辽宁省大连市辽宁师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线.若，则实数（ ） A. B. C. D. 3 2. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 7. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则_______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 16. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 17. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 18. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：∥平面GCF； （2）若二面角的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. 辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】64 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析，，； （2）分布列见解析，，. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在点P，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）存在，；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $