精品解析：甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试模拟（12月月考）数学试卷

高一年级上学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册第一章～第三章（20%），必修第一册第四章～第五章（80%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A 0 B. 1 C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 银行贷款年还款，其中A是贷款额度，是年利率，是贷款年数．小李在某银行贷款1000000元用于买房．年利率是．每年需归还89938元．则小李的贷款年数为（ ）（参考数据：，，） A 18 B. 30 C. 20 D. 15 6. 科学研究证明，乐器通过敲打震动发出的声音可以用函数模型来刻画，其中，．若函数的图象经过点，且在上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 设，，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数在上的最大值和最小值分别为，则（ ） A. 8 B. 0 C. 4 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是最小正周期为的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 17世纪，英国数学家哈利奥特在《使用分析学》一书中首先使用了“”和“”符号，但是直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“”和“”符号是1631年才开始使用的，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今．若非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 某学校为了提升学生的核心素养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数，为基本素材，研究函数，的相关性质并取得部分研究成果，则下列研究成果正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象过点，则______． 13. 函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为______；当幂函数的图象过点时，的解析式为______． 14. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知是偶函数． （1）求的值； （2）设的最小值为，求实数的值． 18 已知函数． （1）求函数的单调递减区间． （2）请在条件“①有解”“②恒成立”中任选一个填在下面的横线上，并解答． 若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 19. 我们都知道，对于定义域包含于实数集且关于原点对称任何函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和，我们可以通过构造法得出奇函数，偶函数．若，则所得的奇函数和偶函数就是非常特别的双曲余弦函数和双曲正弦函数，其中含有丰富的数学结论．已知函数，是定义在上的奇函数和偶函数，且（其中，且）． （1）写出函数，的解析式． （2）求证：． （3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级上学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册第一章～第三章（20%），必修第一册第四章～第五章（80%）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】，， 所以， 故选：B. 2. （ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算． 【详解】． 故选：C． 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出、、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，，所以． 故选：C. 4. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出存在量词命题否定，根据根的判别式得到不等式，求出的取值范围. 【详解】命题“，”的否定为“，”， “，”是真命题，则，解得． 故选：C 5. 银行贷款年还款，其中A是贷款额度，是年利率，是贷款年数．小李在某银行贷款1000000元用于买房．年利率是．每年需归还89938元．则小李贷款年数为（ ）（参考数据：，，） A. 18 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干，将数值代入式子，再利用给的参考值即得结果. 【详解】由题意得，化简得， 由参考数据可得． 故选：D 6. 科学研究证明，乐器通过敲打震动发出的声音可以用函数模型来刻画，其中，．若函数的图象经过点，且在上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由求得，再利用在上单调递增，解得的范围即可. 【详解】由题意知， 所以，即． 因为，所以，， 又函数在上单调递增， 所以， 得且且， 则，得，则的最大值是1． 故选：B. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 8. 已知函数在上的最大值和最小值分别为，则（ ） A. 8 B. 0 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，然后根据函数的奇偶性求解. 【详解】设，易知定义域为， 又 ，故函数为奇函数， 所以当时，， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是最小正周期为的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐项判断. 【详解】是周期为的偶函数； 是周期为的奇函数； 是周期为的偶函数； 是周期为的偶函数． 故选：. 10. 17世纪，英国数学家哈利奥特在《使用分析学》一书中首先使用了“”和“”符号，但是直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“”和“”符号是1631年才开始使用，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今．若非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断. 【详解】若，显然有，A项错误． 在不等式两边同时除以（），可得，B项正确． 若，由不等式的性质可得成立； 若，则， 由不等式性质可得，即，所以成立； 若，则显然有． 综上，，C项正确． 由，可得，当时，显然有，D项错误． 故选：BC． 11. 某学校为了提升学生的核心素养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数，为基本素材，研究函数，的相关性质并取得部分研究成果，则下列研究成果正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义判断A；根据指数幂的运算性质判断BCD. 【详解】记，其定义域为， 因为，所以为奇函数，故A正确； ，故B错误； ，， 则，故C错误； ，， 则，故D正确. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象过点，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，又过点，代入即可求得结果. 【详解】是幂函数，，又的图象过点，，所以，． 故答案为： 13. 函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为______；当幂函数的图象过点时，的解析式为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出点的坐标，根据幂函数的概念设出解析式，把点坐标代入即可求. 【详解】因为对数函数的图象恒过定点， 函数（，且），令， 得，，所以点的坐标为． 由于为幂函数，不妨设， 因为图象过点，将其代入中，可得， 即，所以，故． 故答案为：；. 14. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的最大值为，结合正弦函数最值运算求解即可. 【详解】因为对任意的实数都成立，可知的最大值为， 则，可得． 因为，所以当时，取最小值，最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案； （2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【小问1详解】 因为，， 两式相加得，所以， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 所以，所以解得 所以． 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由解析式有意义，列出不等式组求解； （2）根据对数函数的单调性，结合函数的定义域求解. 【小问1详解】 根据题意，函数， 所以解得， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 根据题意得， 即，得，即，解得， 又的定义域为，故， 所以不等式的解集为． 17. 已知是偶函数． （1）求的值； （2）设的最小值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算求解； （2）由（1）得，从而得，令，将函数转化为，分类讨论，利用二次函数的性质讨论求解． 【小问1详解】 是定义在的偶函数，所以， 所以， 即，解得． 此时， 显然的定义域是全体实数，它关于原点对称， ， 则是定义在的偶函数，满足题意， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知 ， 所以， 所以 ． 令， 则，当且仅当，即时，等号成立． 设函数，其图象是开口向上，对称轴方程为的抛物线． 当，即时，，解得； 当，即时，，解得（舍去）． 综上可知，． 18. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间． （2）请在条件“①有解”“②恒成立”中任选一个填在下面的横线上，并解答． 若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）． （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解； （2）若选择①，则不等式有解，即，求在上的最大值，即可求解； 若选择②，则不等式恒成立，即，求在上的最小值，即可求解． 【小问1详解】 因为函数的单调递减区间为， 所以， 解得， 所以函数的单调递减区间为． 【小问2详解】 若选择①： 由题意可知，不等式有解，即， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值，且最大值为， 所以，即，解得． 若选择②： 由题意可知，不等式恒成立，即， 因为，所以， 故当，即时，取得最小值，且最小值为， 所以，即，解得． 19. 我们都知道，对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和，我们可以通过构造法得出奇函数，偶函数．若，则所得的奇函数和偶函数就是非常特别的双曲余弦函数和双曲正弦函数，其中含有丰富的数学结论．已知函数，是定义在上的奇函数和偶函数，且（其中，且）． （1）写出函数，的解析式． （2）求证：． （3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1），（其中，且）． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和得到，联立求出答案； （2）在（1）的基础上，计算出； （3），，换元得到成立，等价于在上恒成立，分，和三种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 函数，是定义在上的奇函数和偶函数， 故，， 由①，得，故②， 联立①②得，（其中，且）； 【小问2详解】 证明：因为 ， 所以． 【小问3详解】 因为，所以，，则， 令，， 由于单调递增，故，且． 故成立，等价于在上恒成立． 当时，，符合题意； 当时，等价于， 其中在上单调递减，故， 故，即，解得； 当时，等价于， 其中在上单调递减，故， 故，即，解得． 综上，． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$