精品解析：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末考试高二试题 数学 命题人：锦州中学 王锦明 审题人：抚顺二中 胡世龙 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（ ） A. B. ，，两两垂直 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心在直线上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 3. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为（ ） A. 0.441 B. 0.63 C. 0.819 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出系统能正常工作的情况，根据互斥事件、独立事件等条件，求出概率. 【详解】用A，B，C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作． 由题意知，系统能正常工作时，可分为三个互斥事件： 甲、乙、丙都正常工作，即；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即； 甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即．因此． 因为甲、乙、丙互不影响，所以A，B，C相互独立，而且． 由互斥事件概率的加法公式以及独立事件的概率公式可知 ． 故选：C. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 5. 某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ） A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 6. 已知的展开式中，常数项为135，则的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到关于的方程，解出. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 则，解得． 故选：D. 7. 《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 48种 B. 96种 C. 102种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组求出点的坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由，可得圆心，也是抛物线的焦点为， 如图，交抛物线的准线于，根据抛物线的定义，可得， 故的周长为， 由，解得， ∵，且，∴的取值范围为，∴， ∴的周长的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（ ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 10. 如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面所成角的大小与平面的法向量所成角的关系可判断AB，利用线面角的大小与直线的方向向量与平面的法向量的关系可判断CD. 【详解】因为，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为， 所以相等或互补，所以，故A正确； 所以，故B错误； 因为以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，所以，故D错误， 因为，故C正确. 故选：AC. 11. 已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B. 若，动点的轨迹是双曲线的右支 C. 若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D. 若，动点的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相切的性质，结合抛物线的定义即可求解A，根据垂直平分线的性质，结合双曲线以及椭圆的定义即可求解BD，根据点点距离公式，结合圆的性质，即可求解C. 【详解】对于A,由于圆与圆外切，与轴相切，故,其中为圆心到轴的距离，因此圆心到的距离与到直线的距离相等，且圆心不经过直线，故点的轨迹为以为焦点，以为准线在抛物线，A正确， 对于B，当时，,由垂直平分线的性质可得， 如图，当靠近左半圆时，， 当靠近右半圆时，， 因此点的轨迹为以为焦点的双曲线，B错误， 对于C,连接,由于为线段的中点，故,又，故, 设，由,即，化简可得，即，故点的轨迹是圆，C正确， 对于D，时，在圆内，如图，此时,由垂直平分线的性质可得，故，因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，D正确， 故选：ACD 方法点睛：解析几何中与动点轨迹有关的题目，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________. 【答案】900 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 13. 已知椭圆的焦点分别为，，过椭圆外一点和右顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得也是中点，由中点坐标公式可得的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】因为，，，可得为的中点， 又，所以也是中点， 因为，则，代入椭圆方程可得， 所以，所以， 则离心率. 故答案为：. 14. 有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则________，________（用数字作答）. 【答案】 ①. 12 ②. 120 【解析】 【分析】利用排列知识与此运算的定义可求得的值. 【详解】此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）. 首先，（对一个排列，括号只有2种乘法）， 对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法， ，，，，， 共5种相乘方法， 又4个数的排列有，所以. 故答案为：12；120. 【点睛】关键点点睛：理解新定义，弄清题意，本质是在排列的基础上的两个数的此种运算的结合情况，故利用分步计数原理可求得结论. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. （1）求的值； （2）若的面积等于3，求直线的一般方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数关系求出两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）把的面积转化为两个三角形，的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解 【小问1详解】 设，由题意的斜率不为0，设直线的方程为， 代入抛物线方程可得，， 由根与系数的关系可得， 所以． 【小问2详解】 记为点， 由（1）有， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程为：或． 16. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. （1）求的系数； （2）求的值. 【答案】（1）180 （2） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 17. 某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. （1）比赛共需进行多少场？ （2）假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 【答案】（1）14 （2）（i）分布列见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）分一轮，二轮，三轮，四轮分别计算可得总场数； （2）（i）随机变量的取值为，分别计算可得其分布列，进而可求数学期望；（ii）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场， 第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛； 【小问2详解】 （i）随机变量的取值为， 当，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ； （ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件，一号队获得冠军为事件， 则， 由（i）知，， 则， 即一号队在的条件下获得冠军的概率为. 18. 如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. （1）画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 【答案】（1） （2）直线与平面所成角的正弦值为 （3）点轨迹的长度为 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面，利用面面平行的性质可证结论； （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，可证明平面，可得为直线与平面所成的角，计算即可； （3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用坐标法求得平面的一个法向量，结合平面的一个法向量为，结合已知可得，进而计算可求得点轨迹的长度. 【小问1详解】 取中点，连接，则五边形为过，，的截面， 理由，因为，，的中点分别为，，. 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. 【小问2详解】 由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或（舍去）， 当时，，当，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 19. 已知，，动点满足， （1）求动点的轨迹的方程； （2）设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析； （ii）存在点使成立，点横坐标为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义可求得双曲线的方程； （2）（i）联立直线方程与双曲线方程，由题意可得，进而可求得，结合，可得直线的方程，联立直线的方程可得点在定直线上；（ii）根据题意利用夹角公式得到关于的表达式，进而求得，从而可求得点的横坐标，由此得解. 【小问1详解】 因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线中靠近点的一支， 且，解得，所以， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）联立方程组，消去，得， 整理可得①， 因为直线与曲线相切，所以， 所以，所以， 将，代入①可得：， 解得，代入直线可得，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立方程组，所以， 所以，解得； 所以点在定直线上，该定直线方程为； （ii）由（i）可知，， 因为，所以，， 所以 ， 解得或，又因为不符合题意，所以（舍去）， 所以点横坐标为， 存在点使成立，此时点横坐标为， 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问的解决关键在于，利用夹角公式化简得关于的表达式，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末考试高二试题 数学 命题人：锦州中学 王锦明 审题人：抚顺二中 胡世龙 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（ ） A. B. ，，两两垂直 C. D. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与有关 3. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为（ ） A. 0.441 B. 0.63 C. 0.819 D. 0.9 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ） A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 6. 已知的展开式中，常数项为135，则的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 7. 《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 48种 B. 96种 C. 102种 D. 120种 8. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（ ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A. B. C. D. 10. 如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B. 若，动点的轨迹是双曲线的右支 C. 若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D. 若，动点的轨迹是椭圆 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________. 13. 已知椭圆的焦点分别为，，过椭圆外一点和右顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为________. 14. 有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则________，________（用数字作答）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. （1）求的值； （2）若的面积等于3，求直线的一般方程. 16. 若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. （1）求的系数； （2）求的值. 17. 某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. （1）比赛共需进行多少场？ （2）假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 18. 如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. （1）画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 19. 已知，，动点满足， （1）求动点的轨迹的方程； （2）设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $