精品解析：广东省八校联盟2024-2025学年高二上学期教学质量检测数学试卷（二）

广东省八校联盟2024~2025学年度第一学期高二教学质量检测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定斜率，由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，又，所以． 故选：A． 2. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数. 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，解得． 故选：B 3. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 4. 在三棱锥中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的运算法则，即可求解. 【详解】连接，根据向量的运算法则，可得． 故选：B． 5. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率公式，以及椭圆和双曲线的焦点公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，解得，所以． 故选：B． 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的3倍，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意转化为焦点到直线的距离比值问题，再验证直线与双曲线有2个交点，即可求解. 【详解】依题意，双曲线的左、右焦点分别为，， 设到直线的距离为，到直线的距离为，则，， 因为的面积是面积的3倍，所以，即， 解得或， 联立方程组，整理得，则， 解得，所以． 故选：D． 7. 设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 8. 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示： ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且之间时取等号， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量，，则在上的投影向量为 D. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，的方向不确定判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据投影向量定义判断C；利用，可得从而判断D． 【详解】对于A，非零向量，，满足，，，的方向不确定， 则，不一定平行，故A错误； 对于B，，， 故，，，四点共面，故B正确； 对于C，因为，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，则或，故D正确． 故选：BCD． 11. 在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项； 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，、、， 对于B项，，，，，， 设，其中， 则．设平面的法向量为， 由，令，可得． 设平面的法向量为， 由，令，可得． 若平面平面，则，则，解得，故B正确； 对于C选项，当时，，． 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角余弦值为，故C错误； 对于D项，如图2，当为的中点时，、，，． 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三向量共面，则实数_____. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意存在，使得，代入坐标，列方程组计算，即得解. 【详解】由题意，三向量共面，故存在，使得， 即， 故，解得. 故答案为：1 13. 若圆与圆没有公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，若两个圆有公共点，得到不等式组，求出，进而求出两圆没有公共点时的的取值范围. 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为1， 若两个圆有公共点，则，解得， 若两个圆没有公共点，则实数的取值范围为或． 故答案为： 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②， ∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是， ∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即． 考点：椭圆的简单性质 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆圆心为直线和直线的交点，且圆过点. （1）求圆的方程； （2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】（1） （2）圆与圆相交. 【解析】 【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解； （2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论. 【小问1详解】 由，得，即圆心坐标为. ， 圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心为，半径. 圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径. ， ， 圆与圆相交. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 17. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； 法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论； （2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案； 【小问1详解】 法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. 【小问2详解】 设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 19. 已知椭圆经过，两点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）根据题设，分析知直线的斜率存在，设直线为，，，，联立椭圆并应用韦达定理及的坐标表示求得，确定直线所过定点，结合坐标及三角形面积公式求. 【小问1详解】 将，代入椭圆方程中，解得， 则椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点不在上，所以， 设，，由，可得， 所以． 由，化简得， ． ，， 所以 ， 则， 整理得，因为，所以， 所以直线的方程为，恒过点． 由题意和对称性可知，， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省八校联盟2024~2025学年度第一学期高二教学质量检测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，为中点，则（ ） A. B. C D. 5. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的3倍，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 16 8. 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得曲线为圆 B. 若曲线C为椭圆，则 C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量，，则在上的投影向量为 D. 已知直线方向向量为，平面的法向量为，则或 11. 在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存点，使得平面平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三向量共面，则实数_____. 13. 若圆与圆没有公共点，则实数的取值范围是________． 14. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的圆心为直线和直线的交点，且圆过点. （1）求圆的方程； （2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若二面角正切值为，求平面与平面夹角的大小. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 19. 已知椭圆经过，两点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $