精品解析：浙江省杭州市余杭县海亮教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市余杭县海亮教育集团八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. 果 B. 亥 C. 禾 D. 鬼 2. 小瑶想做一个三角形木框，现在她已经有两根长度分别为和的木条，那么她选择的第三根木棒长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，属于假命题是（ ） A. 是有理数 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 对顶角相等 D. 如果与互为倒数，那么 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完全一样的三角形，其根据为（ ） A. B. C. D. 7. 学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角等腰三角形，这样的格点C的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．以下说法中：①；②若，则点D到的距离为3；③．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 12. “与1的差大于b的2倍”用不等式表示为：___________． 13. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 14. 如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 15. 已知等腰三角形的两边长分别为5和9，则它的周长是________． 16. 若，且，则的取值范围是___________． 17. 如图，在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=3，BC=5，则△ABD的周长是_____. 18. 如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为___________． 19. 如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是___________． 20. 图①是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（）．如图②，小明连结和后，得到阴影部分面积为18，则的长为___________． 三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21. 解下列不等式（组） （1） （2） 22. 根据下列要求作图与求解： （1）在方格图中画出，使其与关于直线（图中虚线）轴对称； （2）若每个小方格的边长为1，求的面积． 23. 如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的大小． 24. 八年级篮球赛中，三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班；A班对C班，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率=总得分/总失分）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） （1）求出A班的总得失分率； （2）当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了． 假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 25. 在学习尺规作图的课堂上，早早完成任务的阿斌拿起手里的直尺和圆规在草稿纸上随意画了起来． （1）阿斌按图示步骤，画了三个圆心在另外两个圆上且半径都相等的圆，发现将圆心连接起来后的是一个等边三角形．他思考了一下，发现这可以用（ ）判定证明． A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是三角形是等边三角形 C．有一个角是等腰三角形是等边三角形 D．三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）发现等边三角形后，阿斌非常兴奋，他又按同样的方式画了两个圆，并且把一些交点都用直尺连接了起来（如图）．不过他发现，其中有两条线段（标粗的线段和）的长度与等边三角形的边长不一样．若设圆半径为2，则__________，__________； （3）陷入亢奋状态的阿斌在水平方向上持续画圆，直到画到草稿纸边缘才停下．如图，阿斌发现图中的圆心可以分成两层，于是他将某一个圆心在水平方向上的序号a与对应的层数b组成了一个有序数对．例如点A是第1个点，位于第1层，因此可以用表示；点B是第2个点，位于第1层，因此可以用表示；点C可以用表示等等…… 如果他画的图中，点N可以表示为，且每个圆的半径为2，求点A到点N的距离（用含m的代数式表示）． （4）停下作图的阿斌陷入了沉思．在刚才的作图与计算中，他发现刚才的计算方式可以推广到更多层圆形成的图形中．若在推广后的图形中，圆心可以用表示，圆心可以用表示．在圆半径为2的前提下，请直接写出P，Q两点间距离的表达式（用含m和n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市余杭县海亮教育集团八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. 果 B. 亥 C. 禾 D. 鬼 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的甲骨文都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的甲骨文能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 小瑶想做一个三角形木框，现在她已经有两根长度分别为和的木条，那么她选择的第三根木棒长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可． 【详解】解：设第三根木棒长为， 由三角形的三边关系可知：，即， 所以她选择的第三根木棒长可能是， 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有C选项符合； 故选C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键． 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 是有理数 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 对顶角相等 D. 如果与互为倒数，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，熟练掌握有理数的定义，等腰三角形的性质，对顶角的性质以及倒数的概念等知识是解题的关键． 根据有理数的定义，等腰三角形的性质，对顶角的性质以及倒数的概念进行分析判断． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，该命题是假命题，符合题意； B、等腰三角形的两个底角相等，该命题是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，该命题是真命题，不符合题意； D、如果a与b互为倒数，那么，该命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由直角三角形的性质求出，由全等三角形的性质推出，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：． 6. 如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完全一样的三角形，其根据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的， 所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 7. 学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 8. 如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形． 由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案． 【详解】解：如图，这样的格点C的个数为5个， 故选：B． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．以下说法中：①；②若，则点D到的距离为3；③．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，为的平分线，可得；由角平分线的性质可得点D到的距离等于；根据已知条件无法得出，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴， 故结论①正确； ∵为的平分线，， ∴点D到的距离等于， 故结论②正确； 根据已知条件无法得出， 即无法得到， 故结论③不正确． 综上所述，正确的个数为2． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、P、Q在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴，， ∵，点Q、P分别是的中点， ∴，， 当C、Q、P在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：， 故选：D． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 12. “与1的差大于b的2倍”用不等式表示为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”，“至少”，“最多”等等，正确选择不等号． 根据“a与1的差大于b的2倍”，即可列出关于a的一元一次不等式． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 13. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，由于三角形具有稳定性，所以只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时，所需木条的数量即为最少．利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，我们只需1根木条，即对角线，就可达到不变形的目的． 综上可得，要使四边形木架不变形，至少要钉1根木条． 故答案为：1． 14. 如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件：___________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： ． 由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要证明，还需要添加一个条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为5和9，则它的周长是________． 【答案】19或23 【解析】 【详解】分析： 根据已知条件：分等腰三角形的底边分别为5和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行分析解答即可. 详解： （1）当长为5的边是等腰三角形的底边时，其三边长分别为：5、9、9， 此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：5+9+9=23； （2）当长为9的边为等腰三角形的底边时，其三边长分别为：9、5、5， 此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：9+5+5=19； 综上所述，两条边长分别为5和9的等腰三角形的周长为19或23. 故答案为：19或23. 点睛：已知等腰三角形的两边长分别为a和b，求其周长时，需分底边为a和底边为b两种情况进行计算，同时需看两种情况下的三条线段是否能围成三角形. 16. 若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键． 利用不等式性质得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ， 17. 如图，在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=3，BC=5，则△ABD的周长是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD=CD，进而可知BC=BD+CD，即可求出△ABD的周长. 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∴BC=BD+CD=BD+AD ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=8. 故答案为8 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键. 18. 如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理，利用勾股定理是解决问题的关键． 利用勾股定理求出，根据折叠的性质求出，，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得：， ∴， 设，则， 直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，含角直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先证明点B，点F关于轴对称，再推出和的最小值是的长，从而解决问题． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴点B，点F关于轴对称， 如图，连接， ∵点B，点F关于轴对称， ∴， ∴， ∴和的最小值是的长， ∴， ∴和的最小值是6， 故答案为：6． 20. 图①是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（）．如图②，小明连结和后，得到阴影部分面积为18，则的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，能够发现阴影部分面积与a，b，c之间的关系是解题的关键． 连接，可得到，结合勾股定理，可得到，再根据阴影部分面积为18，可求出c，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接， 由题意和图形可知：，， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴， 解得，， ∵c为正数， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 21 解下列不等式（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组的知识，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找是关键． （1）移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集． 【小问1详解】 ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为． 22. 根据下列要求作图与求解： （1）在方格图中画出，使其与关于直线（图中虚线）轴对称； （2）若每个小方格的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 的面积为 23. 如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质得出，即可利用证明． （2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线， ， 在和中， ， 【小问2详解】 解：∵， ， ， ． 24. 八年级篮球赛中，三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班；A班对C班，比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率（总得失分率=总得分/总失分）的大小决定名次，总得失分率最高者出线．（总失分指对手所得的分数和） （1）求出A班总得失分率； （2）当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了． 假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分x． ①求出B班的总得失分率（用含x的代数式进行表示）； ②若最终A班出线，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，且x为整数 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握相关知识和理解题意是解题的关键． （1）直接根据总得失分率公式代入计算即可； （2）①直接根据总得失分率公式代入计算即可； ②先算出C班总得失分率，由题很容易比较出A班总得失分率大于B班总得失分率，所以保证A班总得失分率大于C班总得失分率，从而建立关于x的不等式求解即可． 【小问1详解】 解： A班总得失分率； 【小问2详解】 解：①B班总得失分率； ②C班总得失分率， 由题易知， ∴， ∴A班总得失分率大于B班总得失分率， ∵A班出线， ∴A班总得失分率大于C班总得失分率， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∵x为整数， ∴，且x为整数． 25. 在学习尺规作图的课堂上，早早完成任务的阿斌拿起手里的直尺和圆规在草稿纸上随意画了起来． （1）阿斌按图示步骤，画了三个圆心在另外两个圆上且半径都相等的圆，发现将圆心连接起来后的是一个等边三角形．他思考了一下，发现这可以用（ ）判定证明． A．三个角都相等三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形 C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D．三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）发现等边三角形后，阿斌非常兴奋，他又按同样的方式画了两个圆，并且把一些交点都用直尺连接了起来（如图）．不过他发现，其中有两条线段（标粗的线段和）的长度与等边三角形的边长不一样．若设圆半径为2，则__________，__________； （3）陷入亢奋状态的阿斌在水平方向上持续画圆，直到画到草稿纸边缘才停下．如图，阿斌发现图中的圆心可以分成两层，于是他将某一个圆心在水平方向上的序号a与对应的层数b组成了一个有序数对．例如点A是第1个点，位于第1层，因此可以用表示；点B是第2个点，位于第1层，因此可以用表示；点C可以用表示等等…… 如果他画的图中，点N可以表示为，且每个圆的半径为2，求点A到点N的距离（用含m的代数式表示）． （4）停下作图的阿斌陷入了沉思．在刚才的作图与计算中，他发现刚才的计算方式可以推广到更多层圆形成的图形中．若在推广后的图形中，圆心可以用表示，圆心可以用表示．在圆半径为2的前提下，请直接写出P，Q两点间距离的表达式（用含m和n的代数式表示）． 【答案】（1）D （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定、勾股定理、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得都是等半径，所以，根据三条边都相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）作于点M，利用特殊直角三角形和勾股定理即可得解； （3）同第二问，方法，关键是得出，再利用勾股定理即可得解； （4）同第三问，构造直角三角形，关键是边长用含n的式子表示出来． 【小问1详解】 解：由题易得， ∴是等边三角形， 故选：D； 【小问2详解】 解：如图，由题易知均为等边三角形，且边长均为2，过A作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，过A作于点M， 由题易知， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，过P作垂直圆心Q所在那一层直线，垂足为M， 由（2）、（3）可知，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$