精品解析：浙江省宁波市鄞州区2024-2025学年上学期第二次阶段测试九年级数学试题

试卷类型：A 2024~2025学年度第一学期第二次阶段测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（ ） A. 手电筒 B. 台灯 C. 路灯 D. 太阳 2. 如图所示几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是(    ) A. 一组对边平行且相等，一个角是直角 B. 对角线互相平分且相等 C. 有三个角是直角 D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等 6. 下列与其他三个点不在同一反比例函数图象上的点是(　　) A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 8. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，，则a、b与0的大小关系为（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 方程的解是______． 10. 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，由此可估计箱子中有_____个黄色乒乓球． 11. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段，若，支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点，则的长为______．（结果保留根号） 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 13. 如图，在菱形中，，，E为的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，使得点D落在点处，连接，则的最小值是________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 16. 画出如图所示的几何体的三视图． 17. 如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 19. 2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．近年来中国完成了多项太空探索任务，无一不反映着中国在航天领域发展迅速．为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动，李希和王阳两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学们了解航天知识，校团委打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭（依次用K，H，W，Y表示）四个方面中任选一个整理自己对其所了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及． （1）王阳同学选择“航天员”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点A、B、C的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心在y轴右侧画出，使它与位似，且与的相似比；（点、、分别与点A、B、C对应） （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 21. 如图，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长是多少？ 22. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计） 23. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 24. 如图，在中，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长、相交于点，求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且、，点在轴负半轴上． （1）求经过点的反比例函数的表达式； （2）连接，设是（1）中所求函数图象上的点，以、、为顶点的三角形的面积是面积的倍，求点的坐标． 26. 问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2024~2025学年度第一学期第二次阶段测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（ ） A. 手电筒 B. 台灯 C. 路灯 D. 太阳 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中兴投影，解题的关键是掌握中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，据此逐个判断即可． 【详解】解：在手电筒，台灯，路灯的光线照射下，所形成的投影是中心投影，故A、B、C不符合题意； 在太阳光线照射下，所形成的投影是平行投影，故D符合题意； 故选：D． 2. 如图所示几何体的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度，注意实线与虚线的区别，能看待的线用实现，看不见的线用虚线是解题关键． 【详解】解：几何体的主视图为 故选：C． 3. 已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质可知，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此即可求解 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴两个相似多边形的面积比为， ∵两个相似多边形的面积和为， ∴较小多边形的面积是． 故选：A． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系成为解题的关键． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式，最后确定c的最小整数值． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以c的最小整数值是0． 故选：C． 5. 下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是(    ) A. 一组对边平行且相等，一个角是直角 B. 对角线互相平分且相等 C. 有三个角是直角 D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形可对C作出判断；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的平行四边形是矩形，可对A作出判断；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，及对角线相等的平行四边形是矩形，可对B作出判断；即可得出答案. 【详解】解：A.∵ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，且此四边形有一个角是直角， ∴此四边形是矩形，故A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∵此四边形的对角线相等， ∴此四边形是矩形，故B不符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故C不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故D符合题意； 故答案为D 【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键． 6. 下列与其他三个点不在同一反比例函数图象上的点是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的系数的意义，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与相等就可以了． 【详解】解：因为同一个反比例函数图象上的点，其横纵坐标的积相等， 且，，，， 所以B选项符合题意． 故选：B． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴， 解得x=45（尺）， 即竹竿的长为四丈五尺． 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 8. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，，则a、b与0的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据一元二次方程的解求出参数，再根据反比例函数解析式判断函数图象所在的象限及其增减性，最后再结合各点的横坐标判断各点所在象限，进而可得出结论． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得， 则反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随着的增大而增大， ∵，， ∴． 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，由此可估计箱子中有_____个黄色乒乓球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是要计算出口袋中白色乒乓球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到白色乒乓球的概率，再设黄色乒乓球个数为个，根据白色乒乓球的概率列分式方程即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到白色乒乓球， 估计摸到白色乒乓球的概率为， 设黄色乒乓球个数为个， ， 解得：， 经检验是方程的解， 估计箱子中有个黄色乒乓球． 故答案为：． 11. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段，若，支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：支撑点是线段上靠近点的一个黄金分割点， ， 故答案为：． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 13. 如图，在菱形中，，，E为的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，使得点D落在点处，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，证明是等边三角形，求解，结合，再进一步解答即可． 【详解】解：连接、， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程整理得，然后将方程左边进行因式分解，继而转化为或，求解即可．根据具体情况灵活选用适当的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 15. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 16. 画出如图所示的几何体的三视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作三视图，注意“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则． 【详解】解：如图所示： . 17. 如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 理由：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，由矩形的性质得，，，由可判定，再由全等三角形的性质，即可得证；掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 的角平分线交于点E， ， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ． 19. 2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．近年来中国完成了多项太空探索任务，无一不反映着中国在航天领域发展迅速．为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动，李希和王阳两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学们了解航天知识，校团委打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭（依次用K，H，W，Y表示）四个方面中任选一个整理自己对其所了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及． （1）王阳同学选择“航天员”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：王阳同学选择“航天员”的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的结果有7种， 李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率为． 【点睛】本题考查列表法求概率，正确理解题意是关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点A、B、C的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心在y轴右侧画出，使它与位似，且与的相似比；（点、、分别与点A、B、C对应） （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中作位似图形以及相似三角形的性质，掌握关于原点为位似中心的两个图形的坐标比等于相似比（原点同侧）或（原点异侧）是解题的关键． （1）根据题意作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意可得：与相似，相似比， ∴与的面积比为 与的面积比为 故答案为：． 21. 如图，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】设正方形零件的边长为，则，证明，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，设交于点K， 设正方形零件的边长为，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 答：这个正方形零件的边长为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】99米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面镜成像的性质等知识点，连接，利用平面镜成像的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，设米，则(米)，利用等式的性质求得米，利用平行线的判定得到，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 走到点时，恰好在镜子中看到大厦顶端的像， ， ， ， ， ，设米，则(米)， 影长为1.2米，=14.5米，=0.8米， 米， ， ， ， ， ， ， 大厦的高度为99米． 23. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 24. 如图，在中，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长、相交于点，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由，推出，由三角形内角和定理推出，得到，利用菱形的判定定理即可证明结论； （2）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且、，点在轴负半轴上． （1）求经过点的反比例函数的表达式； （2）连接，设是（1）中所求函数图象上的点，以、、为顶点的三角形的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质和反比例函数的图像与性质． （1）设经过点的反比例函数的解析式为，根据题意可得：，，再根据勾股定理求出，结合菱形的性质求出，即可求解； （2）根据菱形的性质可得，进而求得，得到，设，则，再根据题意列方程求出，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 解：设经过点的反比例函数的解析式为， 、， ，， 在中，， 四边形为菱形， ， ， 则， 故所求的反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当时，， 当时，， 点的坐标为：或． 26. 问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，米 【解析】 【分析】（1）由可得，，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论； （2）由正方形的性质可得，，从而可证得，利用相似三角形对应边成比例可得，据此即可求出的长度； （3）过点作于，交于，交于，设，则，可证得，，根据相似三角形对应边成比例可得，从而可得，利用勾股定理可得，利用完全平方数的非负性可知时有最小值米． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2）解：， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：这样的点存在，的最小值为米，理由如下： 如图，过点作于，交于，交于， ， 设，则， 由（1）可知：， ， ， 设，则， 四边形为矩形，且米，米， 米，米，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理，得：， 当时，为最小，最小值为， 的最小值为：米， 答：从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点存在，的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，利用相似三角形的性质找到边之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $