精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高三上学期1月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三上期01月测试（一） 数学试题 一、单选题（40分） 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 2. 一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 4. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在区间内是常函数 B. 在区间内是减函数 C. 在区间内是增函数 D. 在区间内是增函数 5. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 6. 若直线的方程为，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、多选题（18分） 9. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. （多选）设数列满足，，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（15分） 12. 已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为____________. 13. 已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为__________. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题（77分） 15. 在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前n项和，若__________． （1）求； （2）令，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且. （1）求直线AM与直线PN所成角的大小； （2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 17. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 18. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三上期01月测试（一） 数学试题 一、单选题（40分） 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 2. 一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 3. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质,分别求解长轴，短轴，焦距，离心率即可求解. 【详解】由于的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为， 故两个椭圆的焦距相等， 故选：D 4. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在区间内是常函数 B. 在区间内是减函数 C. 在区间内是增函数 D. 在区间内是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合导函数的图象，利用函数的单调性与的函数值间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由时，（正实数）， 则在区间内是单调递增的一次函数，所以A错误； 对于B中，当时，，当时，， 所以在区间内先增后减，所以B错误； 对于C中，当时，，在区间内是减函数，所以C错误； 对于D中，当时，在区间内是增函数，所以D正确． 故选：D. 5. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 6. 若直线的方程为，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两类讨论，当时先求出直线的斜率的取值范围，再根据正切函数图像求解. 【详解】当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的斜率，因为，所以或， 根据正切函数的图像性质可知：倾斜角或； 综上： . 故选：D 7. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】过在平面内作，垂足为点， 因为侧面是正三角形，所以是的中点， 又因为平面底面，平面平面，平面， 所以底面， 以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 则，， 所以，， 故选：C. 8. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的公式可得目标代数式的几何意义，故可求其最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以． 表示点到轴的距离与 到直线的距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线的距离为， 如图，由图知， 所以的最小值为， 故选：D． 二、多选题（18分） 9. 函数满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. （多选）设数列满足，，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由题意知，，，， ，. 由此可知数列是以为周期的周期数列，即， 故. 故选：ABC. 三、填空题（15分） 12. 已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为____________. 【答案】162 【解析】 【分析】先求出，再由是等比数列，且，可得，进而可求出. 【详解】由已知得， 又是等比数列，且， 则，即， 所以，即. 故答案为：162. 【点睛】本题考查等比数列的概念及通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 13. 已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，则坐标原点到直线的距离. 故答案为： 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题（77分） 15. 在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前n项和，若__________． （1）求； （2）令，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）无论选择哪一个条件，都要结合等差数列的相关公式求出首项以及公差，即可求得答案； （2）利用裂项求和法，即可求得答案. 【小问1详解】 若选择条件①，在等差数列中， ，解得， ； 若选择条件②，在等差数列中， ，解得， ； 若选择条件③，在等差数列中，， 当时，，符合， ． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 16. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且. （1）求直线AM与直线PN所成角的大小； （2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 【答案】（1）90°； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式直接计算即可； （2）先计算出平面的法向量，再利用线面角的向量公式列式求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 易得点，，， ∴，， ∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°； 【小问2详解】 点，∴，，， 设平面的法向量为， 则，可得，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，即， 因为，解得. 17. 已知函数，，，令. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，分与分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可； （2）构造函数，利用导数求函数的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可； 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令，即，又，解得， 令，即，又，解得， 综上，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 【小问2详解】 令， 所以． 当时，因为，所以． 所以在上是单调递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立， 即关于的不等式不能恒成立． 当时，． 令，得， 所以当时，；当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为． 令，，当时， 所以在上是减函数， 又因为，， 所以当时，，所以恒成立，即恒成立 所以整数的最小值为2． 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分与进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题. 18. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【小问1详解】 由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，和 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，可求得. （2）利用错位相减法，得到， 然后得到， 然后利用单调性进行放缩讨论，可证明题设成立. 【小问1详解】 当时，得； 当时，， 两式相减得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. 【小问2详解】 ① 设， 所以， 上面两式相减得， 所以 所以， 所以. ② 因为都是递减数列； 所以； 则， 令，即恒成立， 所以数列单调递增， 当时，； 则 所以； 当时，； 则， 所以，，成立，解得，存在； 当时，； 当时，；不满足题意，故不存在： 综上所述，当正整数对取和时，成立. 【点睛】关键点睛：由，结合单调递减； 得到：，进而结合的单调性，通过，， 讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $