精品解析：浙江省宁波市江北实验中学2024-2025学年九年级上学期开学暑假作业检测数学试题

江北实验中学2024学年度第一学期暑假作业质量检测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键． 二次函数的定义：形如且 为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A项．中没有二次项，不是二次函数，不符题意； B项．中是 次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意； C项．中的二次项没有排除的情况，所以不一定是二次函数，不符题意； D项．展开后得：，符合二次函数定义，符合题意 故答案为：D 2. 将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标再求出平移后的顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 ， 故将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为 ， 故向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是． 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 3. 已知中最长的弦为，则的半径为（ ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 4. 如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系． 连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】如图，连接，设为x ，， 在中有： 解得： 故 故选：C 5. 把写成的形式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把函数解析式配方即可． 【详解】解：配方得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，这是二次函数学习中常用到的变形，务必掌握． 6. 在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定抛物线的对称轴为，开口向下，抛物线上的点与对称轴距离越远，相应的函数值越小． 【详解】解：抛物线对称轴为， ∵，开口方向向下， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解二次函数的对称轴，增减性是解题的关键． 7. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 同心圆的周长相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 面积相等的圆是等圆 D. 平分弧的弦一定经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．掌握以上几个基本概念是解答本题的关键． A周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；C利用等圆的条件进行分析解答；D根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意； C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，取的中点，连接 ，以为半径，为圆心画弧交于；以为半径，为圆心画弧交于，则阴影部分面积是（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法、矩形的性质、勾股定理等知识，正确得出的长以及的度数是解答本题的关键． 根据题意得出，，进而根据阴影部分的面积，求出答案． 【详解】解：在矩形中，，是的中点， ，， ， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积， 故选：A． 9. 如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时 是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键． 10. 若满足的任意实数 ，都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，根据题意可以得到关于 的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以求得 的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而双曲线分布在第一、三象限， ∵，， ∴时，，解得： 时，，解得： ， ∴实数 的取值范围是． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线与 轴只有一个交点，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与 轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得： ． 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性．先确定点关于直线的对称点的坐标为，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：点关于直线的对称点的坐标为， 所以根据对称性，二次函数的图象一定还过点， 故答案为：． 13. 如图，正五边形内接于，是的直径，P是上的一点（不与点B，F重合），则 的度数为__°． 【答案】54或126 【解析】 【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质推出直径，从而求出的度数，分两种情况，即可解决问题． 【详解】解：连接 ， ∵正五边形的五个顶点把圆五等分， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴直径， ∴， ∵， ∴， 当P在上时，连接， ∵， ∴， ∴， 当P在上时， 由圆内接四边形的性质得． ∴ 的度数是或 ． 故答案为：54或126． 【点睛】本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质． 14. 如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当， 时，CD___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，得到，则是解答的关键．过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，再根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，，， ∴，，又 ， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵ ， ∴，则， 在中，， 在中， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质和最大值的计算方法 ．根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：将二次函数 转化为顶点式，即 ， 顶点形式为 的抛物线顶点是 ，函数的对称轴是， 因为，对称轴 位于其右侧，函数的最大值将出现在， 将 代入函数求解 k 的值，原式变为 ， 得到方程 ，解得． 故答案为：4 ． 16. 如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理得，则点E在以为直径的上，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接，如图， ∵E是的中点，过圆心， ∴， ∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接， ∵点F是的三等分点，且靠近点B， ∴， 又∵， ∴ 是正三角形， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， 即的最小值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 三、解答题（17，18，19，20，21题6分， 22题，23题7分，24题8分，共52分） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求， ， 点A到经过的路径长． 【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置． 19. 如图，现打算用 的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过 ，求该菜园面积的最大值． 【答案】（1）可能， （2）288平方米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于 的面积，根据函数性质计算即可． 【小问1详解】 设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． 【小问2详解】 ∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 20. 如图，在中，，是半径，是劣弧上的一点，且． （1）求的度数． （2）若．求证：四边形 是菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等．掌握相关知识点是解题关键． （1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解； （2）证 ，通过“四条边都相等的四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 解：是劣弧上的一点，且， 劣弧的度数为，优弧的度数为， ，； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： 是半径，点在上， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 同理得：， ， 四边形 是菱形． 21. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． （2）在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）存在，，过程见解析 （2）存在，，过程见解析 【解析】 【分析】（1）分别令，，求得点A、B、C的坐标．求得抛物线的对称轴，然后根据点A、点B关于抛物线对称轴直线对称的特点可知，对称轴与直线的交点即是P，即是满足的周长最小的点． （2）依据题意可知，当过点D且平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，据此设出过点D的且与直线平行的直线解析式，然后联立抛物线解析式，消去y，令关于x的二次方程的判别式为0，即可求解． 【小问1详解】 解：存在， ∵抛物线 与x轴交于A、B两点， ∴令，得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线 与y轴交于点C． 令，得 ， ∴点C的坐标是， ∵抛物线的解析式为： ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得： ， ∴点P的坐标是； 【小问2详解】 解：存在． 如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大． 设过点D的直线的解析式为 ， 联立方程组， 消去y并整理得：， 此时， ∴， 故点D的横坐标，纵坐标， ∴． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标、求三角形周长的最小值与面积的最大值、求直线的解析式、一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是画出图形有助于发挥“数形结合”直观思维，从而有利于问题的解决． 22. 如图正方形内接于，为任意一点，连接、． （1）求的度数． （2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设 ，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； 【小问2详解】 解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得 或 （舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图1，E点为x轴正半轴上一点， 交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、 ． （1）的度数为 °； （2）如图2，连结，取中点，则的最大值为 ； （3）如图3，连接、、、．若平分 交于点，求的长； （4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）120 （2）2 （3） （4） 为定值， 由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则，   由（1）得， ， 将绕A点顺时针旋转至， ， ， ， 四边形 为圆内接四边形， ， ， 、、三点共线， ， 过A作 于，则 ， ， 在 中， ， 设 ，则 ， ， ，  为定值． 【解析】 【分析】（1）由已知条件可以得到垂直平分，所以，由于 ，所以可以证得三角形为等边三角形，得到 ； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到是的中点，又是的中点，连接，则 ， ，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大； （3）由于直径，根据垂径定理，可以得到，所以 ，又平分 ，所以 ，可以证明 ，所以 ，由（1）可得， ，所以 ； （4）由直径，可以得到垂直平分，所以， ，将绕点顺时针旋转至，可以证明，，三点共线，所以 ，可以证明 是顶角为的等腰三角形，过做 于，由于 ，可以通过勾股定理或者三角函数证明 ，所以． 【小问1详解】 （1）连接，， 、 ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 故答案为：120． 【小问2详解】 由题可得，为 直径，且， 由垂径定理可得，， 连接，如图2， 又为的中点， ，且 ， 当，，三点共线时，此时取得最大值， 且 ， 的最大值为2， 故答案为：2． 【小问3详解】 连接，， 直径， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问4详解】 略 【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江北实验中学2024学年度第一学期暑假作业质量检测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（     ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中最长的弦为，则的半径为（ ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 4. 如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 把写成的形式是( ) A. B. C. D. 6. 在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 同心圆的周长相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 面积相等的圆是等圆 D. 平分弧的弦一定经过圆心 8. 如图，在矩形中，，取的中点，连接 ，以为半径，为圆心画弧交于；以为半径，为圆心画弧交于，则阴影部分面积是（    ）． A. B. C. D. 9. 如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（    ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线与轴只有一个交点，则__________． 12. 已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是___________． 13. 如图，正五边形内接于，是的直径，P是上的一点（不与点B，F重合），则 的度数为__°． 14. 如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当， 时，CD___________________． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为____________． 16. 如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为___． 三、解答题（17，18，19，20，21题6分， 22题，23题7分，24题8分，共52分） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 19. 如图，现打算用 的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过 ，求该菜园面积的最大值． 20. 如图，在中，，是半径，是劣弧上的一点，且． （1）求的度数． （2）若．求证：四边形 是菱形． 21. 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． （2）在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 22. 如图正方形内接于，为任意一点，连接、． （1）求的度数． （2）如图2，过点作交于点，连接，， ，，求的长度． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图1，E点为x轴正半轴上一点， 交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、 ． （1）的度数为 °； （2）如图2，连结，取中点，则的最大值为 ； （3）如图3，连接、、、．若平分 交于点，求的长； （4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $