专题03旋转与中心对称（9大类型提分练+期末培优，优选46题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）

专题03旋转与中心对称（9大类型提分练+期末培优，优选46题） 目录 类型一、中心对称图形 1 类型二、有关中心对称的作图问题 1 类型三、关于原点的中心对称问题 2 类型四、中心对称的性质 3 类型五、确定旋转中心 4 类型六、旋转的性质 5 类型七、旋转与最值问题 6 类型九、旋转作图问题 7 类型十、旋转与几何综合问题 8 《旋转与中心对称》期末培优专项训练 9 类型一、中心对称图形 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）有六张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段，②角，③等边三角形，④平行四边形，⑤矩形，⑥菱形，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ． 类型二、有关中心对称的作图问题 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O中心对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，作四边形的边上的高． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 6．（20-21八年级下·江苏·期中）如图是的正方形网格，的三个顶点均在格点上，请按要求作图并标上相应字母． （1）在图1中，画出关于点成中心对称的． （2）若与面积相等，在图2中描出所有满足条件且不同于点的格点，并记为、、…… 类型三、关于原点的中心对称问题 7．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 8．（21-22八年级下·江苏常州·期末）如图．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（1，－4）、（0，－2）、（3，－2）． (1)画出△ABC关于点O对称的； (2)画出绕点顺时针旋转90°后的； (3)若可由△ABC绕点D逆时针旋转90°得到，则点D的坐标是______． 9．（20-21八年级下·江苏徐州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知A（﹣1，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）． （1）画ABC关于原点成中心对称的A1B1C1； （2）若第二象限存在点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，则D的坐标为 　　． 类型四、中心对称的性质 10．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 11．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)画出关于点O对称的； (2)连接和，则四边形的形状是__________，点A到边的距离是 __________． 类型五、确定旋转中心 13．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（    ） A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4） 14．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则其旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 类型六、旋转的性质 15．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 17．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 类型七、旋转与最值问题 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值是 ． 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 类型九、旋转作图问题 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，、、． (1)以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； (2)直接写出两点的坐标为______，______； (3)为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 23．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．    (1)已知与关于坐标原点O成中心对称，则点A的对应点的坐标为 　 　； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转得到，画出； (3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 类型十、旋转与几何综合问题 24．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图1，正方形中，点O是对角线的中点，过点O作，垂足为点E．    (1)________________；直线与直线所夹锐角的度数为_______________°； (2)将绕点C旋转到如图2所示，请探究（1）中结论是否仍然成立？并说明理由； (3)若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出的值． 25．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由； (2)如图3，延长交直线于点P． ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，矩形中，，将矩形绕着点A顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于________； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接，判断线段与的位置关系且说明理由，并求的值； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 《旋转与中心对称》期末培优专项训练 27．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在正方形中，将对角线绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．2 31．（21-22八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 32．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（   ）    A．S变化，有最大值 B．S变化，有最小值 C．S不变，有最大值 D．S不变，有最小值 33．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 35．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则 ． 36．（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 37．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 38．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点C，则 °． 39．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为 ． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为5，点E边上一点，，点F是边上的一个动点，连接，将点E绕着点F顺时针旋转到点G，连接，则的最小值为 ． 41．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 42．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标为、、． (1)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标： ； (2)请画出绕坐标原点O顺时针旋转的图形，直接写出点A的对应点P的坐标： ； (3)请直接写出：位于第三象限且与A、B、C三个顶点构成平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 43．