精品解析：湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

2024年秋季湖北省随州市部分高中联考协作体12月月考 高三数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟. 考试时间：2024年12月21日8:00——10:00 ★祝考试顺利★ 考试范围： 高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 2. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】解： . 故选：C 3. 已知，，均为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数平方关系可得，由，利用两角和差余弦公式可求得，由此可得. 【详解】均为锐角，即，， ，又， ， 又，. 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标. 【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为 又 故选： 【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量. 5. 如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接交于,连接,由于,所以平面,所以角为所求线面角,其正切值为.故选. 6. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆方程写出标准方程后得到的值，从而知道长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，从而得出答案. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得=1， 所以，，， 则长轴长，焦距，短轴长，离心率. 故选：D. 7. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平均数、中位数与众数定义计算即可得. 【详解】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17， 故其中位数，众数， 平均数， 故. 故选：B. 8. 甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每次甲胜的概率为p，根据甲至少取胜一次的概率为，结合对立事件的概率计算求出p的值，继而利用二项分布的概率公式，即可求得答案. 【详解】假设甲取胜为事件A，设每次甲胜的概率为p， 由题意得，事件A发生的次数，则有， 得，则事件A恰好发生一次的概率为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 有极小值点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 则，且， 所以，解得，所以A项正确； 又由， 取，则， 所以，所以，所以B正确； 由，则，但不能确定，所以C不正确； 由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，且，所以D正确； 故选ABD. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其中解答中熟记导数在函数的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD． 【详解】对于A，因为，，且，所以， 则，则，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直，故B错误； 对于C ，，又，所以与的夹角为， 故C正确D错误． 故选：AC． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断C；根据决定系数的意义即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故A错误； 对于B，因为，， 所以相对于样本点的残差为，故B正确； 对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 函数的单调减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，分离常数后利用“同增异减”可得函数的单调区间. 【详解】的定义域为， 又， 令. 当时，为增函数，而为减函数， 故在为减函数. 当时，为增函数，而为减函数， 故在为减函数. 综上，的单调减区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的单调区间，可先令 ，利用这两个函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断的单调性，本题为基础题. 13. 数列满足：，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，把转化为，可判断出为等比数列，求出的通项公式，即可得到. 【详解】因为， 所以， 所以， 又因为， 所以为首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式； 14. 设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标，由切线的性质得到点，，在以线段为直径的圆上，然后写出圆方程，由两个圆公共弦的求法求得直线方程，再由直线方程得到定点的坐标. 【详解】因为为直线上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为切，， 所以，，则点，在以线段为直径的圆上， 即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 又，两式相减，得， 即公共弦所在的直线方程是，即， 由，解得，所以直线AB恒过定点. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用圆的切线的性质分析得点，在以线段为直径的圆上，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”；设函数的不动点集合为A，稳定点集合为B， （1）求证:; （2）若函数单调递增，则. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义验证“不动点”一定是“稳定点”即可； （2）由新定义验证当函数单调递增时，“稳定点”一定是“不动点”，再结合（1）中结论得到两个集合相等. 【小问1详解】 不妨设，则由题知，则，故，所以. 【小问2详解】 设，则， 因为函数单调递增，所以存在唯一，使，， 若，则，得到，与矛盾; 若，则，得到，与矛盾， 故必有，所以，即，即 又由（1）知，所以， 即当函数单调递增时，. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）求证：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意恒成立，参变分离可得在R上恒成立，再根据余弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可知当时恒成立，所以即证在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证； 【小问1详解】 解：因为，所以， 由函数为增函数，则恒成立， 即在R上恒成立， ， 即实数的取值范围是 【小问2详解】 证明：由（1）知当时，为增函数， 当时，， 要证当时，，只需证当时，， 即证在上恒成立， 设，则，令解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 成立，故当时，. 17. 已知正项数列，其前n项和满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式； （2）数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由. 【答案】（1） 依题意，正项数列中，，即，当时，，即， 整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，因为是正项数列，即， 所以. ； （2）不存在，理由： 当时，，又，即，都有， 则， 假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 则，即， 两边同时平方，得，即， 整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列中不存在满足要求的连续三项. 【解析】 【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答. （2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可； （2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出. 【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，. 因为，所以. （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量， 所以，得，取，得平面的一个法向量. 要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可； （2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率. 【小问1详解】 事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件“甲队第局获胜”，其中相互独立. 又甲队明星队员前四局不出场，故， ，所以. 【小问2详解】 设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛， 由全概率公式知，， 因为每名队员上场顺序随机，故， ， 所以. 【小问3详解】 由（2），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季湖北省随州市部分高中联考协作体12月月考 高三数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟. 考试时间：2024年12月21日8:00——10:00 ★祝考试顺利★ 考试范围： 高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，，均为锐角，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 6. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 7. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 有极小值点，且 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 函数的单调减区间为__________. 13. 数列满足：，，则__________. 14. 设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”；设函数的不动点集合为A，稳定点集合为B， （1）求证:; （2）若函数单调递增，则. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）求证：当时，. 17. 已知正项数列，其前n项和满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式； （2）数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由. 18. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $