D． 【变式9-2】明年年将在粤港澳大湾区举办第十五届全国运动会．为备战此次全运会，湖南省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，方差分别是，，，应该选 参加全运会．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个） 【答案】丙 【分析】本题考查了方差．方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 【详解】解：甲、乙、丙的平均成绩均为环， 但是丙的方差小，方差越小成绩越稳定， 应选丙参加全运会． 故答案为：丙 ． 【变式9-3】为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙种秧苗长势更整齐， 故答案为：乙． 【变式9-4】某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)这40个学生成绩的中位数是______． (4)经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】(1) (2)分 (3)8分 (4)乙组的方差为，乙组的成绩比较整齐 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲、乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）先计算出乙的方差，根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【详解】（1）解：根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为8分的人数最多，乙成绩中得分为8分的人数最多， 甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； （2）解：乙组的平均成绩为（分）； （3）解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； （4）解：乙组的方程为 ∵甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， ∴乙组的成绩比较整齐． 考点十：运用方差做决策 例10.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】此题主要考查利用平均数、方差作决策，先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选B． 【变式10-1】甲、乙、丙三名射击运动员进行射击测试，每人10次射击绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） 甲 乙 丙 9 8 9 1.2 0.4 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【详解】解：∵甲、丙的平均数相同，且高与乙， ∴从甲、丙中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择甲运动员； 故选：A． 【变式10-2】团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案，解题的关键是正确理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴应选甲， 故答案为：甲． 【变式10-3】下列几种说法： ①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态； ②标准差不可能是0； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20； ④某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【答案】2 【分析】本题考查科学计算器的使用、方差、标准差的相关知识，熟知相关知识及计算器的使用是正确解决本题的关键． 按科学计算器的使用方法及方差、标准差的概念、计算方法逐一判断各说法即可． 【详解】 解：①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态是正确的； ②当各个数据相等时，标准差是0，此说法错误； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是，此说法正确； ④从两名跳远运动员10次的成绩来看，乙运动员成绩达到的次数多于甲运动员，成绩也比甲运动员高，更有可能打破记录，应该选乙参加这项比赛．此说法不正确． 因此正确的说法有两个， 故答案为：2. 【变式10-4】为进一步提升学生数学核心素养，落实双减提质，某校八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现从八年级一班和二班参与竞赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：，，． 下面给出了部分信息： 一班10名学生的竞赛成绩为：75，75，84，84，84，86，86，94，95，97； 二班10名学生的竞赛成绩为：86，85，85，85，96，92，94，76，75，86． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 方差 一班 86 85 52 二班 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)求的值； (3)根据以上数据，你认为在此知识竞赛中，哪个班的成绩更稳定？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)二班的成绩更稳定，理由见解析 【分析】（）根据中位数，众数的定义及计算方法即可求解； （）根据平均数的计算方法即可求解； （）运用方差作决策即可； 本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握平均数，中位数，众数的定义及计算方法，运用方差作决策的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：一班名学生的竞赛成绩为：75，75，84，84，84，86，86，94，95，97， ∴出现次数最多的是， ∴； 二班名学生的竞赛成绩为：86，85，85，85，96，92，94，76，75，86， ∴成绩从小到大的排序为：75，76，85，85，85，86，86，92，94，96， ∴中位数； 故答案为：，； （2）解：二班名学生的竞赛成绩为：86，85，85，85，96，92，94，76，75，86， ∴； （3）解：二班的成绩更稳定，理由， ∵， ∴二班的成绩更稳定． 考点十一：标准差 例11.已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（    ） A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3 【答案】A 【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方差及标准差公式求出方差． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差， 标准差， 故选：A． 【变式11-1】若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准差是方差的算术平方根即可解答． 【详解】解：∵一组数据的方差为2，标准差S是方差的算术平方根， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查方差与标准差定义和计算公式，正确的记忆方差公式是解题关键． 【变式11-2】若数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据5、6、7、8、9的平均数为， 方差为， 标准差． 故答案为：． 【变式11-3】小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值． 【详解】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 【变式11-4】某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【答案】(1)2；2 (2) 【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差： （1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解； （2）根据标准差的计算公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2； ∵全班40位同学， ∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2， ∴中位数也是2． 故答案为：2；2． （2）解：平均数为， 全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为 ． 考点十二：极差 例12.已知一组数据：，，，，，下列说法不正确的是(  ) A．平均数是 B．极差是 C．众数是 D．中位数是 【答案】D 【分析】分别计算出平均数、极差、众数、中位数，从而得出答案． 【详解】解：A、平均数是，此选项正确，不合题意； B、极差为，此选项正确，不合题意； C、出现的次数最多，有次，即众数为，此选项正确，不合题意； ，从小到大排列为、、、、，则中位数为，此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数据的平均数、中位数、众数及极差，解题的关键是熟记相关的定义与公式，确定中位数时一定要按大小重新排列． 【变式12-1】阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A．极差是6 B．中位数是5 C．众数是6 D．平均数是5 【答案】B 【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数，解题的关键是熟记相关概念并灵活运用．分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可． 【详解】解：A．极差，故选项不符合题意； B．中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意； C．5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意； D．平均数为，故选项不符合题意， 故选：B． 【变式12-2】某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为17，最小值为10， 所以这5天中该市最低气温的极差为， 故答案为：7． 【变式12-3】已知一组数据：15，18，16，13，12，15，17，则极差为 ． 【答案】6 【分析】找到最大数据和最小数据，根据极差的定义即可得． 本题主要考查极差的定义，解题的关键是掌握极差的定义． 【详解】解：这组数中最大的是18，最小的是12， ∴极差为：， 故答案为：6． 【变式12-4】小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．试分别求出五次成绩的极差和方差．    【答案】极差是30，方差是100 【分析】根据极差的定义用最大值减去最小值即可；先求出平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：极差是：； 平均数是：（分）， 方差：． 【点睛】此题考查了极差和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；极差的定义是用最大值减去最小值． 考点十三：数据分析初步大题 例13.某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛成绩各选出10名选手参加学校决赛，成绩如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 90 39 八年级 90 (1)直接写出，，的值； (2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级选手的决赛成绩好． 【答案】(1)；； (2)八年级选手的决赛成绩好 【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差，利用平均数作决策，掌握计算方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数，方差的计算方法求解即可； （2）中位数相同，比较平均数即可． 【详解】（1）解：八年级的平均数为： ， 因为90出现的次数最多，所以， ． （2）解：由表格可知，七年级与八年级选手的中位数相同，八年级选手成绩的平均数较高，所以八年级选手的决赛成绩较好． 【变式13-1】知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．学校为鼓励学生假期在家阅读，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况进行统计，如图所示： (1)将条形统计图补充完整，所抽查同学读书本数的众数是______本，中位数是______本； (2)求所抽查同学读书本数的平均数； (3)在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？ 【答案】(1)见解析，10，12.5； (2)13.1； (3)400人． 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）用条形统计图中读书本数为15本的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽查的学生人数，再用抽查的学生人数分别减去读书本数为5，15，20，25本的人数，可得读书本数为10本的人数，补全条形统计图即可；根据众数、中位数的定义可得答案． （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据用样本估计总体，用800乘以样本中读书15本及以上的人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：抽查的学生人数为（人）， 读书本数为10本的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 所抽查同学读书本数的众数是10本， 将所抽查同学的读书本数按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的读书本数为10本和15本． 所抽查同学读书本数的中位数是 (本)， 故答案为∶10，12.5； （2）解：所抽查同学读书本数的平均数为 （本）； （3）解：（名）， 答：在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有400人． 【变式13-2】某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9．7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为． (1)当按照“方案二”中评分时，求节目的得分； (2)关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当时，节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 【答案】(1) (2)正确的有②③ 【分析】本题主要考查平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义，是解题的关键． （1）根据，直接代入数据，即可求解； （2）根据对①②③进行判断，即可得到结论． 