9.2 中心对称与中心对称图形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.2 中心对称与中心对称图形 一、中心对称 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 2.性质： （1）关于中心对称的两个图形全等。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.画法：要作出一个图形关于某一点的中心对称图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点，最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出中心对称图形。 二、中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2.性质：中心对称图形具有中心对称的一切性质。 三、中心对称与中心对称图形的联系和区别 联系：如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称的；如果将中心对称图形把对称的部分看成两个图形，则它们是关于中心对称的。 区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称。 巩固课内例1:画两个图形的对称中心 1．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．    (1)以为对称中心，画出关于该点对称的； (2)可以看成是______得到：经探究发现，和成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)向下平移5个单位长度； 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中心对称图形的性质作图是解题的关键． （1）根据对称中心的性质作图即可求解； （2）根据平移性质，中心对称图形的性质作图，结合坐标与图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形；    （2）解：如图所示，可以看成是向下平移5个单位长度得到： 连接，的对应点，    ∴对称中心的坐标为． 故答案为：向下平移5个单位长度；． 巩固课内例2:画已知图形关于某点对称的图形 1．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 3．如图，已知和关于点O成中心对称，请画出旋转中心O，并将图形补充完整． 【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线，垂足为点O，则点O即为旋转中心，利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点、，顺次连接连接、、即可． 【详解】解：如图所示：和点O即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 类型一、认识中心对称图形 1．下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．据此依次分析判断即可求解． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称；故不符合题意； 故选：C． 2．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 3．图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】如图所示． 如图所示． 类型二、两个图形成中心对称 1．如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可． 【详解】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等， 选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，，选项D是错误的， 故选：D． 2．点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称，根据点和点关于原点中心对称，得出点和点的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴点和点的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数， ∵点坐标为， ∴点坐标为． 故答案为：． 3．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称、关于原点成中心对称的点坐标规律，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）根据中心对称图形的性质即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：∵和关于点O成中心对称， ∴关于点O成中心对称的点的坐标是． 类型三、判断中心对称图形的对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________； (3)已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________： 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用中心对称的点的坐标特征写出的坐标，描点得到，利用点平移的坐标特征写出的坐标，然后描点得到； （2）连接，它们相交于Q点，则Q点为对称中心； （3）设P点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解得P点坐标． 【详解】（1）解：如图，和为所作； （2）解：如图，与关于Q点成中心对称，Q点的坐标为； 故答案为：； （3）解：设P点坐标为， ∵的面积为3， ∴， 解得， ∴P点坐标为或． 故答案为：或． 类型四、求关于原点对称的点的坐标 1．与点关于原点对称的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：C． 2．点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3) 【分析】本题主要考查平面直角系的特点，掌握中心对称图形的性质，旋转的性质，轴对称图形的性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，坐标与图形的知识即可求解； （3）根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：如图所示， ∴即为所求图形，； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴， 故答案为：． 类型一、已知两点关于原点对称求参 1．已知点与点关于原点对称，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，代数式求值，熟练掌握其性质是解题关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反求出，，然后代入进而得出即可． 【详解】∵点与点关于原点对称 ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 2．在平面直角坐标系中，已知与点关于原点对称，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了原点对称的性质，熟悉掌握原点对称的特点是解题的关键． 根据原点对称，横纵坐标互为相反数，求出和，再代入运算即可． 【详解】解：∵与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【详解】（1）解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （2）解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （3）解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． （4）解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． （5）解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 类型二、补全图形成中心对称图形 1．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 2．如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称的定义依次判断到位置是否可以构成中心对称图形即可． 【详解】解：如图，当涂黑时，构成的阴影部分为中心对称图形． 故答案为：． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作，使E在格点上，且与成轴对称； (2)在图②中，作，使E、F均在格点上，且与成中心对称； (3)在图③中，作，使E、F均在格点上，且是绕着点B顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称，中心对称，解决本题的关键是掌握旋转变换，轴对称，中心对称的性质． （1）根据轴对称图形的特点作出图形即可； （2）根据中心对称图形的特点作出图形即可； （3）根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所作： （2）解：如图②，即为所作： （3）解：如图③，即为所作： 类型三、根据中心对称性质求长度 1．如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质和一元一次方程的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确列出方程． 首先设正方形A的边长是，正方形B的边长是，由于原来该大长方形的周长是20，得出；据此解答即可． 【详解】解：如图，设正方形A的边长是，正方形B的边长是， ∵原来该大长方形的周长是20， ， 即， ， 故选：A． 2．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为∶． 3．如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可； （2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵，，， ∴的周长为：， ∵和关于点成中心对称， ∴， ∴周长为18． 类型四、根据中心对称性质求面积 1．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可． 【详解】解：连接CQ，如图： 由中心对称可知，AQ＝BQ， 由轴对称可知：BQ＝CQ， ∴AQ＝CQ＝BQ， ∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB， ∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°， ∴∠ACQ+∠QCB＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图， ∵A（2，0），C（8，6）， ∴AF＝CF＝6， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∵， ∴∠AEC＝45°， ∴E点坐标为（14，0）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b， ∵C，E点在直线上， 可得：， 解得：， ∴y＝﹣x+14， ∵点B由点A经n次斜平移得到， ∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14， 解得：n＝4， ∴B（6，8）， ∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键． 2．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，   ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 3．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 类型五、画中心对称图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 类型一、中心对称图形的规律 1．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 【答案】 / 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 3．有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 【答案】125. 【分析】表格中一共有25个数，通过观察可发现，以表格中心的5为中心点，其他每个数与其中心对称位置的数之和均为10，,的数一共有12组，再加上表格中心的5，即可巧妙求解. 【详解】解：∵(1+9)+(2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5 =10×12+5 =120+5 =125 ∴这组数和为125． 【点睛】本题利用了表格中位置的中心对称关系，发现了数和数之间的关系，从而采取更为巧妙的方式进行了求和. 1．下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2．如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，， ∴选项A，B，C都不符合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 3．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 5．已知，则点关于原点的对称点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，关于原点对称的点， 根据确定，可知点A的位置，再根据关于原点对称的点的特征得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴点A在第二象限． ∵点A和点关于原点对称， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 6．如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 7．如图，的顶点坐标分别为，．    (1)画出关于点O成中心对称的． (2)写出坐标：______，______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：关于点O成中心对称的，，， ，． 8．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 【答案】(1)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． (2)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． 【分析】中心对称图形是指绕着中心点旋转图形两部分完全重合，根据题目中的图形先作出对称中心，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，中心对称图形是指绕着中心点旋转 上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， （2）解：如图所示，旋转180°后上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键． 9．如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可； （2）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （3）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （4）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示； （4）解：连接，和， 由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：． 10．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，．当时， (2)或 (3) (4)1或3 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 中心对称与中心对称图形 一、中心对称 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 2.性质： （1）关于中心对称的两个图形全等。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.画法：要作出一个图形关于某一点的中心对称图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点，最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出中心对称图形。 二、中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2.性质：中心对称图形具有中心对称的一切性质。 三、中心对称与中心对称图形的联系和区别 联系：如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称的；如果将中心对称图形把对称的部分看成两个图形，则它们是关于中心对称的。 区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称。 巩固课内例1:画两个图形的对称中心 1．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．    (1)以为对称中心，画出关于该点对称的； (2)可以看成是______得到：经探究发现，和成中心对称，则对称中心的坐标为______． 巩固课内例2:画已知图形关于某点对称的图形 1．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     2．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 3．如图，已知和关于点O成中心对称，请画出旋转中心O，并将图形补充完整． 类型一、认识中心对称图形 1．下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 3．图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 类型二、两个图形成中心对称 1．如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为 ． 3．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 类型三、判断中心对称图形的对称中心 1．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 3．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________； (3)已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________： 类型四、求关于原点对称的点的坐标 1．与点关于原点对称的点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点关于原点的对称点的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 类型一、已知两点关于原点对称求参 1．已知点与点关于原点对称，则的值是 ． 2．在平面直角坐标系中，已知与点关于原点对称，则 ． 3．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 类型二、补全图形成中心对称图形 1．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作，使E在格点上，且与成轴对称； (2)在图②中，作，使E、F均在格点上，且与成中心对称； (3)在图③中，作，使E、F均在格点上，且是绕着点B顺时针方向旋转后的图形． 类型三、根据中心对称性质求长度 1．如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（   ） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 3．如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 类型四、根据中心对称性质求面积 1．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    3．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 类型五、画中心对称图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 类型一、中心对称图形的规律 1．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 2．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 3．有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 1．下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于点成中心对称．则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．点关于原点的对称点的坐标为 ． 5．已知，则点关于原点的对称点在第 象限． 6．如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 7．如图，的顶点坐标分别为，．    (1)画出关于点O成中心对称的． (2)写出坐标：______，______． 8．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 9．如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 10．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$