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．    【问题解决】： (1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．     (1)过点作于点G，求证：； (2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； (3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 45．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： 【探究1】（1）保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； 【探究2】（2）保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移的距离为p．          图1                    图2 ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 46．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03旋转与中心对称（9大类型提分练+期末培优，优选46题） 目录 类型一、中心对称图形 1 类型二、有关中心对称的作图问题 2 类型三、关于原点的中心对称问题 6 类型四、中心对称的性质 9 类型五、确定旋转中心 11 类型六、旋转的性质 12 类型七、旋转与最值问题 15 类型九、旋转作图问题 21 类型十、旋转与几何综合问题 23 《旋转与中心对称》期末培优专项训练 32 类型一、中心对称图形 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：A、在图形中能找到对称中心和对称轴，故该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、在图形中不能找到对称中心和对称轴，故该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）有六张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段，②角，③等边三角形，④平行四边形，⑤矩形，⑥菱形，将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了概率公式，轴对称图形，中心对称图形的识别，直接利用既是轴对称图形，又是中心对称图形的性质，结合概率公式得出答案． 【详解】解：在①线段，②角，③等边三角形，④平行四边形；⑤矩形，⑥菱形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是①⑤⑥共3个，故从中抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：， 故答案为：． 类型二、有关中心对称的作图问题 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O中心对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）分别确定关于的对称点，再顺次连接即可； （2）分别确定绕逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点，满足四边形为正方形即可； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； ． （2）解：如图，线段即为所求； ． （3）解：如图，四边形即为所求； ． 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【点睛】本题考查的是画旋转图形，中心对称图形，轴对称图形，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定，熟练的画图是解本题的关键． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，作四边形的边上的高． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可． 【详解】（1）如图①中，平行四边形即为所求； （2）如图②中，高即为所求； 根据网格与勾股定理得出 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （3）如图③中，点即为所求． 如图所示，找到格点， ，， 则是等腰直角三角形， 找到格点，则是矩形， ∴是的中点， ∴垂直平分， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（20-21八年级下·江苏·期中）如图是的正方形网格，的三个顶点均在格点上，请按要求作图并标上相应字母． （1）在图1中，画出关于点成中心对称的． （2）若与面积相等，在图2中描出所有满足条件且不同于点的格点，并记为、、…… 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）分别作出A、B、C关于O点的对称点A′、B′、C′即可； （2）平移BC使B点与A点重合，则过A点且与BC平行的直线上的格点为E1、E2、E3满足条件，点E1关于BC的对称点E4满足条件． 【详解】解：（1）如图1，△A'B'C′为所作； （2）如图，E1、E2、E3、E4为所作． 【点睛】本他考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 类型三、关于原点的中心对称问题 7．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8．（21-22八年级下·江苏常州·期末）如图．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（1，－4）、（0，－2）、（3，－2）． (1)画出△ABC关于点O对称的； (2)画出绕点顺时针旋转90°后的； (3)若可由△ABC绕点D逆时针旋转90°得到，则点D的坐标是______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】（1）根据点的坐标关于原点对称得出点A、B、C的对称点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行求解； （3）根据旋转的性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：连接，作线段、的垂直平分线，交于一点D，则点D即为所求； ∴点D的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9．（20-21八年级下·江苏徐州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知A（﹣1，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）． （1）画ABC关于原点成中心对称的A1B1C1； （2）若第二象限存在点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，则D的坐标为 　　． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】（1）利用中心变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． （2）根据要求以及平行四边形的判定作出图形可得结论． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图中心变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握中心变换，平行四边形的判定，属于中考常考题型． 类型四、中心对称的性质 10．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)画出关于点O对称的； (2)连接和，则四边形的形状是__________，点A到边的距离是 __________． 【答案】(1)见解析 (2)菱形； 【分析】本题主要考查了轴对称作图，菱形的面积公式，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）根据菱形的判定方法进行求解即可，根据菱形的面积公式进行求解即可， 【详解】（1）解：即为所求作的三角形． （2）解：∵， ∴四边形为菱形， ∵，， 设到的距离为h，则： ， 解得：， 即点A到边的距离是． 类型五、确定旋转中心 13．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（    ） A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4） 【答案】A 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心，E（1，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 14．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则其旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段与的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：由旋转的性质可知，线段与的垂直平分线的交点即为所求． 线段的垂直平分线是直线， 线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为点， 则旋转中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的判定、正方形的性质．能够结合图形，找出对应点所连线段的垂直平分线是解题关键． 类型六、旋转的性质 15．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点C作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点C作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、点到直线的距离、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．利用全等三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 类型七、旋转与最值问题 18．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，可得点E在过点C且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， ∵将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C且垂直的直线上运动， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的值最小为， 故选：B． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，解题关键在于根据题意证明三角形全等，找点E的运动路线． 在射线上取点F，连接，使，作直线．再由旋转得出条件，证明，由对称得，，由两点间线段最短可知，点E在点处，取最小值，最小值为的长，连接，最后用勾股定理求解． 【详解】解：如图，在射线上取点F，连接，使，作直线． ∴， ∴． 由旋转得，，． ∴． ∵． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为定角，点B为定点， ∴点E在直线上， 作点C关于直线的对称点，连接交于，当点E在点处时取最小值，（由对称得，∴，由两点间线段最短可知，点E在点处，取最小值，最小值为的长）， 连接，则，， ∵， ∴． ， ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 【答案】 /45度 / 【分析】通过证明点A，F，C，E四点共圆，可得，可求的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求，，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴点A，F，C，E四点共圆， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 过点F作，交的延长线于N，交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 类型九、旋转作图问题 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，、、． (1)以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； (2)直接写出两点的坐标为______，______； (3)为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 【答案】(1)见解析； (2)、； (3)． 【分析】本题考查作图一旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）分别作出的对应点即可； （2）依据图象直接写出的坐标即可； （3）直线交轴于，点即为所求作，求出直线的解析式，可得结论. 【详解】（1）如图, 即为所求作. （2）观察图象可知， 的坐标为 的坐标为( 故答案为： （3）直线交轴于，点即为所求作. 设直线的解析式为代入得： 解得： ∴直线的解析式为 当时, 故答案为： 23．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．    (1)已知与关于坐标原点O成中心对称，则点A的对应点的坐标为 　 　； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转得到，画出； (3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）画出关于坐标原点O成中心对称的图形，即可； （2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转后的点，然后顺次连接，即可； （3）分别以为对角线，写出第四个顶点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，    点A的对应点的坐标为； 故答案为： （2）解：如图，即为所求作．    （3）解：当以为对角线时，点D坐标为或； 当以为对角线时，点D坐标为； 当以为对角线时，点D坐标为． 综上所述，D点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 类型十、旋转与几何综合问题 24．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图1，正方形中，点O是对角线的中点，过点O作，垂足为点E．    (1)________________；直线与直线所夹锐角的度数为_______________°； (2)将绕点C旋转到如图2所示，请探究（1）中结论是否仍然成立？并说明理由； (3)若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出的值． 【答案】(1)，45 (2)成立，见解析 (3)， 【分析】（1）根据正方形的性质可得，即可求出的度数，根据勾股定理可得，则，连接，根据等腰三角形“三线合一”可得，即可求解； （2）将绕点E逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，，进而得出，则四边形是平行四边形，，，即可求证； （3）根据题意，进行分类讨论：①当在下方时，延长，过点A作于点M，易得，，，根据勾股定理得出，则，，根据勾股定理求出，根据，即可求解；②当在上方时，过点A作于点N，用同样的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵点O是对角线的中点， ∴， 连接， ∵点O是对角线的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，45；    （2）解：将绕点E逆时针旋转得到，连接，    ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，夹角为． 即（1）中结论仍成立； （3）解：①当在下方时，延长，过点A作于点M，      ∵四边形为正方形， ∴， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∵为等腰直角三角形，A、E、O三点共线， ∴，， 则， 由（2）中结论可得：， ∴，， 设， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴；    ②当在上方时，过点A作于点N，        ∵四边形为正方形， ∴， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∵为等腰直角三角形，A、E、O三点共线， ∴，， 则， 由（2）中结论可得：， ∴，， 设， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形． 25．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由； (2)如图3，延长交直线于点P． ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①见解析；②存在，的最大值为 【详解】（1）如图2中，结论：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴（SAS）． （2）①证明：如图3中，设交于O． ∵， ∴， ∵， ∴在与中 ， ∴． ②存在 ∵，是定值， ∴当最小时，的值最大， ∴当时，的值最小，此时的值最大，此时点F与P重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 26．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，矩形中，，将矩形绕着点A顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于________； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接，判断线段与的位置关系且说明理由，并求的值； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)10；(2)42；(3) AE⊥CG，理由见解析，；(4)300 【分析】(1)利用勾股定理求出BD，即可得出结论； (2)先利用三角形的面积求出BM，再根据勾股定理求出AM，进而得出AE，最后用三角形的面积之差即可得出结论； (3)先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断出∠BAE=∠BCG，进而判断出∠CQP=∠ABC=90°，最后用勾股定理，即可得出结论； (4)如下图证明△BCE≌△BGE'，得出S△BCE=S△BGE'，进而得出S△BCE+S△ABG=3GH，即可得出结论． 【详解】解：(1) 如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=20，∠A=90°， 在Rt△BAD中，根据勾股定理得，BD=， 由旋转知，BE=AB=15， ∴DE=BD-BE=25-15=10， 故答案为：10； (2)如图2， 在Rt△ABC中，AC=25， 由旋转得，BE=AB=15， 过点B作BM⊥AC于M，由等腰三角形的“三线合一”性质可知，AE=2AM， 在△ABC中使用等面积法可知：， 解得：， 在Rt△ABM中，由勾股定理可知：， ∴AE=2AM=2×9=18， ∴CE=AC-AE=25-18=7， ∴， 故的面积为42； (3)AE⊥CG，理由如下，如图3： 设AE与BC的交点记作点P，AE与CG的交点记作Q， 由旋转知，∠ABE=∠CBG， AB=BE， ∴， 由旋转知，BC=BG， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴AE⊥CG； 连接AC、EG，由旋转知，BE=AB=15，BG=BC=20， 在Rt△AQC中，AQ²+CQ²=AC²=25²=625， 在Rt△BEG中，BE²+BG²=EG²=25²=625， 在Rt△CQE中，CE²=CQ²+QE²， 在Rt△AQG中，AG²=AQ²+GQ²， ∴CE²+AG²= (CQ²+ QE²)+ (AQ²+GQ²)=(CQ²+ AQ²)+ (QE²+QG²)=AC²+EG²=625+625=1250， 故答案为：1250； (4)如图4， 延长AB至E'，使BE'=BE，连接GE'，过点G作GH⊥AB于H， ∴AE'=AB+BE'=15+15=30， ∵∠EBG=∠CBE'=90°， ∴∠CBE=∠GBE'， 由旋转知，BC=BG， ∴△BCE≌△BGE'(SAS)， ∴， ∴， 要使最大，则GH最大，而GH最大为BG=20， 故的最大值为300． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的旋转，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识点，难度比较大，判断出AE⊥CG是解本题的关键． 《旋转与中心对称》期末培优专项训练 27．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵绕某点旋转一定的角度，得到， ∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B． 故选：B． 28．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．设交于点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，，得到 ，，则，即，再证明，得到，即，再求解即可． 【详解】解：设交于点，如图， ，，， ， ， ， 将绕着边上的点旋转得到， ，，，， ， ，， ，， ，， ， 即， ， ， ， ，即， 解得． 故选：C 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角线长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转得到的， ， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， 故选：C． 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在正方形中，将对角线绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得点共线，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点共线， ∴， ∴， 故选：D． 31．（21-22八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键． 32．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（   ）    A．S变化，有最大值 B．S变化，有最小值 C．S不变，有最大值 D．S不变，有最小值 【答案】D 【分析】连接，由于，设，根据等腰直角三角形的性质得，再根据为的中点得到，，根据旋转的性质得，于是可根据判断，所以，，则可计算出四边形的面积；设，则，利用勾股定理得到，从而确定出有最小值． 【详解】解：如图，连接，    设， ， ， 点为的中点， ，， 设将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点、（不与端点重合）， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的面积； 故不变； 设，则， 在中， ， 、（不与端点重合）， ，故没有最大值； 当时，有最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，作出辅助线构建全等三角形是解答本题的关键． 33．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：绕点A旋转到正方形的内部时；绕点A旋转到正方形的外部时；然后分别求解即可． 【详解】解：当绕点A旋转到正方形的内部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 当绕点A旋转到正方形的外部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ， 综上，的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 34．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，过点作轴，过点作，交轴于点，证明，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：过点作轴，过点作，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 35．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、等边对等角、旋转的性质，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质可得：，，最后由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出和的度数． 根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和即可得到的度数． 【详解】解：∵平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了旋转的性质，垂直平分线的判定，勾股定理，先根据旋转性质得出，，证明垂直平分，得出，，根据勾股定理求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：根据旋转可知：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点D、C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 38．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点C，则 °． 【答案】20 【分析】由旋转的性质可知：全等于，所以，所以，又因为旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 39．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，则．由旋转可得，，结合矩形的性质可得， ，则，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点． 则． 由旋转可得，． ∵四边形为矩形， ，而， ， ， ， ， ∴的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为5，点E边上一点，，点F是边上的一个动点，连接，将点E绕着点F顺时针旋转到点G，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用平方式的非负性求线段的最值问题是解答的关键． 过G作，分别交、于M，N，证明四边形是矩形，可得，，由旋转性质得，，证明得到，，设，则，，在中，利用勾股定理得到，利用平方式的非负性求得的最小值为即可求解． 【详解】解：过G作，分别交、于M，N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 则 , ∵，当时取等号， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 41．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 【答案】 【分析】先确定点P的位置，根据题意求出，，，再作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧． ∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是， ∴，，． 过点Q作于点H，连接，如图，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 则，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键． 42．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标为、、． (1)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点A的对应点的坐标： ； (2)请画出绕坐标原点O顺时针旋转的图形，直接写出点A的对应点P的坐标： ； (3)请直接写出：位于第三象限且与A、B、C三个顶点构成平行四边形的第四个顶点D的坐标 ． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，， (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，图形与坐标，平行四边形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点P，E，F即可； （3）根据平行四边形的性质，画出图形可得结论． 【详解】（1）解：如下图，即为所求，． 故答案为：； （2）如上图，即为所求，． 故答案为：； （3）如上图，点D即为所求，． 故答案为：． 43．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，．    【问题解决】： (1)如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见详解；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示：    则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， （3）解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．     (1)过点作于点G，求证：； (2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； (3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长不变， (3) 【分析】本题主要老相正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）证明，根据证明即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，分别证明和，进一步得出的周长等于； （3）连接，在上截取，证明，得出，得出运动路径长为 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的周长不变 理由如下：将绕点顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴ 由旋转得， ∴，，， ∴， ∴点、、共线 ∵， ∴ ∴， ∴ 即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴的周长等于 ∴的周长不随点的位置而发生改变． （3）解：连接，在上截取，如图， 由（1）知， ∴ ∴ ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 由此可知，点从到，点在线段上运动，如图， 所以，当从到时，点的运动路径长为 ． 45．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： 【探究1】（1）保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； 【探究2】（2）保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移的距离为p．          图1                    图2 ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）将沿翻折或将绕中点旋转；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②能，或． 【分析】本题考查图形的翻折，旋转，矩形的判定，菱形的判定，正方形的性质，勾股定理： （1）将沿翻折或将绕中点旋转即可； （2）①先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论；②勾股定理求出，根据时，四边形是正方形，进行求解即可． 【详解】解：（1）将沿翻折或将绕中点旋转后，即可得到以为一条对角线的菱形； （2）①四边形是矩形，理由如下：       ∵． ∴， ∴四边形是平行四边形，， 又∵， ∴四边形是矩形． ②能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 当时，四边形是正方形， ∴当点在上方时，， 当点在下方时：． 46．（23-24八年级下·江苏南通·期末）【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空： 将绕点顺时针旋转得，连接，，则 ，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为 ． 【变式拓展】 请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题： （2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足． ①如图2，若，，求的度数． ②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由 【答案】（1）；；（2）①，②周长是定值， 【分析】（1）根据旋转的性质，则，；根据勾股定理求出，，再根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）把绕点旋转得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理，则是直角三角形，即可； 延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，等量代换，即可． 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）①把绕点旋转得， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 周长是定值，理由如下： 延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，勾股定理，旋转的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$