【详解】（1），，，， ， 节目的得分为：； （2）解：①当时，节目按照“方案二”的评分结果，与“方案一”的评分结果不一样，故原说法错误； ②当时，说明专业评委的权重占比大于大众评委的权重，即“方案二”评分更注重节目的专业性，故原说法正确； ③当时，节目按照“方案二”评分的结果，比“方案一”高，故原说法正确； 综上所述：②③正确． 【变式13-3】某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意；非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)有800名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计对款自动洗车设备“比较满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)88，98 (2)120人 (3)款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见详解（答案不唯一） 【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，再根据中位数和众数的定义求得，； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． 【详解】（1）解：依题意，款设备的“满意”的百分比是， 则， ∴， 由题意得，把款设备的评分数据从小到大排列，“非常满意”的有（人） 故排在中间的两个数是按从小到大排列在“满意”的最后两个数，即87，89， 故中位数； 在款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数． 故答案为：88，98； （2）解：由（1）知：； 故（人）， 答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为120人； （3）解：款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一），理由如下： 依题意，两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但款自动洗车设备的评分数据的中位数比款高， ∴款自动洗车设备更受消费者欢迎． 【变式13-4】某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图； (2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩； (3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？ 【答案】(1)60，见解析 (2)分 (3)1530名 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握由样本百分比估算总体数量，加权平均数的计算是解题的关键． （1）根据优秀组的人数及百分比即可求解； （2）根据加权平均数的计算方法即可求解； （3）先算出抽样中良好及以上的百分比，再根据样本百分比估算总体数的方法即可求解． 【详解】（1）解：直方图中优秀组的人数为人，扇形统计图中优秀的百分比为， ∴（人）， ∴抽取的学生人数为人， ∴中等组的人数为：（人）， ∴补全直方图如下， （2）解：合格组的平均值为，人数是人， 中等组的平均值为，人数是人， 良好组的平均值为，人数为人， 优秀组的平均值为，人数为人， ∴， ∴所抽取学生的平均成绩为； （3）解：抽样中成绩在良好以上（）的学生约有（人）， ∴（人）， ∴该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有名． 1．一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，5 【答案】A 【分析】本题考查了众数、平均数与中位数；根据平均数求出x，即可求得众数与中位数． 【详解】解：由于一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5， ∴， 解得：， 即这组数据为：4，4，5，5，4，6，7，显然4出现的次数最多，即众数为4； 把这组数据按大小排列得：4，4，4，5，5，6，7，处于中间位置的数是5，即中位数为5； 故选：A． 2．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取该市50名中学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则被抽取的这50名中学生视力情况的中位数是（   ） A．4.7 B．13 C．4.8 D．4.9 【答案】C 【分析】本题考查求一组数据的中位数和众数，正确从条形统计图中获取信息是解题的关键． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，将50名中学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8， 故选：C． 3．甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量（单位：个）如表： 时间 次品个数 机床 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 甲 1 1 1 0 2 乙 0 1 2 0 2 甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为，，方差分别为，，则正确的结论是   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平均数、方差，根据平均数及方差公式计算出，，，，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ，． 故选：． 4．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：秒） 52 m 53 49 方差（单位：秒） n 根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，熟悉掌握理解平均数与方差的概念是解题的关键． 根据平均数与方差的概念，对比四个选项中的数值即可解答． 【详解】解：对比四个选项的平均数可得：，平均数越小，成绩越好，因此； 对比四个选项的方差可得：，方差越小，发挥越稳定，因此； 故则m，n的值可以是，； 故选：D． 5．某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（   ） A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】C 【分析】本题考查了求一组数的平均数，根据求平均数的公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60， ∴， ∴这组数据的平均数为58， 故选：C． 6．一组数据：，这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数据的方差，先求出数据的平均数，再根据方差公式计算即可求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数， ∴， 故答案为：． 7．若个数，，…的平均数是，则，，…，的平均数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数的定义即可求解，熟练掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解决此题的关键． 【详解】解：∵个数，，…的平均数是， , , ,,…….,平均数 ， 故答案为：4． 8．在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 9．在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期末成绩分别为分，分，则小颖本学期的学业成绩为 ． 【答案】分 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：小颖本学期的学业成绩为分， 故答案为：分． 10．为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数、中位数、极差、众数、方差等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平均数、中位数、极差、众数、方差的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：这组数据的平均数为：，故错误； 这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 所以中位数为，故正确； 这组数据的最大值为，最小值为， 所以极差为，故错误； 这组数据出现次数最多的数据为， 所以众数为，故正确； 由知平均数为， 所以方差，故错误； 故答案为：． 11．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件，对其使用寿命跟踪调查．结果如下（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果来判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数的哪一种集中趋势的特征数． 【答案】甲厂家在广告中运用了众数，乙厂家在广告中运用了平均数，丙厂家在广告中运用了中位数 【分析】本题主要考查了众数、中位数和平均数，根据平均数、中位数和众数的定义分别求出甲、乙、丙三个厂家样本的平均数、中位数和众数，进而即可得解，熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：∵甲厂家样本的平均数为，中位数为，众数为8， 乙厂家样本的平均数为，中位数为，众数为6， 丙厂家样本的平均数为，中位数为=8，众数为3， ∴甲厂家在广告中运用了众数，乙厂家在广告中运用了平均数，丙厂家在广告中运用了中位数． 12．为了解学生对交通安全知识的掌握情况，某校七、八年级举行了“交通安全知识竞赛”，满分10分，6分及以上为合格． 【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级20名学生的成绩绘成条形统计图，如下图所示． 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如上表所示．请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)表中________，_______，_______； (2)该校八年级共600名学生参加了此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数； 【答案】(1)7.5，7，7.5 (2)估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可． 【详解】（1）解：（分， 七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即， 将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数是7.5分，即， 故答案为：7.5，7，7.5； （2）解：（名， 答：估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 13．如图1，一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点，A，B，C，D，E五名学生，每人随机投掷这枚骰子5次，投掷结束后，将每次掷出的骰子朝上面的点数求和．根据他们各自累积求和的结果绘制成如图2所示的不完整的条形统计图． (1)E同学连续投掷五次正方体骰子，其中三次掷得点数为4，直接写出另外两次投掷的点数分别是多少（不考虑投掷顺序）； (2)已知这五名学生各自累积求和的结果的平均数为17， ①补全条形统计图； ②若D同学五次投掷的点数中，唯一众数是3且不为中位数，求D同学五次投掷的点数的中位数． 【答案】(1)和 (2)①补全图见详解；② 【分析】本题考查了条形统计图，平均数、众数、中位数的定义等； （1）可求另外两次投掷的点数和为，即可求解； （2）①设D同学五次投掷的点数和为，由平均数的定义得 ，求出D同学五次投掷的点数和为，补全图，即可求解；②由众数和中位数的定义得数字有2个，且是最小的数字，可求另个数字和为、、，即可求解； 能从条形统计图中获取信息，利用平均数、众数、中位数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得E同学连续投掷五次的点数和为， 另外两次投掷的点数和为， 另外两次投掷的点数分别是和； （2）解：①设D同学五次投掷的点数和为，则有 ， 解得：， D同学五次投掷的点数和为， 补全图，如下： ②共投掷次，产生个数，唯一众数是3且不为中位数， 数字有2个，且是最小的数字， D同学五次投掷的点数和为， 另个数字和为， 另个数字为、、， D同学五次投掷的点数的中位数是． 14．某校要派两个代表队去参加区健美操大赛，每个队有8名同学，现统计了她们的身高（单位：cm），数据整理如下： a． 甲队 163 166 167 169 169 171 172 174 乙队 163 165 166 169 171 171 173 178 b．每队8名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲队 168.875 169 169 乙队 169.5 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值； (2)如果某队选手的身高的方差越小，则认为该队选手的身高比较整齐．据此推断，在甲队和乙队的选手中，身高比较整齐的是　　　队（填“甲”或“乙”）； (3)甲队的6位首发选手的身高分别为166，167，169，169，171，172．如果乙队已经选出5位首发选手，身高分别为166，169，171，171，173，要使得乙队6位选手的平均身高不低于甲队6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是　　　cm． 【答案】(1) (2)甲 (3)165 【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答； （2）根据方差的概念，即可作答； （3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高． 【详解】（1）解：乙队数据从小到大排列为163、165、166、169、171、171、173、178， 从中可以看出一共八个数，第四个数据为169、第五个数据为171，所以这组数据的中位数为：，故； 其中171出现的次数最多，所以这组数的众数为171，故； （2）解：根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然． 甲队的身高分布于，乙队的身高分布于， 从中可以看出，甲队的数据较乙队的数据波动较小，更加稳定，所以甲队的选手身高比较整齐， 故答案为：甲； （3）解：（厘米）， 设乙队第六位选手的身高为x厘米，则， 解得， 据此，第六位可选的人员身高为165， 若为165时，乙班的身高数据分布于，若为178时，乙班的身高数据分布于， 从中可以看出当身高为165时的数据波动更小，更加稳定， 所以第六位选手的身高应该是165厘米， 故答案为：165． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记相关概念是解题的关键． 15．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，第位是3，第位数是4， ∴中位数， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 数据分析初步（7大知识点+13大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平均数的概念； 2．掌握中位数、众数的概念； 3．掌握方差、极差、标准差的概念。 知识点01：平均数 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 知识点02：中位数 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 知识点03：众数 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。 知识点04：方差 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。 知识点05：标准差 方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。 知识点06：极差 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点07：方差与平均数的性质 若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有： 1 x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b； ② ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a； ③ ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b。 考点一：求一个数据的平均数 例1．已知样本的平均数是2，则的平均数为（    ） A．2 B． C．3 D．5 【变式1-1】数据“3，4，5”的平均数为，添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为，若，则添加的数据为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】已知一组数，，的平均数为2，则，，的平均数为 ． 【变式1-3】一组数据：3，6，2，7，1，8的平均数是 ； 【变式1-4】一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 考点二：已知平均数求未知数据的值 例2.已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（   ） A．93 B．95 C．94 D．96 【变式2-1】某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】若一组数据6、7、、8的平均数是7，则的值为 ． 【变式2-3】有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ． 【变式2-4】某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级6个班每班参赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到平均每班获奖15人，并制作成如图所示不完整的折线统计图 (1)请求出三班获奖人数，并将折线统计图补充完整； (2)若二班获奖人数占班级参赛人数的，求全年级参赛人数是多少？ 考点三：求加权平均数 例3.体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】某公司招聘英语翻译，小明前去应聘．测试内容包含听、说、读、写四科（其中“听”占总成绩的，“说”占总成绩的，“读”占总成绩的，“写”占总成绩的），四科的满分都为分．小明的测试成绩如下表： 考试成绩 听 说 读 写 小明 95 90 85 85 小明的最终成绩是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】学校从德、智、体、美、劳五方面对学生评定，按的比例确定最终成绩，小红同学本学期德、智、体、美、劳五方面的成绩分别为10分、8分、9分、9分、10分，则小红的最终得分为 ． 【变式3-3】小明本学期数学综合实践活动、期中考试和期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，若将上述三项成绩按计算，则小明本学期的数学成绩是 分． 【变式3-4】某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取． 考点四：利用平均数做决策 例4.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4-1】厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4-2】某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是 ． 【变式4-3】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为 同学将被录取． 【变式4-4】某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图． (1)分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用； (2)若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用． 考点五：中位数和众数 例5.一组数据：0，10，3，5，3，5，2，1的中位数是（　　） A． B．3 C． D．5 【变式5-1】某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】某校组织“欢度国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的中位数为 ． 【变式5-3】某公司销售部有销售人员27人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这27人某月的销售情况如下表： 销售量/件 500 450 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 5 该公司销售人员这个月销售量的众数是 件，中位数是 件． 【变式5-4】某区为调查学生安全知识水平，对某一所学校选取了20人进行了测试．成绩分别为图表所示． 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 3 2 1 3 2 1 (1)已知统计图属于______图，易于显示______的差别． (2)表格中的值为______，若设测评成绩及其中位数为，．若为成绩合格，为成绩良好，为成绩优秀．请求出图中，以及的值． 考点六：利用中位数做决策 例6.某班数学考试后，同学们很关心自己的成绩水平，为了让学生估计自己的成绩水平，老师应该公布成绩的哪些统计量（    ） A．中位数和平均数 B．众数和中位数 C．方差 D．众数和平均数 【变式6-1】某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 【变式6-2】已知某次测验的最高分、最低分、平均分、中位数、众数，同学甲要知道自己的成绩，属于班级中较高的一半还是较低的一半，应该利用上述数值中的 ． 【变式6-3】某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 ．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【变式6-4】某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； b．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______； (3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______更靠前； 考点七：利用众数做决策 例7.某商店销售5种领口大小（单位：）分别为38，39，40，41，42的衬衫． 为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图的扇形统计图． 你认为该商店应多购进的衬衫的领口大小为（　　）    A． B． C． D． 【变式7-1】某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标 是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【变式7-3】某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的 ．（填描述数据集中程度的词） 【变式7-4】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 (1)学生成绩统计表中______，______； (2)求七年级学生成绩的平均数m； (3)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 考点八：求方差 例8.已知一个样本，，，，，平均数为，则这个样本的方差是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式8-1】小明计算出一组数据的方差为，小丽将这组数据中每个数据都除以，所得新数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 【变式8-3】已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据，，……，的方差是 ． 【变式8-4】一组数据1，3，2，的众数为2， (1)求； (2)请计算这组数据的方差． 考点九：根据方差判断稳定性 例9.甲、乙两块地块各种植相同长度的10行小麦，下列关于每块地的每一行的小麦的平均收成和收成的方差的描述中，能说明甲地块每行小麦的收成较好且更稳定的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式9-1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式9-2】明年年将在粤港澳大湾区举办第十五届全国运动会．为备战此次全运会，湖南省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，方差分别是，，，应该选 参加全运会．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个） 【变式9-3】为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 【变式9-4】某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)这40个学生成绩的中位数是______． (4)经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 考点十：运用方差做决策 例10.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-1】甲、乙、丙三名射击运动员进行射击测试，每人10次射击绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） 甲 乙 丙 9 8 9 1.2 0.4 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式10-2】团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【变式10-3】下列几种说法： ①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态； ②标准差不可能是0； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20； ④某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【变式10-4】为进一步提升学生数学核心素养，落实双减提质，某校八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现从八年级一班和二班参与竞赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：，，． 下面给出了部分信息： 一班10名学生的竞赛成绩为：75，75，84，84，84，86，86，94，95，97； 二班10名学生的竞赛成绩为：86，85，85，85，96，92，94，76，75，86． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 方差 一班 86 85 52 二班 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)求的值； (3)根据以上数据，你认为在此知识竞赛中，哪个班的成绩更稳定？并说明理由． 考点十一：标准差 例11.已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（    ） A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3 【变式11-1】若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 【变式11-2】若数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 【变式11-3】小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【变式11-4】某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 考点十二：极差 例12.已知一组数据：，，，，，下列说法不正确的是(  ) A．平均数是 B．极差是 C．众数是 D．中位数是 【变式12-1】阅读可以丰富知识，拓展视野．在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（） A．极差是6 B．中位数是5 C．众数是6 D．平均数是5 【变式12-2】某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 【变式12-3】已知一组数据：15，18，16，13，12，15，17，则极差为 ． 【变式12-4】小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．试分别求出五次成绩的极差和方差．    考点十三：数据分析初步大题 例13.某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛成绩各选出10名选手参加学校决赛，成绩如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 90 39 八年级 90 (1)直接写出，，的值； (2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级选手的决赛成绩好． 【变式13-1】知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．学校为鼓励学生假期在家阅读，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况进行统计，如图所示： (1)将条形统计图补充完整，所抽查同学读书本数的众数是______本，中位数是______本； (2)求所抽查同学读书本数的平均数； (3)在该校八年级800名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？ 【变式13-2】某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：节目演出后各个评委所给分数如表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9．7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为． 方案二：为了既突出专业评审的权威性又尊重大众评审的喜爱度，先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）． 如当时，则． 该节目的得分为． (1)当按照“方案二”中评分时，求节目的得分； (2)关于评分方案，下列说法正确的有______． ①当时，节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同； ②当时，说明“方案二”评分更注重节目的专业性； ③当时，节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高． 【变式13-3】某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意；非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)有800名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计对款自动洗车设备“比较满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【变式13-4】某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图； (2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩； (3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？ 1．一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，5 2．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取该市50名中学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则被抽取的这50名中学生视力情况的中位数是（   ） A．4.7 B．13 C．4.8 D．4.9 3．甲、乙两台机床生产同一种零件，这两台机床一周5天生产次品的数量（单位：个）如表： 时间 次品个数 机床 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 甲 1 1 1 0 2 乙 0 1 2 0 2 甲、乙两台机床这周5天生产次品数量的平均数分别为，，方差分别为，，则正确的结论是   A． B． C． D． 4．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：秒） 52 m 53 49 方差（单位：秒） n 根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（   ） A．56 B．57 C．58 D．59 6．一组数据：，这组数据的方差是 ． 7．若个数，，…的平均数是，则，，…，的平均数是 ． 8．在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 9．在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期末成绩分别为分，分，则小颖本学期的学业成绩为 ． 10．为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 11．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件，对其使用寿命跟踪调查．结果如下（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果来判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数的哪一种集中趋势的特征数． 12．为了解学生对交通安全知识的掌握情况，某校七、八年级举行了“交通安全知识竞赛”，满分10分，6分及以上为合格． 【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级20名学生的成绩绘成条形统计图，如下图所示． 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如上表所示．请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)表中________，_______，_______； (2)该校八年级共600名学生参加了此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数； 13．如图1，一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点，A，B，C，D，E五名学生，每人随机投掷这枚骰子5次，投掷结束后，将每次掷出的骰子朝上面的点数求和．根据他们各自累积求和的结果绘制成如图2所示的不完整的条形统计图． (1)E同学连续投掷五次正方体骰子，其中三次掷得点数为4，直接写出另外两次投掷的点数分别是多少（不考虑投掷顺序）； (2)已知这五名学生各自累积求和的结果的平均数为17， ①补全条形统计图； ②若D同学五次投掷的点数中，唯一众数是3且不为中位数，求D同学五次投掷的点数的中位数． 14．某校要派两个代表队去参加区健美操大赛，每个队有8名同学，现统计了她们的身高（单位：cm），数据整理如下： a． 甲队 163 166 167 169 169 171 172 174 乙队 163 165 166 169 171 171 173 178 b．每队8名选手身高的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 甲队 168.875 169 169 乙队 169.5 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值； (2)如果某队选手的身高的方差越小，则认为该队选手的身高比较整齐．据此推断，在甲队和乙队的选手中，身高比较整齐的是　　　队（填“甲”或“乙”）； (3)甲队的6位首发选手的身高分别为166，167，169，169，171，172．如果乙队已经选出5位首发选手，身高分别为166，169，171，171，173，要使得乙队6位选手的平均身高不低于甲队6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是　　　cm． 15．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分），该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）． （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 3 3.5 1.05 乙商家 4 1.04 （3）直接写出表中和的值，并求的值； （4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫，你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$