精品解析：山西省长治市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的加减与共轭复数与模长即可得结论. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出集合，即可求交集. 【详解】由可得，， 所以，所以， 又，所以， 故选：C. 3. 已知抛物线的焦点为F，若C的准线被以F为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】由题设写出抛物线焦点和准线方程可得圆心到准线距离，再结合圆截准线的长即可求出圆的半径，进而由圆的标准方程得解. 【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为， 所以圆的半径为， 所以该圆的方程为. 故选：D. 4. 已知角的终边在射线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，先求出的值，再将展开用表示，代入计算即可． 【详解】在角的终边上任取一点， 故, ． 故选：A． 5. 光明中学举办了一场“史地知识竞赛”，共设置了道历史题和道地理题.某参赛同学从所有题中随机抽取两道题作答，若该同学答对任意一道历史题的概率为，答对任意一道地理题的概率为，则该同学至少答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合组合数和古典概型问题，直接求解概率即可. 【详解】由题知，抽取的两道分为两道历史，两道地理和历史、地理各一道， 至少答对一道题有答对一道和答对两道两种， 则其概率为. 故选：C 6. 已知函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性判断方法先判断出的单调性，然后根据二次函数的对称轴进行分析，注意定义域，由此求出结果. 【详解】因为在区间单调递减，所以在区间单调递增， 即在区间单调递增， 因为的对称轴为，所以，解得， 故选：A. 7. 已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把平面平面，转化为，再利用等边三角形的性质，确定和的外接圆的圆心的位置，从而得到四边形为正方形，进一步得到，再求出的外接圆半径，在包含球半径的中求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 由题意可知和均为全等的等边三角形， 所以，且， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 设为球心，为的外心，为的外心， 则平面，平面，且， 所以四边形为正方形，即. 又因为的外接圆半径， 所以在中，，即， 所以球的表面积为. 故选：B. 8. 在四个数中（ ） A. 任意三个数不能同时等于0 B. 任意两个数之和不等于另两个数之和 C. 至少有一个数不大于3 D. 至少有一个数不小于1 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积、模长的运算、向量平行逐项判断即可得结论. 【详解】，是两个相互垂直的单位向量， 所以， 对于A，， ，所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线的对称中心在直线上 D. 当时，的所有零点都小于0 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：因式分解后计算即可得；对B：举出反例即可得；对C：求出三次函数导数图象的对称轴，即可得三次函数图象的对称中心横坐标，再借助其横坐标计算纵坐标即可得；对D：求导后，借助根的判别式分类讨论该函数单调性，结合零点的存在定理判断该函数的所有零点正负即可得. 【详解】对A：当时，， 由，则当时，有或，解得，故A正确； 对B：当时，，则在上单调递增， 即无极值点，故B错误； 对C：当时，，， 则的图象关于直线对称， 有， 事实上有 ， 即曲线的对称中心为， 故曲线的对称中心在直线上，故C正确； 对D：当时，，， 当，即时， 恒成立，则在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点，且该零点小于； 若，即或时， 令两根分别为，且； 当时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， 若，则，，即， 又，故当时，，故不存在非负零点； 若，则，，即， 有，即， 即，故， 则 ， 又，故当时，，故不存在非负零点； 当时，，故存在负零点； 综上所述，的所有零点都小于，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助根的判别式，对的单调性进行讨论，从而结合零点的存在性定理探究零点的正负，难点在于当时，如何得到的正负. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 记是等比数列的前n项和．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设求出等比数列的公比，接着求出其首项结合等比数列的前项和公式即可计算求解. 【详解】设等比数列的公比为，则由题得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 12. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出与之间有线性相关关系，并设其回归方程为.已知和分别表示第次降雨量（单位）和水位增长量（单位：cm），且.若某次降雨量为，据此估计水位增长量为__________. 【答案】35 【解析】 【分析】由题设结合回归方程过样本中心点依次可求出，进而求出回归方程，再将数据代入回归方程即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 所以回归方程为， 所以当时，， 所以若某次降雨量为，据此估计水位增长量为. 故答案为：35. 13. 已知双曲线的右焦点为F，点，．设P为C的右支上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义将问题转化为，当求得最小值时，验证此时取到最大值，即可得结论. 【详解】 双曲线中，则，所以． 设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得，则， 则， 则三点共线时，有最小值为， 则此时，则直线， 所以，解得或， 由题可得，所以，故， 所以，则，则此时共线， 而当共线时，有最大值， 所以， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要结合双曲线的定义转化线段关系，再利用三角形三边关系确定线段和的最小值，以及线段差的最大值，解决本题的关键是，要检验两种取最值问题是否有公共点. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理转化为三角函数值的关系，结合三角形内角范围得到答案； （2）利用面积公式和余弦定理转化，结合基本不等式得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理，将边的关系化为角的关系，得， 又有，化简得：. 又，则. 【小问2详解】 由三角形面积公式，，，则， 由余弦定理：， 由基本不等式，， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立，取得最小值4. 故的最小值为. 15. 已知函数． （1）当时，求的最小值： （2）若是的极值点，证明： （i）；（ii）． 【答案】（1）最小值为 （2） （i）证明：易知； 当时，显然恒成立，即在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，易知单调递增， 若是的极值点,则是唯一极值点，且为极小值点，此时， 因为单调递增，故要证明等价于证明； 设，则， 当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得得在上单调递减； 因此，即，所以； 所以成立，即； （ii）证明：由（i）可知，，所以， 因为当时，易知单调递减，且由（i）可知， 所以, 令，则， 易知当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 因此， 可得 因此. 【解析】 【分析】（1）对函数求导得出其单调性，即可得的最小值为； （2）（i）对参数的取值进行分类讨论，可知时，是唯一极值点，且，构造函数判断其单调性可得结论； （ii）由（i）可知，当时，单调递减，且，令，可得，即. 【小问1详解】 易知的定义域为， 当时，，即， 因为函数和函数在上都是单调递增的， 由复合函数单调性可得在上单调递增，易知， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 所以在处取得极小值，也是最小值， 即的最小值为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 16. 已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和．若和满足，则称X和Y关于S全封闭，否则称X和Y关于S半封闭． （1）若，，写出两个不同的Y，使得X和Y关于S全封闭； （2）设，且，证明：若，则X和Y关于S半封闭； （3）设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若X和Z关于S全封闭，则存在，使得． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）若，则，故． 假设和关于全封闭，因为， 则由题中定义可知和不能为中相同的元素，即， 这与矛盾，假设不成立． 故和关于半封闭． （3）若，由结论所具有的对称性及由（1）所得到的结果猜想： 若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭． 由数列和可构成一个数表（i）： 0 1 … … … … 交换数表（i）中两行，得到数表（ii）： … … 0 1 … … 记该过程为第一次操作， 调整数表（ii）中各列的顺序，使数表的第一行变为0，1，…，，此时设数表的第二行变为，得到数表（iii）： 0 1 … … … … 记该过程为第二次操作. 假设，则． 不妨设，则经过第一次操作后，在数表（ii）中与同列； 再经过第二次操作后，在数表（i）中0与同列，因此，故． 又因为和关于全封闭，由（2）可知，，且经过两次操作后和也关于全封闭． 因为，故，这与矛盾． 故若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭． 因为和关于全封闭， 则． 所以，同理有，故. 因为随机变量和分别服从和， 故． 因为且，故， 又，故． 【解析】 【分析】（1）根据全封闭的定义写出两个不同的Y并验证； （2）假设和关于全封闭，根据全封闭的定义推出矛盾； （3）根据全封闭的定义和性质，构造数表，结合随机变量和的分布列及期望的公式证明. 【小问1详解】 若，，， 则可以为；．（答案不唯一） 对于， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 满足. 对于， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 满足. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 2. 知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为F，若C的准线被以F为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. ． 4. 已知角的终边在射线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 光明中学举办了一场“史地知识竞赛”，共设置了道历史题和道地理题.某参赛同学从所有题中随机抽取两道题作答，若该同学答对任意一道历史题的概率为，答对任意一道地理题的概率为，则该同学至少答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在四个数中（ ） A. 任意三个数不能同时等于0 B. 任意两个数之和不等于另两个数之和 C. 至少有一个数不大于3 D. 至少有一个数不小于1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线的对称中心在直线上 D. 当时，的所有零点都小于0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 记是等比数列的前n项和．若，，则______． 12. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出与之间有线性相关关系，并设其回归方程为.已知和分别表示第次降雨量（单位）和水位增长量（单位：cm），且.若某次降雨量为，据此估计水位增长量为__________. 13. 已知双曲线的右焦点为F，点，．设P为C的右支上一动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若的面积为，求的最小值. 15. 已知函数． （1）当时，求的最小值： （2）若是的极值点，证明： （i）；（ii）． 16. 已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和．若和满足，则称X和Y关于S全封闭，否则称X和Y关于S半封闭． （1）若，，写出两个不同的Y，使得X和Y关于S全封闭； （2）设，且，证明：若，则X和Y关于S半封闭； （3）设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若X和Z关于S全封闭，则存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $