专题03 分式、二次根式及其运算（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题03 分式、二次根式及其运算 课标要求 考点 考向 1．了解分式和最简分式的概念; 2．能利用分式的基本性质进行约分和通分； 3．能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 4．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算. 分式及其运算 考向一 分式的相关概念及性质 考向二 分式的运算 考向三分式的化简求值 二次根式及其运算 考向一 二次根式的相关概念及性质 考向二 二次根式的运算 考向三 二次根式的的化简求值 考点一 分式 ►考向一 分式的相关概念及性质 解题技巧 1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2、分式必须满足的条件：（1）形如 的式子；（2）A，B都是整式；（3）分母B中含有字母. 3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. 4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． 5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 6、最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 7、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 1．（2022•湖北）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 【分析】根据分式有意义的条件可知x﹣1≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 故答案为：x≠1． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． ►考向二 分式的运算 解题技巧 1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 2、分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 3、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 4、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 5、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 6、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 7、分式的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. （2）计算结果要化为最简分式或整式. 2．（2024•湖北）计算的结果是 　 　． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2022•襄阳）化简分式：　 　． 【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ＝m， 故答案为：m． 【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型． 4．（2022•武汉）计算的结果是 　 　． 【分析】先通分，再加减． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键． 5．（2023•湖北）化简；． 【分析】直接利用分式的加减运算法则，再结合分式的性质化简得出答案． 【解答】解：原式 ＝x﹣1． 【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键． 6．（2023•襄阳）化简：（1）． 【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则，主要运算准确即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，关键是准确应用法则． 7．（2023•十堰）化简：（1）． 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式• • ． 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． ►考向三 分式的化简求值 解题技巧 分式化简求值的一般步骤： (1)有括号先计算括号内的； (2)进行乘除运算(除法变为乘法)； (3)进行加减运算(如果是异分母的先通分，变为同分母分式)，直到化为最简为止； (4)代入数值求代数式的值(代入的数值需使原分式及化简过程中出现的分母都不为0，使其均有意义) 8．（2023•武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2＝x+1，继而可得答案． 【解答】解：原式＝[]• • ， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴原式1． 故选：A． 【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 9．（2023•鄂州）先化简，再求值：，其中a＝2． 【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当a＝2时， 原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10．（2023•宜昌）先化简，再求值：3，其中a3． 【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【解答】解：原式•3 •3 ＝a+3， 当a3时，原式3+3． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 11．（2023•黄石）先化简，再求值：（1），然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式• • ， ∵m﹣3≠0，m﹣1≠0， ∴m≠3，m≠1， ∴当m＝2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 12．（2023•荆州）先化简，再求值：（），其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0． 【分析】先进行分式的化简，再根据零指数幂，负整数指数幂求出x，y的值，进而代入求值即可． 【解答】解：原式＝[]• ＝（）• • ， ∵x＝（）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0＝1， ∴原式2． 【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是准确进行分式化简． 考点二 二次根式 ►考向一 二次根式的概念及性质 解题技巧 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. 3、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 4、（）2（a≥0） 的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 5、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 13．（2021•湖北）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　 　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，a+2≥0， 解得a≥﹣2． 故答案为：a≥﹣2． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14．（2021•襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3 【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则x+3≥0， 解得：x≥﹣3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 15．（2022•武汉）计算的结果是 　 　． 【分析】利用二次根式的性质计算即可． 【解答】解：法一、 ＝|﹣2| ＝2； 法二、 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“|a|”是解决本题的关键． 16．（2021•荆门）下列运算正确的是（　　） A．（﹣x3）2＝x5 B．x C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解． 【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意． B.|x|，错误，不满足题意． C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意． D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简、整式的运算，解题关键是熟练掌握各种运算的方法． ►考向二 二次根式的运算 解题技巧 1二次根式的乘除法 (1)积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）. (2)二次根式的乘法法则: =•（a≥0，b≥0）. (3)商的算术平方根的性质： =（a≥0，b＞0）. (4)二次根式的除法法则: （a≥0，b＞0）. 2、二次根式的加减法 (1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． (2)步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号； ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简； ③合并被开方数相同的二次根式． 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 17．（2023•恩施州）计算：　 　． 【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 18．（2023•十堰）下列计算正确的是（　　） A． B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的加减、完全平方公式分别判断得出答案． 【解答】解：A．无法合并，故此选项不合题意； B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项符合题意； C．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意； D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的加减、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． ►考向三 二次根式的化简求值 解题技巧 二次根式的化简 (1)化简方法： ①利用二次根式的基本性质进行化简 ； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. (2)化简二次根式的一般步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数. 20．（2022•荆州）若3的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2a）•b的值是 　 ． 【分析】根据的范围，求出3的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵12， ∴1＜32， ∵若3的整数部分为a，小数部分为b， ∴a＝1，b＝31＝2， ∴（2a）•b＝（2）（2）＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值． 21．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 　 　，最大值为 　． 【分析】先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当2时，即可求解． 【解答】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3， ∵是大于1的整数， ∴越小，越小，则n越大， 当2时， 4， ∴n＝75， 故答案为：3；75． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 24．（2021•荆州）已知：a＝（）﹣1+（）0，b＝（）（），则　 　． 【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值． 【解答】解：∵a＝（）﹣1+（）0＝2+1＝3，b＝（）（）＝3﹣2＝1， ∴ ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 24．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a，b． 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2 ＝6ab， ∵a，b， ∴原式＝6ab ＝6×（）（） ＝6． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． ► 分式及其运算 1．（2024•西陵区模拟）下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式，由此即可得到答案． 【解答】解：，，，是分式；，是整式， ∴分式有4个． 故选：B． 【点评】本题考查分式的定义，关键是掌握分式的定义． 2．（2024•曾都区三模）如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或0 D．2或﹣2 【分析】根据分式的值为零的条件解决此题． 【解答】解：如果分式的值为0， 则|x|﹣2＝0且x+2≠0， 解得：x＝2． 故选：A． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键． 3．（2024•武汉模拟）已知5a＝2b＝10，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】分别将5a＝10和2b＝10的两边b次方、a次方，得5ab＝10b和2ab＝10a，将这两个等式的左边和右边分别相乘，得5ab•2ab＝10ab＝10a+b，从而得到a+b＝ab，计算即可． 【解答】解：∵5a＝2b＝10， ∴（5a）b＝5ab＝10b，（2b）a＝2ab＝10a， ∴5ab•2ab＝10ab＝10a+b， ∴a+b＝ab， ∴1． 故选：C． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 4．（2024•江夏区校级模拟）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式•的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+2x＝2，代入计算可得． 【解答】解：原式• ， ∵x2+2x﹣2＝0， ∴x2+2x＝2， 则原式2， 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 5．（2024•东西湖区校级模拟）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0， ∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 6．（2024•湖北模拟）已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值 　 　． 【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：分式有意义的条件是x≠4， 所以符合条件的x的值可能是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为“分母不等于0”是解决问题的关键． 11．（2024•襄州区模拟）化简：　 　． 【分析】直接把分子相加减即可． 【解答】解：原式a+1． 故答案为：a+1． 【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 7．（2024•孝南区一模）计算的结果为　 　． 【分析】分子分母约去公因式即可． 【解答】解：， 故答案为：1 【点评】本题考查了分式的约分，当分子、分母是多项式时，首先要把分子分母分解因式． 8．（2024•远安县模拟）计算：． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： • • ． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 9．（2024•荆州二模）化简：（a）． 【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可． 【解答】解：（a） 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，要熟练掌握，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 10．（2024•宜都市二模）先化简，再求值：，其中a＝2． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解： • ， 当a＝2时，原式1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 11．（2024•兴山县模拟）先化简，再求值：，其中． 【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【解答】解： ， ∵ ＝2﹣1 ＝1， ∴原式 ． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．（2024•汉川市模拟）先化简，再求值：（1），然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式• • ， ∵m﹣3≠0，m﹣1≠0， ∴m≠3，m≠1， ∴当m＝2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 13．（2024•阳新县校级模拟）先化简，再求值：，其中m＝﹣3+2． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【解答】解： ＝[]• • • ， 当m＝﹣3+2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 14．（2024•恩施州模拟）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣12＝0． 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，解一元二次方程，根据分式有意义的条件取得x＝3，代入化简结果，进行计算即可求解． 【解答】解：， ∵x2+x﹣12＝0， 即（x+4）（x﹣3）＝0， 解得：x＝﹣4或x＝3， ∵x+4≠0，即x≠﹣4， ∴当x＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 15．（2024•阳新县一模）先化简，再求值（2）÷（），其中a，b． 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法即可化简原式，继而将a、b的值代入计算即可． 【解答】解：（2）÷（） • ＝a﹣b， 当，时， 原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． ► 二次根式及其运算 1．（2024•汉川市模拟）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键． 2．（2024•湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A． B． C．a2•a3＝a6 D．（a3）2＝a9 【分析】根据二次根式的运算法则计算并判定A、B；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定C；根据幂的乘方运算法则计算并判定D． 【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（a3）2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2024•黄石模拟）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件，要使有意义，则x﹣2≥0，据此求出x的取值范围，判断出使有意义的x的取值范围如何在数轴上表示即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣2≥0， 解得x≥2， ∴使有意义的x的取值范围在数轴上表示为． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 4．（2024•洪山区校级二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式的性质得出答案． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 5．（2024•湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A． B． C．（﹣a）2a＝a3 D．（a+1）2＝a2+1 【分析】根据二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，进行求解后，判断即可． 【解答】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、（﹣a）2•a＝a3，选项正确，符合题意； D、（a+1）2＝a2+2a+1，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 6．（2024•襄州区模拟）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式相关运算法则逐项判断即可． 【解答】解：23，故A不正确，符合题意； 2，故B正确，不符合题意； 2，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 7．（2024•南漳县一模）计算：的结果为 　 　． 【分析】直接根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是关键． 8．（2024•湖北一模）当x＜1时，　 　． 【分析】利用二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：∵x＜1， ∴1﹣x． 故答案为：1﹣x． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键． 9．（2024•兴山县模拟）化简　 ． 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【解答】解：原式2， ＝3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算．注意首先将各二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 10．（2024•咸宁模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围为 　 　． 【分析】根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2＞0， 解得x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 11．（2024•阳新县校级二模）计算：． 【分析】先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：原式＝41+4﹣2 ＝21+4﹣2 ＝3． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 12．（2024•湖北模拟）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘法，然后算加减法即可． 【解答】解： ＝（﹣8）+91 ＝（﹣8）+9+6﹣1 ＝6． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（2024•巴东县模拟）计算：． 【分析】先化简，然后计算加减法即可． 【解答】解： （1）+4﹣2 ＝31+4 5． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式、二次根式及其运算 课标要求 考点 考向 1．了解分式和最简分式的概念; 2．能利用分式的基本性质进行约分和通分； 3．能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 4．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算. 分式及其运算 考向一 分式的相关概念及性质 考向二 分式的运算 考向三分式的化简求值 二次根式及其运算 考向一 二次根式的相关概念及性质 考向二 二次根式的运算 考向三 二次根式的的化简求值 考点一 分式 ►考向一 分式的相关概念及性质 解题技巧 1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2、分式必须满足的条件：（1）形如 的式子；（2）A，B都是整式；（3）分母B中含有字母. 3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. 4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． 5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 6、最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 7、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 1．（2022•湖北）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． ►考向二 分式的运算 解题技巧 1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 2、分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 3、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 4、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 5、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 6、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 7、分式的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. （2）计算结果要化为最简分式或整式. 2．（2024•湖北）计算的结果是 　 　． 3．（2022•襄阳）化简分式：　 　． 4．（2022•武汉）计算的结果是 　 　． 5．（2023•湖北）化简；． 6．（2023•襄阳）化简：（1）． 7．（2023•十堰）化简：（1）． ►考向三 分式的化简求值 解题技巧 分式化简求值的一般步骤： (1)有括号先计算括号内的； (2)进行乘除运算(除法变为乘法)； (3)进行加减运算(如果是异分母的先通分，变为同分母分式)，直到化为最简为止； (4)代入数值求代数式的值(代入的数值需使原分式及化简过程中出现的分母都不为0，使其均有意义) 8．（2023•武汉）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 9．（2023•鄂州）先化简，再求值：，其中a＝2． 10．（2023•宜昌）先化简，再求值：3，其中a3． 11． （2023•黄石）先化简，再求值：（1），然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 12．（2023•荆州）先化简，再求值：（），其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0． 考点二 二次根式 ►考向一 二次根式的概念及性质 解题技巧 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. 3、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 4、（）2（a≥0） 的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 5、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 13．（2021•湖北）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　 　． 14．（2021•襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3 15．（2022•武汉）计算的结果是 　 　． 16．（2021•荆门）下列运算正确的是（　　） A．（﹣x3）2＝x5 B．x C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1 ►考向二 二次根式的运算 解题技巧 1二次根式的乘除法 (1)积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）. (2)二次根式的乘法法则: =•（a≥0，b≥0）. (3)商的算术平方根的性质： =（a≥0，b＞0）. (4)二次根式的除法法则: （a≥0，b＞0）. 2、二次根式的加减法 (1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． (2)步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号； ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简； ③合并被开方数相同的二次根式． 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 17．（2023•恩施州）计算：　 　． 18．（2023•十堰）下列计算正确的是（　　） A． B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 19．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． ►考向三 二次根式的化简求值 解题技巧 二次根式的化简 (1)化简方法： ①利用二次根式的基本性质进行化简 ； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. (2)化简二次根式的一般步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数. 20．（2022•荆州）若3的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2a）•b的值是 　 ． 21．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 　 　，最大值为 　． 24．（2021•荆州）已知：a＝（）﹣1+（）0，b＝（）（），则　 　． 24． （2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a，b． ► 分式及其运算 1．（2024•西陵区模拟）下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024•曾都区三模）如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣2或0 D．2或﹣2 3．（2024•武汉模拟）已知5a＝2b＝10，则代数式的值为（　　） A． B． C．1 D．2 4．（2024•江夏区校级模拟）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式•的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2024•东西湖区校级模拟）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 6．（2024•湖北模拟）已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值 　 　． 7．（2024•孝南区一模）计算的结果为　 　． 8．（2024•远安县模拟）计算：． 9．（2024•荆州二模）化简：（a）． 10．（2024•宜都市二模）先化简，再求值：，其中a＝2． 11．（2024•兴山县模拟）先化简，再求值：，其中． 12．（2024•汉川市模拟）先化简，再求值：（1），然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 13．（2024•阳新县校级模拟）先化简，再求值：，其中m＝﹣3+2． 14．（2024•恩施州模拟）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣12＝0． 15．（2024•阳新县一模）先化简，再求值（2）÷（），其中a，b． ► 二次根式及其运算 1．（2024•汉川市模拟）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A． B． C．a2•a3＝a6 D．（a3）2＝a9 3．（2024•黄石模拟）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•洪山区校级二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1 5．（2024•湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A． B． C．（﹣a）2a＝a3 D．（a+1）2＝a2+1 6．（2024•襄州区模拟）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•南漳县一模）计算：的结果为 　 　． 8．（2024•湖北一模）当x＜1时，　 　． 9．（2024•兴山县模拟）化简　 ． 10．（2024•咸宁模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围为 　 　． 11．（2024•阳新县校级二模）计算：． 12．（2024•湖北模拟）计算：． 13．（2024•巴东县模拟）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$