复习专题10 函数的零点及函数应用（10考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题10 函数的零点与函数应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数的零点与方程的根 1、函数零点的定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． 2、注意事项 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点2：零点存在定理及其推论 1、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的． 2、重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点3：二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 知识点4：函数的应用 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，）； （2）二次函数模型：（为常数，）； （3）指数函数模型：（为常数，，且）； （4）对数函数模型：（为常数，，且）； （5）幂函数模型：（为常数，）； （6）分段函数模型：． 2、用函数模型解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 考点剖析 【考点1 求函数的零点】 1．（24-25高一上·江西上饶·月考）函数的零点为 . 【答案】 【解析】由得或， 即或或. 由得或，则不合题意， 故函数的零点为. 2．（24-25高一上·湖南长沙·月考）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是.故选：D 3．（24-25高一上·广东广州·月考）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得，所以，故. 所以函数的零点是.故选：B. 4．函数的零点为（    ） A．(1，0) B．1 C．e D． 【答案】B 【解析】根据零点的定义，将x＝1代入函数， 则即零点为：1.故选：B． 5．已知函数则函数的零点为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】当时，令，解得； 当时，令，解得（舍）， 所以的零点为．故选：C 【考点2 函数零点所在区间问题】 6．（24-25高一上·云南大理·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知在上单调递增， 又， 故函数的零点所在区间为.故选：D. 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意函数与函数均单调递增， 所以函数也单调递增，且， 所以由零点存在定理可知函数的零点.故选：B. 8．（23-24高一上·湖北黄冈·月考）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D. 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（    ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【解析】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，，则， 由零点存在性定理知，在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或，故选：C. 10．（23-24高一上·江苏扬州·期末）关于x的方程的唯一解在区间内，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由题意得，关于x的方程的唯一解在区间内可转化为： 函数的唯一零点在区间内， 由，且， 由零点存在性定理可得在上有零点， 又因为函数的唯一零点在区间内， 所以.故选：A． 【考点3 判断函数零点的个数】 11．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2．故选：B． 12．（24-25高一上·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】令，则， 在同一坐标系内分别作出的图象， 因为， ， 在定义域上都单调递增且随着的增大， 的增长速度远大于， 所以的图象有两个交点， 所以的零点个数为2.故选：C. 13．（24-25高一上·河南·期中）已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设①，则， 由①令得，在上单调递增，，得， 所以， 对于方程，即， 两边除以x得， 令函数， 在上单调递增，，， 所以在区间有唯一零点， 所以方程有唯一根．故选：A． 14．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根， 即函数有4个零点．故选：C． 15．（24-25高一上·湖南常德·月考）函数的零点个数为 . 【答案】2 【解析】令，可得， 设，， 在同一坐标系下分别画出函数，的图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点. 故答案为：2. 【考点4 根据函数零点的个数求参数】 16．（24-25高一上·河北唐山·月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数有3个零点， 则方程有三个根， 故函数与的图象有三个交点； 函数，其图象如下所示， 又因为函数， 则实数的取值范围，故选：B. 17．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，在上单调递减，函数值的集合为， 当时，在是单调递增，函数值的集合为， 在上单调递减，函数值的集合为，而， 由函数有两个零点，得或，解得或， 所以实数的取值范围为.故选：C 18．（24-25高一上·北京·月考）已知函数，若有个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为有个零点， 所以的图象有两个交点， 作出的图象如下图所示： 当有两个交点时，可知， 所以，即，故选：A. 19．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】若函数有三个零点， 则与的图象有个交点， ， 当时，， 当时，， 当，时，，的大致图象如下， 要使与的图象有个交点， 则，解得或. 故答案为：. 20．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图，因为和均为上的减函数，所以函数在上单调递减， 所以作出函数的图象如下： 令，由图知，当时，方程有2个不同的解， 当时，方程有1个解， 因为， 令，即，即， 即， 如图所示，作出函数的图象，    函数恒过定点， 当函数的图象只有一个交点时， 即，即只有一个解， 则，解得（舍去）， 当时，由图知函数的图象有2个交点， 即方程有2个根，且一个在上，一个为1， 所以方程有4个不同的解， 即函数有4个零点，所以不符合题意； 当时，由图知函数的图象只有一个交点， 即方程有且仅有一个根，且这个根在上， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点，所以符合题意； 当时，由图知函数的图象有3个交点， 即方程有3个根，且一个在上，另外两个在上， 所以方程有6个不同的解， 即函数有6个零点，所以不符合题意； 当时，方程没有正数根， 此时令，则， 当时，方程无解，所以方程无解， 即函数没有零点，所以不符合题意； 当时，， ①当时，，即方程的解为， 所以方程有2个不同的解，即函数有两个零点， 所以符合题意； ②当时，， 则由，得，则， 所以方程有2个不同的解，即函数有两个零点， 所以符合题意； ③当时，， 则由，得，则， 所以方程只有2个解，即函数有2个零点， 故符合题意； ④当时，， 则由，得， 则， 所以方程有3个不同的解，即函数有3个零点， 故不符题意， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【考点5 求函数零点的和】 21．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时，, 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 22．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数、的定义域均为， 因为， 所以，， 故函数的图象关于点对称， 因为 ， 故，则函数的图象也关于点对称， 不妨设，由题意可知，这两个函数的交点也关于对称，且， 则点与点关于点对称，则， 因此，.故选：B. 23．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示： 由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1， 另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为，故选：C 24．（24-25高一上·江苏无锡·月考）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【解析】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 令，解得或，又因为，不妨设， 所以，则， 因此，.故选：B. 25．（23-24高三下·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 【考点6 零点的大小及取值范围】 26．（24-25高一上·河南周口·期末）已知方程有两个不同的实数根，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有两个不同的实数根，即函数与的图象有两个交点， 由题意，分别画和的图象如下所示： 由图可知在和分别有一个交点，不妨设，， 则在上有，即①，在有②， ①②两式相加有 ，即 ，，故选：C． 27．（24-25高一上·河南·月考）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，.故选：B． 28．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象如图，不妨令， 观察图象，得，且，， 由，得， 因此， 设，函数在为增函数，， 则，所以的取值范围是.故选：A 29．（24-25高一上·云南昭通·月考）（多选）已知函数且时，，则的取值可能是（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】BC 【解析】易知，画出函数图形如下图所示：    结合图形可得，， 又，因此，可得； 即，所以.故选：BC. 30．（24-25高一上·河北石家庄·月考）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出的图象如下图所示： 不妨设， 当时，，对称轴为， 当时，令，解得， 则， 令，则，， ，则， 则， 由图知，对称轴，则在上单调递增， 则其范围为 【考点7 对二分法概念的理解】 31．（23-24高一下·江苏扬州·期中）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选：C. 32．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C 33．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线， 若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点.故选：C 34．（24-25高一上·天津·月考）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B 35．（24-25高一上·江西九江·月考）下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减， 所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，故选：C 【考点8 二分法在方程与函数的应用】 36．（24-25高一上·河南新乡·月考）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由于，所以，， 所以下一步可断定该根所在的区间为.故选:B. 37．（24-25高一上·四川成都·期末）用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算.故选：B. 38．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7.故选：C. 39．（24-25高一上·湖南·月考）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（    ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D 【解析】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确故选：D 40．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是.故选：B. 【考点9 指数与对数函数模型的应用】 41．（24-25高一上·江苏镇江·月考）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（   ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A． B． C． D．19 【答案】C 【解析】因为，，解得， 设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为， 则（天）， 所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为天，故选：C. 42．（24-25高一上·江苏苏州·月考）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为（    ） A．100 B．80 C．60 D．30 【答案】B 【解析】因为， 所以穿梭在马路上声音强度为， 所以汽车穿梭在马路上声音的等级约为.故选：B. 43．（24-25高一上·湖北·月考）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（    ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解析】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时.故选：B. 44．（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【解析】依题意，当时，，解得， 所以，由得， 所以，则，故， 所以的最小整数值为.故选：B. 45．（24-25高一上·江苏泰州·月考）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，两个物体的温度分别为，假设两个物体的升温系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，则①， ，则②， 可得：，则，， 化简可得.故选：C. 【考点10 根据增长率选择函数模型】 46．（24-25高一上·广东·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为；(2)分钟 【解析】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 47．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适；(2)2031年 【解析】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 48．（23-24高一上·广西桂林·期末）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式； (2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【答案】(1) (2)第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【解析】（1）由题中表格知，随着的增加，先增后减，而模型①与③都是单调函数不符题意， 模型②为二次函数模型，符合题意，故选模型②， 由函数图象对称性可知， 由表格数据可得，解得， 所以. （2）已知第2天该工艺品的日销售收入为220元，即售价为， 所以，解得，所以， 所以销售收入， 日销售收入不低于588元，所以只需，解得. 所以在过去的30天中，第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元. 49．（23-24高一上·江苏南通·期末）汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表： 15 30 60 105 1.25 5 20 61.25 (1)在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式； (2)在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶. 【答案】(1)散点图见解析，最恰当的一个函数模型为②，；(2)该车未超速行驶 【解析】（1）散点图如下图，最恰当的一个函数模型为②. 将点代入，得，解得，所以. 经检验，表中其余三点的坐标均满足，所以最恰当的函数模型为②. （2）由（1）知，为的增函数. 法1：当时，. 因为.所以该车不超速. 法2：当时，，即， 所以，又.所以. 因为.所以该车未超速行驶. 50．（22-23高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析 (2)；千件 【解析】（1），在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·天津滨海新·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数在上均是增函数， ∴函数在上是增函数， ∵，，∴， ∴函数在区间上有唯一零点.故选：B． 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为， 当时，令，即，解得，（舍去）； 当时，令，即，即，解得； 综上可得函数的零点为，共个.故选：B 3．（24-25高一上·宁夏银川·月考）用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，，则根据零点存在性定理，函数在上存在零点， 取区间的中点，且，则， 所以根据零点存在性定理，.故选：C. 4．（24-25高一上·湖北恩施·月考）“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【解析】由题可知，函数， 令，则，两边同时取对，得， 即，即.故选：B 5．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示， 由图可知，.故选：B 6．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象， 令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令，由函数有5个零点， 得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是.故选：B 二、填空题 7．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【解析】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则 ． 【答案】0 【解析】因为函数为奇函数，所以的图象关于中心对称， 设函数的个零点分别为，所以， 函数的图象向右平移个单位得到，所以的图象关于中心对称， 则 ，． 因为是定义域为的奇函数， 所以零点个数为奇数，则． 故答案为：0 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 当时，，所以在上单调递减，且； 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，可得的图象如下所示： 因为方程有三个不同的实数解，即与有三个交点， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 10．（24-25高一上·浙江金华·期中）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻时的函数关系为，，其中为空气治理调节参数，且． (1)若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； (2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】(1)第个时刻；(2) 【解析】（1）时，，， 令，解得， 因此：一天中第个时刻该市的空气污染指数最低． （2）令 当时，单调递减，． 当时，单调递增，． 联立，解得．可得． 因此调节参数应控制在范围． 11．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【答案】(1)模型①，；(2)7月份，8月份，9月份. 【解析】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢， 所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当. 根据题意可得，当时，；当时，， 由，解得， 故该函数模型的解析式为. （2）函数在其定义域内单调递增， 令，得，又，所以， 故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内. 12．（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 【答案】(1)；(2)最小值为4，最大值为5 【解析】（1）由题意， 得，解得， 所以m的取值范围为. （2）由韦达定理得，，且，即或， 则，且恒成立， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 令，， 则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， 则的最小值为4，最大值为5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数的零点与函数应用 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数的零点与方程的根 1、函数零点的定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． 2、注意事项 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点2：零点存在定理及其推论 1、零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的． 2、重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点3：二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 知识点4：函数的应用 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，）； （2）二次函数模型：（为常数，）； （3）指数函数模型：（为常数，，且）； （4）对数函数模型：（为常数，，且）； （5）幂函数模型：（为常数，）； （6）分段函数模型：． 2、用函数模型解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 考点剖析 【考点1 求函数的零点】 1．（24-25高一上·江西上饶·月考）函数的零点为 . 2．（24-25高一上·湖南长沙·月考）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·月考）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点为（    ） A．(1，0) B．1 C．e D． 5．已知函数则函数的零点为（    ） A． B． C． D．1 【考点2 函数零点所在区间问题】 6．（24-25高一上·云南大理·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北黄冈·月考）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（    ） A． B．2 C．或2 D．1 10．（23-24高一上·江苏扬州·期末）关于x的方程的唯一解在区间内，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点3 判断函数零点的个数】 11．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25高一上·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（24-25高一上·河南·期中）已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 15．（24-25高一上·湖南常德·月考）函数的零点个数为 . 【考点4 根据函数零点的个数求参数】 16．（24-25高一上·河北唐山·月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． 17．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·北京·月考）已知函数，若有个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围 ． 20．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 【考点5 求函数零点的和】 21．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．（24-25高一上·江苏无锡·月考）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 25．（23-24高三下·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【考点6 零点的大小及取值范围】 26．（24-25高一上·河南周口·期末）已知方程有两个不同的实数根，则有（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·河南·月考）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·云南昭通·月考）（多选）已知函数且时，，则的取值可能是（    ） A．9 B．11 C．12 D．13 30．（24-25高一上·河北石家庄·月考）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 . 【考点7 对二分法概念的理解】 31．（23-24高一下·江苏扬州·期中）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·天津·月考）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·江西九江·月考）下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【考点8 二分法在方程与函数的应用】 36．（24-25高一上·河南新乡·月考）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·四川成都·期末）用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 39．（24-25高一上·湖南·月考）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（    ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 40．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点9 指数与对数函数模型的应用】 41．（24-25高一上·江苏镇江·月考）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（   ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A． B． C． D．19 42．（24-25高一上·江苏苏州·月考）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为（    ） A．100 B．80 C．60 D．30 43．（24-25高一上·湖北·月考）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（    ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 44．（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据，） A．6 B．7 C．10 D．11 45．（24-25高一上·江苏泰州·月考）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，两个物体的温度分别为，假设两个物体的升温系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【考点10 根据增长率选择函数模型】 46．（24-25高一上·广东·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 47．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 48．（23-24高一上·广西桂林·期末）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式； (2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 49．（23-24高一上·江苏南通·期末）汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表： 15 30 60 105 1.25 5 20 61.25 (1)在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式； (2)在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶. 50．（22-23高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·天津滨海新·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·宁夏银川·月考）用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北恩施·月考）“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 5．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 8．（23-24高一上·云南昆明·期末）若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则 ． 9．（24-25高一上·浙江·期中）已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 10．（24-25高一上·浙江金华·期中）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻时的函数关系为，，其中为空气治理调节参数，且． (1)若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； (2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？ 11．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 12．（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，． (1)若，，求m的取值范围； (2)若，求的最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$