精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2023级高二第二次质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 【详解】由，得到，又， 所以数列是以，公差的等差数列，得到， 故选：B. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B 4. 已知双曲线：，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得双曲线的渐近线为，即可求解离心率. 【详解】依题意可知，双曲线：的渐近线方程为， 即双曲线的渐近线方程为. 又双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的方程为， 其中依次为的实半轴和虚半轴， 渐近线方程为， 所以， 所以， 则双曲线的离心率. 故选：A 5. 图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项. 【详解】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由. 故选：B． 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】因为是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又周长为，所以周长是， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 7. 已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 8. 已经点M在抛物线上运动，过点M引圆C：的切线，切点为N，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用距离公式和二次函数的性质求出的最小值，然后由切线长公式求得最值即可； 【详解】圆C：的圆心，半径， 设，则， 当时，取得最小值为12， 在中，， 所以， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由等差数列的性质可得B正确；由等差的性质可得C错误；由等比数列下标的性质可得D错误； 【详解】对于A，因为为等比数列，所以，故A正确； 对于B，因为，，而， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为为等比数列，所以，故D错误； 故选：AB. 10. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线分别表示圆、椭圆、双曲线求出参数的值或取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得， 即曲线可能是圆，A对； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C对； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，即，解得，D对. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. B. 若为的中线，则 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线1，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】设，不妨令,,,都在第一象限，联立抛物线，根据已知及韦达定理得，即可根据焦半径公式求解A，根据，，以及中点关系即可求解B，根据等腰直角三角形的性质可得矛盾即可求解C，根据，结合焦半径公式即可求解D. 【详解】由题意，, 设，不妨令，都在第一象限， 联立，则，且，即，则， 则直线的斜率为，因此， 当轴时，此时,此时直线的斜率为， 要使与抛物线有两个交点，则，故，A正确， 所以，，则，如图所示， 对于B：若为的中线，则，结合可得，所以，故，进而，则，故B错误； 对于C：若，过作准线的垂线，垂足为，即，即为等腰直角三角形， 此时，即,，所以， 所以，所以，所以，则此时，为同一点，不合题设，故C错误； 对于D,，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小瓶，每小题5分，共15分. 12. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用“点差法”即可求得答案. 【详解】由题意，设，因为的中点为，所以. 又. 于是，即所求直线的斜率为. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用等差数列通项公式与前项和公式得到关于的不等式，结合得解. 【详解】等差数列中，由，所以， 设等差数列的公差为，则得， 所以， 所以，，， 所以，得，得， 又，所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，性质，以及直线与双曲线的位置关系，属于较难题. 由题意得到P在双曲线上，设与直线平行的直线方程为，联立方程，由，求出两条切线方程，再利用两平行线间的距离得到点P到直线的最小距离. 【详解】解：设切线m、n与圆B相切切点分别为M、N， 当点P在第一象限时，由，故点P在双曲线右支上， 同理可得P在双曲线上. 设与直线平行的直线方程为， 联立方程，消去y后整理为， ， 解得， 所以与直线平行且与圆B相切的直线方程为， 则点P到直线的最小距离为． 故答案为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和公式为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用求解通项公式即可； （2）由（1）得，利用等差数列定义判断数列为等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 显然时，满足要求，综上，； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 故为首项，的等差数列，所以. 16. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】（1），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【小问1详解】 由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； 【小问2详解】 由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 17. 已知为等差数列，其前项的和为，为等比数列，公比不为1，若，，，且. （1）求数列的通项公式和等比数列的公比； （2）求数列的前10项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，再由，可求出公差，从而可求出，进而可求出等比数列的公比； （2）由（1）可求出，则可表示出，然后可得数列为等差数列，从而可求出其前10项的和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为为等比数列，所以， 因为，，， 所以. 所以，即. 又因为，所以，所以， 而，所以， 所以， 所以的通项公式为. 所以，，等比数列的公比； 【小问2详解】 因为， 所以，令，则为常数， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前10项和为. 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. （1）求双曲线C的方程； （2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点 【答案】（1） （2）(i)；(ii)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程； (2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围； (ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点. 【小问1详解】 由已知得解得，，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 (i)设，，则，联立， 消去得， 则，，， 可得. 所以的取值范围为：； (ii)由(i)得，， 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为， 由，， 所以 ， 可得， 所以直线BD过定点. 19. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. （1）求椭圆的方程； （2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； （3）求四边形的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，表示出，再结合可求出的取值范围； （3）当的斜率存在且时，设的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系和弦长公式表示出，同理表示出，从而可表示出四边形的面积，化简后利用基本不等式可求出其最小值，当的斜率或斜率不存在时，求出四边形的面积，进而可得结果. 【小问1详解】 当直线的斜率为0时，直线垂直于轴， 所以，，所以， 因为在椭圆上，所以， 解得，，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 ，，设，则， 因为， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 （ⅰ）当的斜率存在且时，设的方程为，代入椭圆方程， 并化简得. 设，， 而恒成立， 则，， . 因为，所以的斜率为， 同理得. 四边形的面积， 当且仅当时，上式取等号. （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积为 . 综上，四边形的面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中四边形的面积问题，第（3）问解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系弦长公式、四边形的面积公式表示出四边形的积，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二第二次质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 16 D. 19 2. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A B. C. D. 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（ ） A B. C. D. 8. 已经点M在抛物线上运动，过点M引圆C：的切线，切点为N，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 10. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线双曲线，则 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. B. 若为的中线，则 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线1，都有 三、填空题：本题共3小瓶，每小题5分，共15分. 12. 已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______. 13. 已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为_____________. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点、分别作圆B的切线m和、n与x轴不重合，切线m和n相交于点P，则点P到直线的最小距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和公式为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 16. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. （1）求和的值； （2）过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 17. 已知为等差数列，其前项的和为，为等比数列，公比不为1，若，，，且. （1）求数列的通项公式和等比数列的公比； （2）求数列的前10项和. 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. （1）求双曲线C的方程； （2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 19. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. （1）求椭圆的方程； （2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； （3）求四边形的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$