精品解析：江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高一上学期十二月阶段性检测数学试题

2024级高一年级十二月阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） （命题人：高一数学组） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域求解即可. 【详解】. . 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确 故选：D 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 3. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得答案. 【详解】扇形的圆心角为，半径为， 则扇形的面积为. 故选：A. 4. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方关系判断充分性，再举反例判断必要性即可. 【详解】当时，. 当时，，则，例如符合，但不能推出. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 6. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 【详解】因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 7. 已知，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，将原不等式转化为，解不等式即可. 【详解】令，， 所以是奇函数，因为， 而在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 在上单调递减，所以在上单调递减， 又因为是奇函数，所以在上单调递减， 所以不等式恒成立，即， 即恒成立， 即解得， 即的取值范围是. 故选：A 8. 已知是上的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的性质画出图像，可得关于的方程有且只有7个不同实数根，则方程必有两个根，数形结合可知其中,再根据根与系数之间的关系，即可得出结论． 【详解】根据的解析式，画出的图像如图所示， 且，最小值为，当时，， 又因为关于的方程有且只有7个不同实数根, 设，由图可知，最多有4个不同实数根，则方程必有两个根 其中，故则 即. 故选：A. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB，将两边平方得出判断即可；对CD，计算判断即可. 【详解】对AB，由题意，即， 故，故B正确； 因为，故，则，故A正确； 对CD，，因为，故，故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先判断指数型复合函数的单调性，然后根据单调性求解最值判断A；对B，根据对数型复合函数的单调性及真数大于0列出不等式求解判断B；对C，设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可判断C；利用抽象函数的定义域求法求解判断D. 【详解】对于A，令函数，则该函数在上单调递增，在上单调递减， 因为是减函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最小值，无最大值，错误； 对于B，令，由知，函数为减函数， 由函数（，且）在区间上单调递减， 则单调递增且，所以，解得， 所以的取值范围是，错误； 对于C，设函数的值域为，因为的值域为，所以. 当时，的值域为，符合题意. 当时，由，解得. 综上，的取值范围为.正确. 对于D，因为函数的定义域为，所以在中，解得， 所以函数的定义域为，错误； 故选：ABD 11. 已知上的奇函数满足，且当时，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 函数在上是减函数 D. 若，则关于的方程在上所有根之和为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，代入求解即可；对B，根据题意推出矛盾即可；对C，根据函数的单调性与对称性，结合奇函数的性质判断即可；对D，根据时，，结合推导的单调性对称性判断即可. 【详解】是奇函数，则，又满足， ∴，∴是周期函数，8是它的一个周期． 对A，由得，A正确； 对B，若关于直线对称，则， 又由可得， 则，与矛盾，B错误； 对C，当时，， ∴在上单调递增， 则， ∵， ∴的图象关于直线对称， 则在上单调递减，则当时，有， 又， ∴的图象关于点对称， 结合在上单调递减，则在上递减，从而在上是减函数， ∵是奇函数，∴在上是减函数，故C正确； 对D，结合C，由的图象关于成中心对称， ∴时，有， 可得时，关于的方程在上只有两个根，且关于对称， ∴，D正确. 故选：ACD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题6分，共15分.请把正确的答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对数的运算求解即可. 【详解】 故答案为： 13. 已知为锐角，且，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得①，②，联立得，再求的值. 【详解】由， 可得，即①． 由， 可得②． ①②得， ∴，即． ∵，∴， 又为锐角，∴． 故答案为：． 14. 已知，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.请把解答写在答题卡相应的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若时，存在集合使得，求出这样的集合； （2）是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，再根据求解即可； （2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【小问1详解】 当时，， ， 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. 【小问2详解】 由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 16. 在“①；②；③点在角的终边上”这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题： （1）求的值； （2）若角的终边在第一象限.求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①②，根据诱导公式化简，选③根据正切的定义求解，均可得，再根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【小问1详解】 选①：则； 选②：则， 即，故； 选③：点在角的终边上则； 则. 【小问2详解】 因为角的终边在第一象限，，则， ， 故. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，戴洋同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.已知每件产品售价为6元，且小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）当年产量为多少万件时，戴洋在这一商品的生产中所获利润最大?最大年利润是多少? 【答案】（1） （2）当年产量为11万件时，戴洋在这一商品的生产中所获利润最大，最大年利润是13万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润＝年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的分段函数关系式； （2）当时根据二次函数求最大值的方法求年利润的最大值，当时利用基本不等式求年利润的最大值，最后综合即可. 【小问1详解】 由题知当时，，解得， . 年利润. 【小问2详解】 当时，， 时，取得最大值9万元. 当时，， 当且仅当即时等号成立. 时，取得最大值13万元. 综上所述，当年产量为11万件时，戴洋在这一商品的生产中所获利润最大，最大年利润是13万元. 18. 已知函数的定义域为，对定义域内任意的非零实数，恒有，且当时，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递减； （3）已知，图象关于点对称，且时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性； （2）任取，令，，结合已知等式和在上的正负即可得到结论； （3）记在上值域为，在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 令，则，； 令，则，； 取，则； 为定义在上的偶函数. 【小问2详解】 任取，因为当时，，所以，由偶函数性质当时，， 令，，则，即； ，， 又当时，，，即， 在上单调递减. 【小问3详解】 由（1）（2）知：在上单调递减且，又， 当时，，记； 对任意，总存在，使得， 记在上的值域为，； 的图象关于点中心对称，当时，； ①当，即时，在上单调递增，， ，即， 由得：，又，解得：； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，，即， 由得：，即，则， 又，解得：； ③当，即时，在上单调递减，， ，即， 由得：，又，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数.当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个值，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，，恒有，当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数，，在定义域上分别是上凸函数还是下凸函数（只写出结论，不需证明）； （2）利用（1）中结论，在中，求的最大值； （3）判断并证明函数的凹凸性. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）下凸函数 【解析】 【分析】（1）利用上凸函数、下凸函数定义与几何意义，作差，结合和角及二倍角的正弦推理判断即可. （2）利用（1）的结论，结合三角形三内角和定理求出最大值. （3）作差，结合对数运算、对数函数性质，基本不等式及不等式性质推理判断即得. 【小问1详解】 对： ①当时，为上凸函数，为上凸函数，故为上凸函数； ②当时，为下凸函数，为下凸函数，故为下凸函数； 对： ， ，显然，则， 因此，函数是上凸函数. 【小问2详解】 由（1）知函数，是上凸函数， 在中，， 即，当且仅当取等号， 所以中，最大值是. 【小问3详解】 函数的定义域是， 因为 ， 显然，则， 而，即，则， 又，有，则，， 所以函数是下凸函数． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级十二月阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） （命题人：高一数学组） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 5. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 6. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知上的奇函数满足，且当时，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. 函数在上是减函数 D. 若，则关于的方程在上所有根之和为4 三、填空题：（本题共3小题，每小题6分，共15分.请把正确的答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 计算：______. 13. 已知锐角，且，，则__________. 14. 已知，，则最小值为______. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.请把解答写在答题卡相应的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）若时，存在集合使得，求出这样的集合； （2）是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 16. 在“①；②；③点在角终边上”这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题： （1）求的值； （2）若角的终边在第一象限.求的值. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，戴洋同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.已知每件产品售价为6元，且小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）当年产量为多少万件时，戴洋在这一商品的生产中所获利润最大?最大年利润是多少? 18. 已知函数的定义域为，对定义域内任意的非零实数，恒有，且当时，. （1）判断并证明函数奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递减； （3）已知，图象关于点对称，且时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数.当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个值，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，，恒有，当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数，，在定义域上分别是上凸函数还是下凸函数（只写出结论，不需证明）； （2）利用（1）中结论，在中，求的最大值； （3）判断并证明函数的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $