7.2 幂的乘方与积的乘方（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

7.2　幂的乘方与积的乘方（六大题型提分练） 题型一 幂的乘方 1．对于算式“”，下列说法正确的是（    ） A．□表示“个” B．□表示“个n” C．█表示“个” D．█表示“个” 2．可以表示成（　　） A．4个相加 B．7个a相乘 C．3个相加 D．4个相乘 3．与结果相同的是（    ） A． B． C． D． 4．如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 5．若，则m的值为（        ） A．100 B．50 C．25 D．4 6．计算： ； ； ． 7．如果，则等于 ． 8．比较大小： （填＞、＜或＝） 9．已知，，则 10．已知，求的值． 11．已知，求的值． 12．已知，求的值． 题型二 幂的乘方运算性质的逆用 1．不能写成（    ）． A． B． C． D． 2．若，则m，n的大小关系为（　 ） A． B． C． D．无法确定 3．已知（其中a，b为正整数），则 ． 4．若为正整数．且，则的值为 ． 5．已知，求的值． 6．（）已知，求的值； （）已知，，则用含的代数式表示． 题型三 积的乘方 1．形如这样的运算叫做（   ） A．同底数幂相乘 B．幂的乘方 C．积的乘方 D．乘方的幂 2．计算，其中第一步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 3．、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 4．下列图形能够直观地解释的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若成立，则， 6．若，，则可以表示为 7．已知，则 ． 8．指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因： （1）；     （2）；    （3）． 9．计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ． 10．一个正方体的棱长为，求它的体积． 题型四 积的乘方运算性质的逆用 1．若，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 2．已知，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 3．计算： ． 4．已知，则的值为 ． 5．如果，那么的值为 ． 6．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型五 同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方混合运算 1．下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 2．关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，那么x，y，z之间满足的等量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，满足方程，则 ． 7．已知a，b为任意非零实数，且，则 ． 8．已知，则的值为 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．先化简，再求值：，其中． 题型六 同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方运算性质的逆用 1．计算：（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．已知：，则是（    ）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 3．若，，则用含x的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为 ． 6．若用科学记数法表示为，则正整数 ． 7．若，用表示． 8．已知，求x的值． 9．已知为正整数，且，，求的值． 10．已知，，求的值． 1．幂的乘方运算、法则推导过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） 甲：第一步的依据是乘方的意义；乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则； 丙：第三步的依据是乘法的意义．下列判断正确的是：（    ） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙，丙都错 C．只有丙错 D．只有乙错 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 4．不可以写成 （    ） A． B． C． D． 5．下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的关系是（    ） A． B． C． D． 7．若x，y均为非负整数，且，则的值为（    ） A．3或4或5 B．4或5 C．4成5或6 D．3成4或5或6 8．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　） A．18 B．24 C．36 D．63 10．若a，b，c，d为正数，且，则a，b，c，d中最大的数是（    ） A．a B．b C．c D．d 11．结果用科学记数法表示为 ． 12．已知，，则 . 13．若，则 ． 14．若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 15． （比较大小） 16．已知，则 ． 17．，，则 ． 18．式子的值的个位数是 ． 19．通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 20．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 21．化简求值：，其中，． 22．若且，，是正整数，则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？ (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 23．若，求的值． 24．若，求的值． 24．已知，，试用含m，n的式子表示． 25．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 26．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 27．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______，______； (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： ∵设，则， ∴，即， ∴ ∴． 试参照小明的证明过程，解决下列问题： ①计算； ②请你尝试运用这种方法，写出，，之间的等量关系．并给予证明． 28．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________； (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________； (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2　幂的乘方与积的乘方（六大题型提分练） 题型一 幂的乘方 1．对于算式“”，下列说法正确的是（    ） A．□表示“个” B．□表示“个n” C．█表示“个” D．█表示“个” 【答案】C 【解析】解：， █表示“个”， 故选：C． 2．可以表示成（　　） A．4个相加 B．7个a相乘 C．3个相加 D．4个相乘 【解析】解：A、表示4个相乘，故此选项不符合题意； B、∵，∴表示12个a相乘，故此选项不符合题意； C、∵，∴表示3个相乘，故此选项不符合题意； D、表示4个相乘，故此选项符合题意； 故选：D． 3．与结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， A，，不合题意； B，，不合题意； C， ，符合题意； D，，不合题意； 故选：C． 4．如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是， 故选：C． 5．若，则m的值为（        ） A．100 B．50 C．25 D．4 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．计算： ； ； ． 【解析】解：，，. 故答案为：64；；． 7．如果，则等于 ． 【解析】解：， 则． 故答案为：． 8．比较大小： （填＞、＜或＝） 【解析】，， ， ， 故答案为：． 9．已知，，则 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．已知，求的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 11．已知，求的值． 【解析】解：∵ ∴， ∴． 12．已知，求的值． 【解析】解： ， ∴， 解得：． 题型二 幂的乘方运算性质的逆用 1．不能写成（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．若，则m，n的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解：， 又， ， ， 故选：B． 3．已知（其中a，b为正整数），则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：64． 4．若为正整数．且，则的值为 ． 【解析】解析： ， 故答案为：0． 5．已知，求的值． 【解析】∵， ∴原式 . 6．（）已知，求的值； （）已知，，则用含的代数式表示． 【解析】（）原式， ， ∵， ∴原式； （）∵， ∴， ∴． 题型三 积的乘方 1．形如这样的运算叫做（   ） A．同底数幂相乘 B．幂的乘方 C．积的乘方 D．乘方的幂 【答案】C 【解析】解：形如这样的运算叫做积的乘方． 故选：C． 2．计算，其中第一步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 【答案】B 【解析】计算，其中第一步运算的依据积的乘方， 故选：． 3．、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴必为奇数， 故选：B． 4．下列图形能够直观地解释的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】、  表示，故符合题意； B、   表示，故不符合题意； C、  表示，故符合题意； D、   表示，故不符合题意． 故选：A． 5．若成立，则， 【解析】∵ ∴， ∴，． 故答案为：，． 6．若，，则可以表示为 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：. 7．已知，则 ． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因： （1）；     （2）；    （3）． 【解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：． （2）对． （3）错，系数应为9，应为：． 9．计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】解：（1）； （2）原式； （3）； （4）. 10．一个正方体的棱长为，求它的体积． 【解析】解：正方体的棱长为， 它的体积为． 题型四 积的乘方运算性质的逆用 1．若，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 【答案】A 【解析】∵， ∴． 故选：A． 2．已知，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】解：， ，即， ， 解得：． 故选：C． 3．计算： ． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 4．已知，则的值为 ． 【解析】解：， ， 故答案为：． 5．如果，那么的值为 ． 【解析】， ，， ，， ． 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】解：（1）； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 题型五 同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方混合运算 1．下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【解析】解： （幂的乘方） （同底数幂的乘法） 故选：B． 2．关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】解： ， 故选：B． 3．与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ． A、，此选项不符合题意； B、 ，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 4．已知，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：， ， ， ， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C符合题意； 当时，，故D不符合题意， 故选：C． 5．已知，那么x，y，z之间满足的等量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．已知，满足方程，则 ． 【解析】解：， ， 故答案为：． 7．已知a，b为任意非零实数，且，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵a，b为非零实数， ∴，，解得，， 故． 故答案为：36． 8．已知，则的值为 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）解：原式． （2）解：原式； （3）解：原式. （4）解：原式． 10．先化简，再求值：，其中． 【解析】解： ， 当，时，原式． 题型六 同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方运算性质的逆用 1．计算：（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】解： ． 故选：A． 2．已知：，则是（    ）位正整数． A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【解析】解： ． 故M是10位正整数． 故选：A． 3．若，，则用含x的代数式表示y为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵x=3m+1=3×3m， ∴3m=， ∵y=2+9m， ∴y=2+(32)m=2+(3m)2=2+=2+． 故选：C． 4．已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，， ，， ， 故选A． 5．已知，，则的值为 ． 【解析】解：当，时， ，， ， ， 故答案为：． 6．若用科学记数法表示为，则正整数 ． 【解析】解：， ∴， ∴． 故答案为：9． 7．若，用表示． 【解析】． 将代入上式， 原式． 8．已知，求x的值． 【解析】解：∵， 又∵， ∴ ∴． 9．已知为正整数，且，，求的值． 【解析】解： ． 10．已知，，求的值． 【解析】解：，， 的 ． 1．幂的乘方运算、法则推导过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） 甲：第一步的依据是乘方的意义；乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则； 丙：第三步的依据是乘法的意义．下列判断正确的是：（    ） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙，丙都错 C．只有丙错 D．只有乙错 【答案】A 【解析】解：由推导过程可得： 第一步是依据乘方的意义，第二步是依据同底数幂的乘法法则，第三步是依据乘法的意义， 故甲、乙、丙都对， 故选：A． 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，故计算错误； B、，∴，故计算错误； C、，故计算错误； D、，∴，故计算正确； 故选：D． 3．下列各式计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】解：①，正确； ②，不正确； ③，正确； ④，不正确； 正确的有：①③， 故答案为：B． 4．不可以写成 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 5．下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 6．已知，，，则a，b，c的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴，即， ∴ 故选：B． 7．若x，y均为非负整数，且，则的值为（    ） A．3或4或5 B．4或5 C．4成5或6 D．3成4或5或6 【答案】D 【解析】解：∵， ∴2x+1•22y＝， ∴2x+1+2y＝， ∴x+1+2y＝7， ∴x+2y＝6， ∵x，y均为非负整数， ∴x＝6，y＝0，此时x+y＝6； x＝4，y＝1，此时x+y＝5； x＝2，y＝2，此时x+y＝4； x＝0，y＝3，此时x+y＝3； ∴x+y＝3，4，5，6． 故选：D． 8．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 9．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【解析】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D. 10．若a，b，c，d为正数，且，则a，b，c，d中最大的数是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【解析】解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以a，b，c，d中最大的数是b． 11．结果用科学记数法表示为 ． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．已知，，则 . 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：216. 13．若，则 ． 【解析】解：∵， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 14．若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 15． （比较大小） 【解析】解：， 故答案为：． 16．已知，则 ． 【解析】解：∵， ∴，， ∴则 ， 故答案为：． 17．，，则 ． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．式子的值的个位数是 ． 【解析】解：原式＝， ∵……， ∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……， ∵ ∴的末位数是6； ∵ ∵ ∴的个位数为2 故答案为：2． 19．通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 【解析】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 20．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： . 21．化简求值：，其中，． 【解析】解： ， 当时，原式． 22．若且，，是正整数，则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？ (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【解析】解：（1） ∴ 解得； （2） ∴ 解得． 23．若，求的值． 【解析】解：∵， ∴ = = = =98． 24．若，求的值． 【解析】解：∵，∴，， ∴ . 24．已知，，试用含m，n的式子表示． 【解析】解：∵或； ∴，或， ∵，， ∴或． 25．阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【解析】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴； （2）∵， ， ， ∵， ∴． 26．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【解析】（1）解：，，且， ， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方； 故选：C； （2）解：∵，，， ∴． ∴， ∴． 27．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______，______； (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： ∵设，则， ∴，即， ∴ ∴． 试参照小明的证明过程，解决下列问题： ①计算； ②请你尝试运用这种方法，写出，，之间的等量关系．并给予证明． 【解析】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3；2；5； （2）① ； ②． 证明：设，，则， 所以，，， 所以． 28．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________； (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________； (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示） 【解析】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$