专题02 代数式、整式及因式分解（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题02 代数式、整式及因式分解 课标要求 考点 考向 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式. 3.会把具体数代入代数式进行计算. 4.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示 数(包括在计算器上表示). 5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法). 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²,(a±b)²=a²±2ab+b²,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理. 7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 代数式 考向一 代数式的规律探究题 整式 考向一 幂的运算 考向二 整式的运算 考向三 整式的化简求值 考向四 整式的实际应用 因式 分解 考向一 因式分解 考向二 因式分解的应用 考点一 代数式 ►考向一 代数式的规律探究题 考查角度1 数字的规律探究题 1．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…① 0，7，﹣4，21，﹣26，71，…② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 　 　；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 　 　． 2．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足．则a4＝　　，a2022＝　　． 3．（2023•随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 　 　盏． 考查角度2 图形的规律探究题 4．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 5．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 　 　cm． 6．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 　 　．（用含n的式子表示） 考点二 整式 ►考向一 幂的运算 解题技巧 幂的运算性质： 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4.同底数幂的除法，底数不变，指数相减. 5.零指数次幂：任何非零实数的零次幂都等于1. 6.负整数指数幂：倒底数，反指数. 7．（2024•武汉）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1 8．（2023•武汉）计算（2a2）3的结果是（　　） A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6 9．（2022•武汉）计算（2a4）3的结果是（　　） A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7 10．（2021•黄石）计算（﹣5x3y）2正确的是（　　） A．25x5y2 B．25x6y2 C．﹣5x3y2 D．﹣10x6y2 11．（2023•襄阳）下列各式中，计算结果等于a2的是（　　） A．a2•a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0 ►考向二 整式的运算 解题技巧 无理数的主要呈现形式： 1.整式的加减运算 (1)合并同类项：字母和字母的指数不变；同类项的系数相加减作为新的系数． (2)去括号法则：括号前为“＋”，去括号后每一项都不变号；括号前为“－”，去括号后每一项都要变号． 2.整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 3.整式的乘法公式： （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 4.整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. （2）多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加． 12．（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（　　） A．﹣a B．a C．3a D．0 13．（2024•湖北）计算2x•3x2的结果是（　　） A．5x2 B．6x2 C．5x3 D．6x3 14．（2023•鄂州）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a2÷a3＝a5 D．（a2）3＝a5 15．（2022•鄂州）下列计算正确的是（　　） A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b 16．（2023•黄石）下列运算正确的是（　　） A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y 17．（2023•恩施州）下列运算正确的是（　　） A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3 C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7 ►考向三 整式的化简求值 解题技巧 整式的化简求值的方法，一般应先化简，再求值，有时化简后直接代入求值，有时采取整体代入法求值. 18．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1． 19．（2020•随州）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a，b． 20．（2020•荆门）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），其中x1，y1． 21．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x，y1． ►考向四 整式的实际应用 22．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 23．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 考点三 因式分解 ►考向一 因式分解 解题技巧 1．定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 2.常用方法： ①提公因式法：ma＋mb＋mc＝_____________． ②运用公式法：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． 3．一般步骤 （1）若有公因式，先提公因式； （2）若没有公因式，可尝试公式法： 两项考虑平方差公式； 三项考虑完全平方公式； (3)检查各因式分解是否彻底． 注意：因式分解的结果一定是几个整式的积的形式． 24．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　 ． 25．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝　 ． 26．（2022•黄石）分解因式：x3y﹣9xy＝　 　． 27．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 ． 28． （2021•湖北）分解因式：5x4﹣5x2＝　 　． ►考向二 因式分解的应用 29．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　 　． 29． （2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　 ． 1．（2024•黄石港区模拟）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是（　　）元． A．（1+a%）x B．（1﹣a%）x C． D． 2．（2024•汉川市模拟）若﹣x3ym与2xny是同类项，则2024m+n的值为（　　） A．2027 B．2021 C．4051 D．4045 3．（2024•阳新县校级二模）下列计算正确的是（　　） A．3a+5b＝8ab B．3a3c﹣2c3a＝a3e C．3a﹣2a＝1 D．2a2+3a2＝5a2 4．（2024•湖北模拟）在下列计算中，正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣2）2＝a2+4﹣4a D．（﹣2a）3＝﹣6a3 5．（2024•汉川市模拟）下列运算正确的是（　　） A．3x2y+2xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 6．（2024•湖北模拟）一串数字如下：1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…如此下去，则第2023个数字与第2024个数字的和等于（　　） A．4047 B．﹣2 C．2 D．﹣4047 7．（2024•随县模拟）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　） A．48 B．56 C．63 D．74 8．（2024•武汉模拟）当x＝﹣1时，式子（x﹣2）2﹣2（2﹣2x）﹣（1+x）（1﹣x）的值是（　　） A． B．2 C．1 D．﹣1 9．（2024•咸宁二模）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　） A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 10．（2024•随州一模）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（　　） A．45 B．63 C．84 D．108 11．（2024•黄石港区模拟）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚 12．（2024•黄石港区模拟）因式分解：3a2b﹣9ab＝　 　． 13．（2024•恩施州模拟）把多项式x3﹣9x分解因式的结果是　 　． 14．（2024•湖北模拟）分解因式：（2a﹣b）2+8ab＝　 ． 15．（2024•湖北一模）分解因式：4（m﹣n）m2+（n﹣m）n2＝　 　． 16．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝　 　． 17．（2024•谷城县一模）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 ． 18．（2024•曾都区三模）观察以下等式： 第1个等式：1×3﹣22＝﹣1， 第2个等式：2×4﹣32＝﹣1， 第3个等式：3×5﹣42＝﹣1， … 按照以上规律，写出第4个等式为 　 ，第n个等式为 　 　． 19．（2024•广水市二模）计算：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a． 20．（2024•远安县模拟）如图是小杰同学提供的几种呈现规律性且已编成图案号的图案，每个图案由正方形造型和三角形造型组合而成，其中每个正方形造型需要4盆A种菊花，每个三角形造型需要3盆B种菊花． （1）依此规律，图案5中A种菊花有 　 盆； （2）依此规律，图案n中现有B种菊花75盆，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式、整式及因式分解 课标要求 考点 考向 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式. 3.会把具体数代入代数式进行计算. 4.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示 数(包括在计算器上表示). 5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法). 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²,(a±b)²=a²±2ab+b²,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理. 7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 代数式 考向一 代数式的规律探究题 整式 考向一 幂的运算 考向二 整式的运算 考向三 整式的化简求值 考向四 整式的实际应用 因式 分解 考向一 因式分解 考向二 因式分解的应用 考点一 代数式 ►考向一 代数式的规律探究题 考查角度1 数字的规律探究题 1．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…① 0，7，﹣4，21，﹣26，71，…② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 　 　；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 　 　． 【分析】观察可得，第①行数的第n个数为（﹣2）n，第②行数的第n个数为（﹣2）n+（n+1），即可得到答案． 【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10， 第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024， ∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024， ∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024． 故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024． 【点评】本题考查数字变化规律，解题的关键是观察数列，得到两个数列中数字的规律． 2．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足．则a4＝　　，a2022＝　　． 【分析】由题意可得an，即可求解． 【解答】解：由题意可得：a1＝2，a2，a3， ∵， ∴27， ∴a4， ∵， ∴a5， 同理可求a6，••• ∴an， ∴a2022， 故答案为：，． 【点评】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 3．（2023•随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 　 　盏． 【分析】分析各号开关被按的次数，可得出n号开关被按的次数等于n的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则n一定是平方数．结合100＝102，可得出100以内共有10个平方数，即最终状态为“亮”的灯共有10盏． 【解答】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…， ∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数， ∴约数个数是奇数，则n一定是平方数． ∵100＝102， ∴100以内共有10个平方数， ∴最终状态为“亮”的灯共有10盏． 故答案为：10． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，根据各号开关被按的次数，找出“n号开关被按的次数等于n的约数的个数”是解题的关键． 考查角度2 图形的规律探究题 4．（2023•宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【分析】根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断． 【解答】解：A、左上角的数字为a﹣1，不正确； B、左下角的数字为a+6，不正确； C、右下角的数字为a+7，不正确； D、方框中4个位置的数相加＝a+a﹣1+a+6+a+7＝4a+12＝4（a+3），结果是4的倍数，正确． 故选：D． 【点评】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题． 5．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 　 　cm． 【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 1节链条的长度＝2.8cm， 2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm， 3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm， ..． ∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm）， 故答案为：91． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键． 6．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 　 　．（用含n的式子表示） 【分析】第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，…，据此可求得第n个图案所需要的火柴棍的根数． 【解答】解：∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4， 第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6， 第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8， …， ∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）＝6n+6． 故答案为：6n+6． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律． 考点二 整式 ►考向一 幂的运算 解题技巧 幂的运算性质： 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4.同底数幂的除法，底数不变，指数相减. 5.零指数次幂：任何非零实数的零次幂都等于1. 6.负整数指数幂：倒底数，反指数. 7．（2024•武汉）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1 【分析】利用同底数幂乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：a2•a3＝a5，则A不符合题意； （a3）4＝a12，则B符合题意； （3a）2＝9a2，则C不符合题意； （a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2023•武汉）计算（2a2）3的结果是（　　） A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6 【分析】根据积的乘方，即可解答． 【解答】解：（2a2）3 ＝23•（a2）3 ＝8a6． 故选：D． 【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则． 9．（2022•武汉）计算（2a4）3的结果是（　　） A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【解答】解：（2a4）3＝8a12， 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 10．（2021•黄石）计算（﹣5x3y）2正确的是（　　） A．25x5y2 B．25x6y2 C．﹣5x3y2 D．﹣10x6y2 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣5x3y）2＝25x6y2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 11．（2023•襄阳）下列各式中，计算结果等于a2的是（　　） A．a2•a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0 【分析】根据同底数幂乘除法的计算方法，同类项、合并同类项法则逐项进行判断即可． 【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意； B．a5÷a3＝a5﹣3＝a2，因此选项B符合题意； C．a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项C不符合题意； D．a5与a0不是同类项，不能合并，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，同类项以及合并同类项，掌握同底数幂乘除法的计算法则以及同类项、合并同类项法则是正确解答的前提． ►考向二 整式的运算 解题技巧 无理数的主要呈现形式： 1.整式的加减运算 (1)合并同类项：字母和字母的指数不变；同类项的系数相加减作为新的系数． (2)去括号法则：括号前为“＋”，去括号后每一项都不变号；括号前为“－”，去括号后每一项都要变号． 2.整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 3.整式的乘法公式： （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 4.整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. （2）多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加． 12．（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（　　） A．﹣a B．a C．3a D．0 【分析】利用合并同类项的法则进行求解即可． 【解答】解：a﹣2a＝（1﹣2）a＝﹣a． 故选：A． 【点评】本题主要考查合并同类项，解答的关键是对合并同类项的法则的掌握． 13．（2024•湖北）计算2x•3x2的结果是（　　） A．5x2 B．6x2 C．5x3 D．6x3 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：2x•3x2＝6x3． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是关键． 14．（2023•鄂州）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a2÷a3＝a5 D．（a2）3＝a5 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则将各项计算后进行判断即可． 【解答】解：A．a2与a3不是同类项，无法合并， 故A不符合题意； B．a2•a3＝a2+3＝a5， 则B符合题意； C．a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1， 则C不符合题意； D．（a2）3＝a6， 则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 15．（2022•鄂州）下列计算正确的是（　　） A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b 【分析】按照整式幂的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案． 【解答】解：∵b与b2不是同类项， ∴选项A不符合题意； ∵b6÷b3＝b3， ∴选项B不符合题意； ∵（2b）3＝8b3， ∴选项C不符合题意； ∵3b﹣2b＝b， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了整式幂与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法则． 16．（2023•黄石）下列运算正确的是（　　） A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y 【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可． 【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，原选项计算错误，不符合题意； B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意； C、x3•x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意； D、﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，熟练这些法则是解该类题目的关键． 17．（2023•恩施州）下列运算正确的是（　　） A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3 C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7 【分析】依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解． 【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1， ∴A选项错误，不符合题意． 对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3， ∴B选项错误，不符合题意． 对于C选项，m7÷m3＝m4， ∴C选项正确，符合题意． 对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解． ►考向三 整式的化简求值 解题技巧 整式的化简求值的方法，一般应先化简，再求值，有时化简后直接代入求值，有时采取整体代入法求值. 18．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy） ＝4xy﹣2xy+3xy ＝5xy， 当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（2020•随州）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a，b． 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【解答】解：原式＝a2+2ab﹣2ab﹣2b2 ＝a2﹣2b2 当a，b时， 原式＝（）2﹣2×（）2＝5﹣6＝﹣1． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值． 20．（2020•荆门）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），其中x1，y1． 【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝[（2x+y）﹣（x+2y）]2﹣x2﹣xy ＝（x﹣y）2﹣x2﹣xy ＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy ＝y2﹣3xy， 当x1，y1时， 原式＝（1）2﹣3（1）（1） ＝3﹣23 ＝﹣2． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x，y1． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2 ＝6xy， 当x，y1时，原式＝6（1）＝66． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ►考向四 整式的实际应用 22．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案． 【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b） ＝6a2+6ab+2ab+2b2 ＝6a2+8ab+2b2， ∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 23．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案． 【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36， ∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米， 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键． 考点三 因式分解 ►考向一 因式分解 解题技巧 1．定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 2.常用方法： ①提公因式法：ma＋mb＋mc＝_____________． ②运用公式法：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． 3．一般步骤 （1）若有公因式，先提公因式； （2）若没有公因式，可尝试公式法： 两项考虑平方差公式； 三项考虑完全平方公式； (3)检查各因式分解是否彻底． 注意：因式分解的结果一定是几个整式的积的形式． 24．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝　 ． 【分析】将整式x（y﹣1）+4（1﹣y）变形含有公因式（y﹣1），提取即可． 【解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）． 【点评】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本题分解因式的关键． 25．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝　 ． 【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1 ＝（a﹣1）2， 故答案为：（a﹣1）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 26．（2022•黄石）分解因式：x3y﹣9xy＝　 　． 【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式x2﹣9利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：x3y﹣9xy， ＝xy（x2﹣9）， ＝xy（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 27．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 ． 【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2， 故答案为：a（a﹣3）2． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 28．（2021•湖北）分解因式：5x4﹣5x2＝　 　． 【分析】直接提取公因式5x2，进而利用平方差公式分解因式． 【解答】解：5x4﹣5x2＝5x2（x2﹣1） ＝5x2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：5x2（x+1）（x﹣1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． ►考向二 因式分解的应用 29．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　 　． 【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可． 【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可． 30．（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　 ． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可． 【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2） ＝2xy（x﹣3y）2， ∵xy＝2，x﹣3y＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36， 故答案为：36． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用因式分解将代数式化简是解题的关键． 1．（2024•黄石港区模拟）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是（　　）元． A．（1+a%）x B．（1﹣a%）x C． D． 【分析】根据售价＝（1+利润率）×成本求出即可． 【解答】解：∵售价＝（1+利润率）×成本，商品售价x元，利润率为a%（a＞0）， ∴成本， ∴故选：C． 【点评】此题主要考查了列代数式，正确掌握售价＝（1+利润率）×成本是解题关键． 2．（2024•汉川市模拟）若﹣x3ym与2xny是同类项，则2024m+n的值为（　　） A．2027 B．2021 C．4051 D．4045 【分析】根据同类项的概念求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：因为﹣x3ym与2xny是同类项， 所以m＝1，n＝3， 所以2024m+n＝2024+3＝2027． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 3．（2024•阳新县校级二模）下列计算正确的是（　　） A．3a+5b＝8ab B．3a3c﹣2c3a＝a3e C．3a﹣2a＝1 D．2a2+3a2＝5a2 【分析】在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可． 【解答】解：A、3a与5b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、3a3c与﹣2c3a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C、3a﹣2a＝a，故本选项不合题意； D、2a2+3a2＝5a2，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 4．（2024•湖北模拟）在下列计算中，正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣2）2＝a2+4﹣4a D．（﹣2a）3＝﹣6a3 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算即可． 【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； C、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故此选项符合题意； D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，熟练其运算法则是解题的关键． 5．（2024•汉川市模拟）下列运算正确的是（　　） A．3x2y+2xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2 【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算判断即可． 【解答】解：A、3x2y与2xy不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不符合题意； C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不符合题意； D、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键． 6．（2024•湖北模拟）一串数字如下：1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…如此下去，则第2023个数字与第2024个数字的和等于（　　） A．4047 B．﹣2 C．2 D．﹣4047 【分析】根据各个数的符号和绝对值两个方面找到规律，再求解． 【解答】解：∵1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…， ∴第2023个数字与第2024个数字分别为：2023×2﹣1＝4045，﹣（2×2024﹣1）＝﹣4047， ∴4045﹣4047＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了数字的变化类，张变化规律是解题的关键． 7．（2024•随县模拟）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　） A．48 B．56 C．63 D．74 【分析】方法一：首先根据上面的数值变化规律求出m的值为7，然后根据每隔方格中数的规律求n即可，规律为：每个方格中的上面的数乘以下面左侧的数再加上上面的数得下面右侧的数；方法二：n等于左边一个数的平方减1即可． 【解答】解：方法一： 从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m＝7， 第一个方格中：3＝1×2+1， 第二个方格中：15＝3×4+3， 第三个方格中：35＝5×6+5， ∴第四个方格中：n＝7×8+7＝63． 故选：C． 方法二：从数字的特点看，n等于左边一个数的平方减1即可， 即n＝82﹣1＝63， 故选：C． 【点评】本题主要考查了通过数值的变化总结规律，解题的关键在于通过每个方格上面的数的变化规律． 8．（2024•武汉模拟）当x＝﹣1时，式子（x﹣2）2﹣2（2﹣2x）﹣（1+x）（1﹣x）的值是（　　） A． B．2 C．1 D．﹣1 【分析】展开完全平方式，去掉括号，然后合并同类项得出最简整式，最后代入x的值计算．【解答】 【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣4+4x﹣1+x2＝2x2﹣1， 将x＝﹣1代入得： 原式＝1． 故选：C． 【点评】解决本题的关键是将原式化为最简整式，否则运算量会很大，很容易出错． 9．（2024•咸宁二模）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　） A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得． 【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b， 则面积是（a﹣b）2． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键． 10．（2024•随州一模）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（　　） A．45 B．63 C．84 D．108 【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1； n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）； n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）； 得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可． 【解答】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1； n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）； n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）； …… n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63． 故选B． 【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的关系． 11．（2024•黄石港区模拟）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚 【分析】由题意可知：第1个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×1＝7枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚，第2个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×2＝12枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚，第3个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×3＝17枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚，依次可推出第n个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多n枚，即可求得答案． 【解答】解：∵第1个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×1＝7枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚， 第2个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×2＝12枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚， 第3个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×3＝17枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚， … ∴第4个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×4＝22枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多4枚， 第n个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多n枚， ∵第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚， ∴n＝10， 当n＝10时，2+5n＝2+5×10＝52， ∴第n个图形所用两种卡片的总数为52． 故选：B． 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题． 12．（2024•黄石港区模拟）因式分解：3a2b﹣9ab＝　 　． 【分析】提取公因式，即可得出答案． 【解答】解：3a2b﹣9ab ＝3ab（a﹣3）， 故答案为：3ab（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键． 13．（2024•恩施州模拟）把多项式x3﹣9x分解因式的结果是　 　． 【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：原式＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）． 故答案为：x（x+3）（x﹣3）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 14．（2024•湖北模拟）分解因式：（2a﹣b）2+8ab＝　 ． 【分析】先根据完全平方公式展开，合并同类项后，利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（2a﹣b）2+8ab ＝4a2﹣4ab+b2+8ab ＝4a2+4ab+b2 ＝（2a+b）2， 故答案为：（2a+b）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15．（2024•湖北一模）分解因式：4（m﹣n）m2+（n﹣m）n2＝　 　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：4（m﹣n）m2+（n﹣m）n2 ＝（m﹣n）（4m2﹣n2） ＝（m﹣n）（2m﹣n）（2m+n）． 故答案为：（m﹣n）（2m﹣n）（2m+n）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 16．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝　 　． 【分析】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2﹣2x+1﹣3＝0， ∴（x﹣1）2＝3， ∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024， 故答案为：2024． 【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 17．（2024•谷城县一模）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 ． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90． 故答案为：90． 【点评】本题考查了完全平方公式以及代数式求值，掌握完全平方公式是解答本题的关键． 18．（2024•曾都区三模）观察以下等式： 第1个等式：1×3﹣22＝﹣1， 第2个等式：2×4﹣32＝﹣1， 第3个等式：3×5﹣42＝﹣1， … 按照以上规律，写出第4个等式为 　 ，第n个等式为 　 　． 【分析】根据上述等式，可知第4个等式：4×6﹣52＝﹣1，即可得出一般规律：第n个等式为n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1． 【解答】解：根据上述等式，可知第4个等式：4×6﹣52＝﹣1， 第n个等式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1， 故答案为：4×6﹣52＝﹣1， 【点评】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 19．（2024•广水市二模）计算：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a． 【分析】先算完全平方，平方差，再算括号里的运算，最后算整式的除法即可． 【解答】解：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a ＝（9a2﹣6ab+b2+a2﹣b2）÷2a ＝（10a2﹣6ab）÷2a ＝5a﹣3b． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 20．（2024•远安县模拟）如图是小杰同学提供的几种呈现规律性且已编成图案号的图案，每个图案由正方形造型和三角形造型组合而成，其中每个正方形造型需要4盆A种菊花，每个三角形造型需要3盆B种菊花． （1）依此规律，图案5中A种菊花有 　 盆； （2）依此规律，图案n中现有B种菊花75盆，求n的值． 【分析】（1）根据所给图形，发现正方形个数变化的规律，据此可解决问题． （2）根据所给图形，发现三角形个数变化的规律，据此可解决问题． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 图案1中正方形造型的个数为1， 图案2中正方形造型的个数为2， 图案3中正方形造型的个数为3， …， 所以图案n中正方形造型的个数为n， 当n＝5时， 图案5中正方形造型的个数为5个， 所以5×4＝20（盆）， 即图案5中A种菊花有20盆． 故答案为：20． （2）由所给图形可知， 图案1中三角形造型的个数为：4＝1×3+1， 图案2中三角形造型的个数为：7＝2×3+1， 图案3中三角形造型的个数为：10＝3×3+1， …， 所以图案n中三角形造型的个数为（3n+1）个， 则图案n中B中菊花的盆数为3（3n+1）盆， 当3（3n+1）＝75时， 解得n＝8， 所以n的值为8． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形及正方形造型个数的变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$